1、课时2 势能和动能 动能定理及其应用 内容与要求 内容要求1.重力势能c2.弹性势能b3.动能和动能定理d考点1 重力势能 考点与典例 1.定义:物体具有的跟它的高度有关的能。2.大小:Ep=mgh。3.重力势能的特点(1)系统性:重力势能是地球和物体共有的。(2)相对性:重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力势能的变化是绝对的,与参考平面的选取无关。典例1 质量为m的小球,从离桌面H高处由静止下落,桌面离地面高度为h,如图所示,若以桌面为参考平面,那么小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是()A.mgh,减少mg(H-h)B.mgh,增加mg(H+h)C.-mgh,增加m
2、g(H-h)D.-mgh,减少mg(H+h)解析:重力势能的大小与参考平面的选取有关,若以桌面为参考平面,开始时小球的高度为H,落地时的高度为-h,则重力势能分别为mgH,-mgh,整个下落过程中重力势能变化为-mgh-mgH=-mg(H+h),即重力势能减少mg(H+h),故选项D正确。答案:D 对点自测1:如图所示,一棵树上有一个质量为m的熟透了的苹果自P点落至沟底Q点,P点与地面的高度差为h,P点与沟底Q点的高度差为H,以地面为重力零势能面,则该苹果在从P点落至Q点的过程中重力势能减少量和在沟底Q点的重力势能分别是()A.mgH和mgh B.mg(H-h)和-mg(H-h)C.mgH和-
3、mg(H-h)z D.-mgH和-mgh C 解析:重力势能的变化量与高度差有关,该苹果在从P点落至Q点的过程中重力势能减少量为mgh=mgH;以地面为重力零势能面,沟底Q点的高度为-(H-h),故其重力势能为Ep=-mg(H-h),选项C正确。考点2 重力势能与重力做功的关系 说明 无论是否有其他力对物体做功,关系式WG=Ep1-Ep2始终成立,也与所选择的参考平面无关。1.重力做功与路径无关,只与始末位置的高度差有关。2.重力势能与重力做功的关系:WG=Ep1-Ep2,重力做正功,WG0,Ep1Ep2,物体的重力势能减少,其减少的数值等于重力做的功;重力做负功,WG0,Ep1Ep2,物体重
4、力势能增加,其增加值等于克服重力所做的功。典例2 韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离,重力对他做功1 900 J,他克服阻力做功100 J,韩晓鹏在此过程中()A.动能增加了1 900 J B.动能增加了2 000 J C.重力势能减小了1 900 J D.重力势能减小了2 000 J 解析:由题可得,重力做功1 900 J,则重力势能减少 1 900 J,选项C正确,D错误;由动能定理WG-Wf=Ek可得动能增加1 800 J,选项A,B错误。答案:C 对点自测2:如图所示,在水平地面上平铺着n块砖,每块砖的质
5、量为m,厚度为h。如果工人将砖一块一块地叠放起来,那么工人至少做功()A.n(n-1)mgh B.12 n(n-1)mgh C.n(n+1)mgh D.12 n(n+1)mgh 解析:本题关键在于分析各块砖的重心位置变化情况,从而找出 n 块砖的重力势能变化。把 n 块砖看做一个整体,其总质量是 M=nm,以地面为零势能面,n 块砖都平放在地上时,其重心都在2h 高处,所以这 n 块砖的初始重力势能为 Ep1=2nmgh;当 n 块砖叠放在一起时,其总高度为 H=nh,其总的重心位置在2H=2nh 处,所以末状态重力势能为Ep2=nmg2H=22n mgh,人做的功至少等于重力势能的增量,即
6、W=Ep=Ep2-Ep1=12 n(n-1)mgh,选项 B 正确。考点3 弹力做功与弹性势能 1.发生弹性形变的物体各部分之间,由于弹力的相互作用而具有势能,这种势能叫做弹性势能。2.拉伸(或压缩)弹簧时,克服弹力做的功等于弹性势能的增加,但弹簧长度增大(或缩短)时弹性势能不一定增加。典例3 如图所示,轻弹簧的一端固定在墙上,小孩对弹簧的另一端施加一个向右的作用力让弹簧伸长,那么,在弹簧伸长的过程中()A.弹簧对小孩做正功 B.小孩对弹簧做负功 C.弹簧的弹性势能增加 D.弹簧对墙壁做正功 解析:弹簧对小孩的力的方向与作用点的位移方向相反,则弹簧的弹力对小孩做负功,故选项A错误;小孩对弹簧的
7、弹力的方向与作用点的位移方向相同,则小孩对弹簧的弹力做正功,弹簧弹性势能增加,则选项B错误,C正确;因弹簧对墙壁的作用点不动,则弹簧对墙壁不做功,则选项D错误。答案:C 对点自测3:如图所示在光滑水平面上有一物体,它的左端连接着一轻弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去力F后,物体将向右运动,在物体向右运动的过程中,下列说法正确的是()A.弹簧的弹性势能逐渐减少 B.弹簧的弹力做正功 C.弹簧的弹性势能先增加后减少 D.弹簧的弹性势能先减少后增加 解析:由物体处于静止状态可知,弹簧处于压缩状态,撤去F后物体在向右运动的过程中,弹簧的弹力对物体先做正功后做负功,故弹簧
8、的弹性势能先减少后增加,选项D正确。D 考点4 动能和动能定理 1.动能:物体由于运动而具有的能。其表达式为 Ek=12mv2,动能是标量。2.动能定理(1)内容:力在一个过程中对物体做的功,等于物体在这个过程中动能的变化。(2)表达式:W=Ek2-Ek1=12m22v-12m21v。说明(1)公式 Ek=12mv2中的 v 是相对于地面的速度。(2)物体速度变化时,动能不一定变化,物体动能变化时速度一定变化。(3)如果物体受到几个力的共同作用,W表示各个力做功的代数和,可以是几个力在同一段位移中做的功,也可以是一个力在几段位移中做的功,还可以是几个力在几段位移中做的功。(4)动能定理既适用于
9、直线运动、恒力做功问题、又适用于曲线运动、变力做功问题。典例4 如图所示,一质量为m的质点在半径为R的半球形容器中(容器固定)由静止开始自边缘上的A点滑下,到达最低点B时,质点对容器的正压力为FN。重力加速度为g,则质点自A滑到B的过程中,摩擦力对其所做的功为()A.12R(FN-3mg)B.12R(3mg-FN)C.12R(FN-mg)D.12R(FN-2mg)答案:A 解析:质点到达最低点 B 时,根据牛顿第二定律有 FN-mg=m2vR,根据动能定理,质点自 A 滑到 B 的过程中有 Wf+mgR=12 mv2,则摩擦力对其所做的功 Wf=12 RFN-32 mgR,故选项 A 正确。总
10、结提升 (1)动能定理确定了外力做功与物体动能变化之间的关系,因此,可根据动能变化求得力所做的功,这种方法尤其在求变力做功时更有效。(2)应用动能定理解题,关键是对研究对象进行受力分析及运动过程分析,明确各力做功的情况,弄清过程的初、末状态。可由下面框图表示主要环节:对点自测4:某质量为m的电动玩具小车在平直的水泥路上由静止沿直线加速行驶。经过时间t前进的距离为x,且速度达到最大值vm,设这一过程中电动机的功率恒为P,小车受阻力恒为F,则t时间内()A.小车做匀加速运动 B.小车受到的牵引力逐渐增大 C.合外力对小车所做的功为Pt D.牵引力对小车所做的功为 Fx+2m12 mv D 解析:电
11、动机功率恒定,P=F 牵 v,结合牛顿第二定律可知 F 牵-F=ma,v=at 可知,当速度增大时,牵引力减小,加速度减小,故小车做加速度减小的变加速运动,故 A,B 错误;整个过程中,牵引力做正功,阻力做负功,故合外力做功为 W=12m2mv,Pt 为牵引力所做的功,故 C错误;整个过程中,根据动能定理可知 Pt-Fx=2m12 mv解得 Pt=Fx+2m12 mv,故 D 正确。考点5 动能定理的综合应用 1.解决多过程问题应优先考虑应用动能定理(或功能关系),从而使问题得到简化。能解决的几个典型问题如下:(1)不涉及加速度、时间的多过程问题。(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中
12、间状态的问题。(3)变力做功的问题。(4)含有F,l,m,v,W,Ek等物理量的力学问题。2.注意不同力的做功特点(1)重力、电场力或恒力做的功取决于物体的初、末位置,与路径无关;(2)大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积。典例5 图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图。弯道 1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧,圆心分别为O1,O2,弯道中心线半径分别为r1=10 m,r2=20 m,弯道2比弯道1高h=12 m,有一直道与两弯道圆弧相切。质量m=1 200 kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动,路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍,行驶时要求汽车不打滑。(sin
13、 37=0.6,sin 53=0.8,g=10 m/s2)(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1;解析:(1)弯道 1 的最大速度 v1kmg=m211vr得 v1=1kgr=55 m/s。答案:(1)55 m/s (2)汽车以v1进入直道,以P=30 kW的恒定功率直线行驶了t=8.0 s进入弯道2,此时速度恰为通过弯道2中心线的最大速度,求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功;解析:(2)弯道 2 的最大速度 v2kmg=m222vr得 v2=2kgr=5 10 m/s 直道上由动能定理得 Pt-mgh+Wf=2212 mv-12m21v 代入数据可得 Wf=-2.1104 J。答案
14、:(2)-2.1104 J (3)汽车从弯道1的A点进入,从同一直径上的B点驶离,有经验的司机会利用路面宽度,用最短时间匀速安全通过弯道。设路宽d=10 m,求此最短时间(A,B两点都在轨道的中心线上,计算时视汽车为质点)。答案:(3)1.8 s 解析:(3)沿如图所示内切的路线行驶时间最短,由图可得 r2=21r+212drr 代入数据可得 r=12.5 m 汽车沿该线路行驶的最大速度 vkmg=m2vr 得 v=kgr=12.5 m/s 由 sin=1rr=0.8 则对应的圆心角 2=106线路长度 s=106360 2r23.1 m 最短时间 t=sv 1.8 s。对点自测5:(2019
15、浙江6月学考)如图所示是质量可忽略不计的秋千,悬点O离地面高度H=2 m。质量m=5 kg的小猴(可视为质点)趴在秋千上,它到悬点O的距离l1=1.6 m。饲养员在图中左侧推秋千,每次做功都为W=5 J。秋千首次从最低点被推动,以后每次推动都是在秋千荡回左侧速度变为零时进行。若不计空气阻力,g取10 m/s2。(1)经1次推动,小猴荡起的最高点比最低点高多少?解析:(1)推动一次,饲养员对小猴做的功 W=mgh 则 h=Wmg=0.1 m。答案:(1)0.1 m(2)经多少次推动,小猴经过最低点的速度v=4 m/s?解析:(2)推动 n 次后,回到最低点,由动能定理得 nW=12mv2n=22
16、mvW=8。答案:(2)8(3)某次小猴向右经过最低点时,一个挂在秋千绳上C点的金属小饰物恰好脱落,并 落 在 地 上 D 点。D 到 C 的 水 平 距 离 x=0.9 6 m,C 到 O 的 距 离 l 2=1.28 m,则小猴此次经过最低点时对秋千的作用力为多大?解析:(3)小饰物飞出后做平抛运动,根据平抛运动规律可知,小饰物下落时间t=223 1025Hlg=s 飞出时的速度 v1=xt=4 105 m/s 设小猴经过最低点时速度为 v2,则1221vlvl解得 v2=10 m/s 在最低点,对小猴受力分析,有 F-mg=221mvl解得 F=81.25 N 由牛顿第三定律得,小猴对秋千的作用力为 81.25 N。答案:(3)81.25 N 点击进入 课时训练