1、2016-2017学年浙江省台州实验中学高三（上）12月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1全集U=R，A=x|2x1，B=x|1x3，则B（UA）=（）Ax|1x3Bx|2x3Cx|x2或x1Dx|x2或x32复数等于（）AiB iCiDi3设x，yR，则xy0是|x|y|的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4已知空间三条直线l、m、n若l与m异面，且l与n异面，则（）Am与n异面Bm与n相交Cm与n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能5某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）
2、A8B8C82D6已知x、y满足约束条件，则Z=x2+y2+2x+1的最小值是（）ABC2D1647已知向量=cos，sin， =cos，sin，那么（）ABCD与的夹角为+8设双曲线的个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分9设等差数列an中，S3=42，S6=57，则an=，当Sn取最大值时，n=10展开式中只有第六项二项式系数最大，则n=，展开式中的常数项是11已知随机变量的分布列如图所示，则函数a=，E（）= 0 1 2P 0.30.4 a12
3、设函数f（x）=，若f（a）=，则a=，若方程f（x）b=0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是13设x、yR+且=1，则x+y的最小值为14已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD与折起，则三棱锥DABC的外接球的体积为15已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数，且函数f（x）的最小正周期为（）求函数f（x）的解析式；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1， =，且a+c=4，试求b2的
4、值17如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM（）求证ADBM；（）点E是线段DB上的一动点，当二面角EAMD大小为时，试确定点E的位置18已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围19已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q
5、；（3）求的取值范围20已知正数数列an的前n项和为Sn，满足an2=Sn+Sn1（n2），a1=1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（1an）2a（1an），若bn+1bn对任意nN*恒成立，求实数a的取值范围2016-2017学年浙江省台州实验中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1全集U=R，A=x|2x1，B=x|1x3，则B（UA）=（）Ax|1x3Bx|2x3Cx|x2或x1Dx|x2或x3【考点】补集及其运算；并集及其运算【分析】由全集R和集合A，求出集合A的补集
6、，然后把集合A的补集和集合B的解集画在数轴上，根据并集的意义即可求出集合B和集合A补集的并集【解答】解：由全集U=R，A=x|2x1，得到UA=x|x2或x1，又B=x|1x3，根据题意画出图形，如图所示：则B（UA）=x|x2或x1故选C2复数等于（）AiB iCiDi【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】直接利用复数的除法运算化简求值【解答】解： =故选：D3设x，yR，则xy0是|x|y|的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的性质结合 充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可【解
7、答】解：xy0”一定能推出“|x|y|”当|x|y|，当x=2时，y=1时，成立，则推不出xy0故“xy0”是“|x|y|”的充分非必要条件，故选：A4已知空间三条直线l、m、n若l与m异面，且l与n异面，则（）Am与n异面Bm与n相交Cm与n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能【考点】平面的基本性质及推论【分析】可根据题目中的信息作图判断即可【解答】解：空间三条直线l、m、n若l与m异面，且l与n异面，m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选D5某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A8B8C82D【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图中长对正，高对齐，
8、宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=122=，则该几何体的体积为V=8，故选A6已知x、y满足约束条件，则Z=x2+y2+2x+1的最小值是（）ABC2D164【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示点（1，0）到可行域的点的距离的平方，故只需求出点（1，0）到可行域的距离的最小值即可【解答】解：如图，作出约束条件可行域，Z=x2+y2+2x
9、+1=Z=（x+1）2+y2是点（x，y）到（1，0）的距离的平方，故最小值为原点到直线x+2y3=0的距离的平方，即为=，故选：B7已知向量=cos，sin， =cos，sin，那么（）ABCD与的夹角为+【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】根据向量的模的计算公式可知与都是单位向量，方向任意，可判定B、D的真假，根据向量数量积可判定选项A、D的真假【解答】解：=（cos，sin），=（cos，sin），=coscos+sinsin=cos（），不一定为0，故选项A不正确；与都是单位向量，方向任意，故选项B不正确；=0，故选项C正确；与的夹角任意，故选项D不正确故选C8设双曲线的个
10、焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cybc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2a2=ac，即e2e1=0，所以或（舍去）二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分9
11、设等差数列an中，S3=42，S6=57，则an=203n，当Sn取最大值时，n=6【考点】等差数列的前n项和【分析】设等差数列an的公差为d，由S3=42，S6=57，可得3a1+d=42， d=57，解出可得an，令an0，解得n即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，S3=42，S6=57，3a1+d=42， d=57，解得a1=17，d=3则an=173（n1）=203n，令an=203n0，解得n=6+当Sn取最大值时，n=6故答案为：203n，610展开式中只有第六项二项式系数最大，则n=10，展开式中的常数项是180【考点】二项式系数的性质【分析】由展开式中只有第六项二项式
12、系数最大，可得n=10再利用的通项公式即可得出【解答】解：展开式中只有第六项二项式系数最大，n=10的通项公式：Tr+1=2r，解得r=2常数项为： =180故答案为：10，18011已知随机变量的分布列如图所示，则函数a=0.3，E（）=1 0 1 2P 0.30.4 a【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】根据随机变量的概率和为1，求出a的值，再计算数学期望E（）【解答】解：根据随机变量的分布列知，0.3+0.4+a=1，解得a=0.3；所以E（）=00.3+10.4+20.3=1故答案为：0.3，112设函数f（x）=，若f（a）=，则a=或，若方程f（x）b=0有三个不同的实根，则实
13、数b的取值范围是（，0）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】通过讨论a0，a0，得到关于a的方程，求出a的值即可；求出f（x）的值域，问题转化为b=f（x）的交点问题，求出b的范围即可【解答】解：若4a2=，解得：a=，若a2a=，解得：a=，故a=或；x0时，f（x）0，x0时，f（x）=，f（x）的最小值是，若方程f（x）b=0有三个不同的实根，则b=f（x）有3个交点，故b（，0）；故答案为：或；（，0）13设x、yR+且=1，则x+y的最小值为16【考点】基本不等式【分析】将x、yR+且=1，代入x+y=（x+y）（），展开后应用基本不等式即可【解答】解：=1，x、yR+，x+y=
14、（x+y）（）=10+10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）故答案为：1614已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD与折起，则三棱锥DABC的外接球的体积为【考点】球的体积和表面积【分析】先利用基本不等式，确定矩形周长最小时，矩形为正方形，求得边长，再利用沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的球心为AC的中点，求得半径，根据球的体积公式，即可求得结论【解答】解：设矩形ABCD的边长分别为x、y，则xy=8，矩形周长为2（x+y）4=8，当且仅当x=y=2时，矩形周长最小，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的球心为AC的中
15、点，AC=4，球的半径为2，三棱锥DABC的外接球的体积等于23=故答案为：15已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为1，+）【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，可得=0即可得到a的取值范围【解答】解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，=化为m2a+（m2a）2=0m，m2=a10，解得a1a 的取值范围为1，+）故答案为1，+）三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已
16、知函数，且函数f（x）的最小正周期为（）求函数f（x）的解析式；（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1， =，且a+c=4，试求b2的值【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（）将三角函数化简，由函数f（x）的最小正周期求出的值，从而可得函数f（x）的解析式；（）在ABC中，f（B）=1，可求B=，根据=可得ac=3，利用a+c=4，可得a2+c2=166，利用余弦定理可求b2的值【解答】解：（） =sinx+cosx1=2sin（x+）1，函数f（x）的最小正周期为，=2f（x）=2sin（2x+）1；（
17、）在ABC中，f（B）=1，则2sin（2B+）=1，2B+=，B=；=，accos=，ac=3a+c=4，a2+c2=166b2=a2+c22accos=16917如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM（）求证ADBM；（）点E是线段DB上的一动点，当二面角EAMD大小为时，试确定点E的位置【考点】与二面角有关的立体几何综合题【分析】（）先证明BMAM，再利用平面ADM平面ABCM，证明BM平面ADM，从而可得ADBM；（）作出二面角EAMD的平面角，利用二面角EAMD大小为时，即可确定点E的位置【解答】（）证明：长方形A
18、BCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点AM=BM=BMAM平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM=AM，BM平面ABCMBM平面ADMAD平面ADMADBM；（）过点E作MB的平行线交DM于F，BM平面ADM，EF平面ADM在平面ADM中，过点F作AM的垂线，垂足为H，则EHF为二面角EAMD平面角，即EHF=设FM=x，则DF=1x，FH=在直角FHM中，由EFH=，EHF=，可得EF=FH=EFMB，MB=，当E位于线段DB间，且时，二面角EAMD大小为18已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对
19、x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出f（x），因为函数在x=与x=1时都取得极值，所以得到f（）=0且f（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x1，2恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）c2列出不等式，求出c的范围即可【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）=3x2+2ax+b由解得，f（x）=3x2x2=（3x+2）（x1），函数f
20、（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）和（1，+），递减区间是（，1）（2），当x=时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值要使f（x）c2对x1，2恒成立，须且只需c2f（2）=2+c解得c1或c219已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；（3）求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面
21、向量数量积的运算；直线与圆的位置关系【分析】（1）利用以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可求b的值，再利用椭圆的离心率为，即可求出椭圆C的方程；（2）设A（x0，y0），B（x0，y0），将直线PB：y=代入椭圆，可得3+x2+12=0，从而可得E的坐标，从而可得直线AE的方程，进而可知直线AE与x轴相交于定点Q；（3）由（2）知x1+x0=，x1x0=，y1y0=， =x1x0y1y0，从而可得=，设52x0=t，进而可确定的取值范围【解答】（1）解：以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，b=，椭圆的离心率为，椭圆C的方程为（2）证明：设A（x0，y0），B（x0，y
22、0）将直线PB：y=代入椭圆，可得3+x2+12=0设E（x1，y1），则x1+x0=，y1=直线AE：化简可得直线AE与x轴相交于定点Q：（1，0）（3）解：由（2）知x1+x0=，x1x0=，y1y0=x1x0y1y0，=设52x0=t，x0（2，2），t（1，9）=+t（1，9），（4，20已知正数数列an的前n项和为Sn，满足an2=Sn+Sn1（n2），a1=1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（1an）2a（1an），若bn+1bn对任意nN*恒成立，求实数a的取值范围【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【分析】（1）由 an2=Sn+Sn1（n2），可得an12=Sn1
23、+Sn2 （n3）两式相减可得 an an1=1，再由a1=1，可得an的通项公式（2）根据an的通项公式化简bn和bn+1，由题意可得bn+1bn=2n+a10恒成立，故a12n恒成立，而12n的最大值为1，从而求得实数a的取值范围【解答】解：（1）an2=Sn+Sn1（n2），an12=Sn1+Sn2 （n3）两式相减可得an2 an12=Snsn2=an +an1，an an1=1，再由a1=1，正数数列an是以1为首项，以1为公差的等差数列，an=n（2）bn=（1an）2a（1an），bn+1=（1an+1）2a（1an+1）即bn=（1n）2a（1n）=n2+（a2）n+1a，bn+1=1（n+1）2a1（n+1）=n2+an故bn+1bn=2n+a1，再由bn+1bn对任意nN*恒成立可得2n+a10恒成立，故a12n恒成立而12n的最大值为12=1，故a1，即实数a的取值范围（1，+）2017年5月5日