1、2015-2016学年江西省景德镇一中等重点中学盟校高三（下）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z满足=3，i是虚数单位，则（）A1+3iB13iC3iD3i2已知集合A=x|x2+x+1=0，B=x|2x2，则（RA）B=（）A1，1B2，2）C1，2）D3下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）ABCDy=xcosx4执行如图的程序框图，当n2，nN*时，fn（x）表示fn1（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinxcosx，则输出的函数fn（x）可化为（）A sin（
2、x+）B sin（x）Csin（x+）Dsin（x）5已知k0，x，y满足约束条件，若z=xy的最大值为4，则k的取值范围是（）A（0，1）B（0，1C（1，+）D1，+）6设数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，若是等差数列，则=（）A4024B4026C4028D403074位外省游客来江西旅游，若每人只能从庐山、井冈山、龙虎山中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为（）ABCD8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD9对于下列命题：若命题p：xR，使得tanxx，命题q：xR+，lg2x+lgx+10则命题“p且q”是真命题；若随机变量B（n，p），E=
3、6，D=3，则“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”成立的充要条件；已知服从正态分布N（1，22），且P（11）=0.3，则P（3）=0.2其中真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个10已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p=（）A1BC2D311已知向量，满足|=|=2，（）（2）=0，则|的最小值为（）ABCD12函数f（x）=x2+3xa，g（x）=2xx2，若fg（x）0对x0，1恒成立，则实数a的范围是（）A（，2B（，eC（，ln2D0，）二、填空题：
4、本题共4个小题，每小题5分，共20分13已知抛物线的焦点为F，点A（2，2），点P在抛物线上，则|PA|+|PF|的最小值为14已知（1+ax）5（12x）4的展开式中x2的系数为16，则实数a的值为15已知，删除数列an中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列bn，则b21=16已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E为ABCD的中心，A1E与球相交于FE，则EF的长为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知向量，互相垂直，其中；（1）求tan2的值；（2）若，求cos的值18心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中
5、按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如下表：（单位：人）几何题代数题合计男25530女101020合计351550下面的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中n=a+b+c+d）（1）能否在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的10名女生中任意抽取3人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙、丙三位女生被抽到的人数为X，求
6、X的分布列及数学期望EX19在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABC=60，M是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90，得到梯形ABC1D1（如图）（1）求证：BC1AC；（2）求二面角D1AMC的余弦值20已知椭圆+=1（ab0），垂直于x轴的焦点弦的弦长为，直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切（1）求该椭圆C的方程；（2）过右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点记MFD的面积为S1，OED的面积为S2求的取值范围21已知f（x）=（1）若g（x）=ax2ln2x1（aR），讨论g（x）的零点个数（2）存在x1，x2（1
7、，+）且x1x2，使|f（x1）f（x2）|k|x1lnx1x2lnx2|成立，求k的取值范围请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F（1）求证：PEC=PDF；（2）求PEPF的值23在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（2cossin）=6（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐
8、标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值24已知关于x的不等式|x|+|x1|（a0）（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围2015-2016学年江西省景德镇一中等重点中学盟校高三（下）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z满足=3，i是虚数单位，则（）A1+3iB13iC3iD3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分
9、析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：=3，z+3i=3z3i，z=3i，则=3i，故选：D2已知集合A=x|x2+x+1=0，B=x|2x2，则（RA）B=（）A1，1B2，2）C1，2）D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】分别求出A的解集，求出A补集与B的交集即可【解答】解：A=x|x2+x+1=0=，RA=R，B=x|2x2=2，2），则RAB=2，2）故选：B3下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）ABCDy=xcosx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】根据奇函数定义，反比例函数单调性，以及对数函数单调性、复合函数单调性，函数
10、单调性定义，及对函数的单调性的掌握便可得出正确选项【解答】解：A解得，1x1；该函数是奇函数；=；在（1，1）上单调递减，y=lnt单调递增；复合函数在（1，1）上为减函数；该选项正确；B.的定义域为x|x0；该函数在定义域上没有单调性，该选项错误；C.在定义域上没有单调性，该选项错误；Dy=xcosx，x增大时，cosx可能不变，该函数没有单调性；该选项错误故选A4执行如图的程序框图，当n2，nN*时，fn（x）表示fn1（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinxcosx，则输出的函数fn（x）可化为（）A sin（x+）B sin（x）Csin（x+）Dsin（x）【考点】程序框图【分
11、析】先根据流程图弄清概括程序的功能，然后计算分别f1（x），f2（x）、f3（x）、f4（x）、f5（x），得到周期，从而求出f2016（x）的解析式【解答】解：由框图可知n=2017时输出结果f2016（x），由于f1（x）=sinxcosx，f2（x）=sinx+cosx，f3（x）=sinx+cosx，f4（x）=sinxcosx，f5（x）=sinxcosx，所以f2016（x）=f4504（x）=f4（x）=sinxcosx=sin（x+）故选：C5已知k0，x，y满足约束条件，若z=xy的最大值为4，则k的取值范围是（）A（0，1）B（0，1C（1，+）D1，+）【考点】简单线性规
12、划【分析】由题意作平面区域，而直线y=k（x4）恒过点（4，0），且z=xy在（4，0）处取得最大值，从而求得【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，直线y=k（x4）恒过点（4，0），且z=xy在（4，0）处取得最大值，故结合图象可知，0k1，故选：B6设数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，若是等差数列，则=（）A4024B4026C4028D4030【考点】数列的求和【分析】由于是等差数列，可得=+，又a1=1，解得q，进而得出【解答】解：是等差数列，2=+，即=+，又a1=1，化为：q=1公差d=0，首项=2，=22014=4028故选：C74位外省游客来江西旅游，若
13、每人只能从庐山、井冈山、龙虎山中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数n=34，再求出每个景点都有人去游览包含的基本事件个数m=，由此能求出每个景点都有人去游览的概率【解答】解：4位外省游客来江西旅游，每人只能从庐山、井冈山、龙虎山中选择一处游览，基本事件总数n=34=81，每个景点都有人去游览包含的基本事件个数m=36，每个景点都有人去游览的概率为p=故选：D8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，
14、一般需从俯视图构建直观图，该几何体为一个正方体去掉一个角【解答】解：该几何体为一个正方体去掉一个角，正方体的体积为1，去掉的一角为三棱锥，其体积为111=，故该几何体的体积为1=；故选D9对于下列命题：若命题p：xR，使得tanxx，命题q：xR+，lg2x+lgx+10则命题“p且q”是真命题；若随机变量B（n，p），E=6，D=3，则“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”成立的充要条件；已知服从正态分布N（1，22），且P（11）=0.3，则P（3）=0.2其中真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用【分析】分别判断命题p，q的真假，结合复合命题
15、真假关系进行判断，根据随机变量的期望和方差公式进行求解判断，根据充分条件和必要条件的定义进行判断，根据正态分布的性质进行求解判断【解答】解：若命题p：xR，使得tanxx，则当x=时，tan=1，满足tanxx，故p是真命题，命题q：xR+，lg2x+lgx+10为真命题，判别式14=30，lg2x+lgx+10恒成立，则命题“p且q”是假命题，故错误，若随机变量B（n，p），由E=6，D=3，得np=6，npq=3，则q=，即p=，n=12，则P（=1）=，则错误，故错误，“lgx，lgy，lgz成等差数列”则2lgy=lgx+lgz，即lgy2=lgxy，则y2=xz，且x，y，z0，此时
16、y2=xz成立，反之当x=0，y=0，z=0时，满足y2=xz，但lgx，lgy，lgz无意义，即必要性不成立，则“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”成立的充要条件错误，故错误，已知服从正态分布N（1，22），且P（11）=0.3，则P（13）=P（11）=0.3，则P（3）=0.5P（13）=0.50.3=0.2，故正确，故正确的是，故选：A10已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p=（）A1BC2D3【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线
17、y2=2px（p0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值【解答】解：双曲线，双曲线的渐近线方程是y=x又抛物线y2=2px（p0）的准线方程是x=，故A，B两点的纵坐标分别是y=，双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是y=，又，AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，得p=2故选C11已知向量，满足|=|=2，（）（2）=0，则|的最小值为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得向量的夹角为60，结合|=|=2设出向量的坐标，同时设出的坐标，代入（）（2）=0求得的终点的轨迹，然后由|的几
18、何意义结合点到直线的距离得答案【解答】解：由|=|=2，得cos=，与的夹角为60，不妨设，则，再设，由（）（2）=0，得，整理得：（x，y）在以（）为圆心，以为半径的圆上，而|表示的是点（x，y）到点（1，）的距离ddmin=故选：B12函数f（x）=x2+3xa，g（x）=2xx2，若fg（x）0对x0，1恒成立，则实数a的范围是（）A（，2B（，eC（，ln2D0，）【考点】函数恒成立问题【分析】利用导数可得g（x）在x0，1上的取值范围为1，g（x0），其中g（x0）2，令t=g（x）换元，把fg（x）0对x0，1恒成立转化为t2+3ta0对t1，g（x0）恒成立，分离参数a后利用函数
19、单调性求出函数t2+3t的最小值得答案【解答】解：g（x）=2xx2，g（x）=2xln22x，g（0）=ln20，g（1）=2ln220，g（x）在（0，1）上有零点，又g（x）=ln222x20在0，1上成立，g（x）在（0，1）上有唯一零点，设为x0，则当x（0，x0）时，g（x）0，当x（x0，1）时，g（x）0，g（x）在x0，1上有最大值g（x0）2，又g（0）=g（1）=1，g（x）1，g（x0），令t=g（x）1，g（x0），要使fg（x）0对x0，1恒成立，则f（t）0对t1，g（x0）恒成立，即t2+3ta0对t1，g（x0）恒成立，分离a，得at2+3t，函数t2+3t的
20、对称轴为t=，又g（x0）2，（t2+3t）min=2，则a2则实数a的范围是（，2故选：A二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13已知抛物线的焦点为F，点A（2，2），点P在抛物线上，则|PA|+|PF|的最小值为3【考点】抛物线的简单性质【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，当D，P，A三
21、点共线时|PA|+|PD|最小，为2（1）=3，故答案为：314已知（1+ax）5（12x）4的展开式中x2的系数为16，则实数a的值为2【考点】二项式系数的性质【分析】由于（1+ax）5（12x）4=，即可得出【解答】解：（1+ax）5（12x）4=，由于展开式中x2的系数为16，则4+=16，化为：a24a+4=0，解得a=2故答案为：215已知，删除数列an中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列bn，则b21=861【考点】数列的概念及简单表示法【分析】求出数列an的前8项，删除数列an中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列bn，即4项删除2项，问题得以解决【解答】解：由
22、于，则a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，a5=15，a6=21，a7=28，a8=36，删除数列an中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列bn，1，3，15，21，（即4项删除2项），b21=a41=861，故答案为：86116已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E为ABCD的中心，A1E与球相交于FE，则EF的长为【考点】球的体积和表面积【分析】求出球心到FE的距离，利用勾股定理求出EF【解答】解：设球心O到FE的距离为d，则在OA1E中，A1E=，OE=由等面积可得，d=，球的半径为，EF=63故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知向量
23、，互相垂直，其中；（1）求tan2的值；（2）若，求cos的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）由向量垂直， =（sin，2）（1，cos）=sin2cos=0，tan=2，由正切函数的二倍角公式即可求得tan2的值；（2）由，cos（）=，由cos=cos（），根据两角差的余弦公式即可求得cos的值【解答】解：（1）由，=（sin，2）（1，cos）=sin2cos=0，tan=2，（2），0，cos（）0，cos（）=，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（），=+，=18心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结
24、论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如下表：（单位：人）几何题代数题合计男25530女101020合计351550下面的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中n=a+b+c+d）（1）能否在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的10名女生中任意抽取3人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙、丙三位女生被抽
25、到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX【考点】独立性检验的应用【分析】（1）利用公式K2，求出，与临界值比较，即可得出结论；（2）X可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）【解答】解：（1）K2=5.024，故在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别是有关的；（2）X可取的值为0，1，2，3P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=X0123P19在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABC=60，M是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90，得到梯形ABC1D1（如图）（1）求证：BC1AC；（2）求二面角D1A
26、MC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法【分析】（1）在等腰梯形ABCD中，推导出ACAB，AC1AB，ACAC1，从而AC平面ABC1，由此能证明BC1AC（2）以A为坐标原点，分别以AB、AC、AC1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D1AMC的余弦值【解答】证明：（1）在等腰梯形ABCD中，ABC=60，ACAB，同理AC1AB，而据题意可知：二面角CABC1为90，则平面角为CAC1=90，即ACAC1又ABAC1=A，AC平面ABC1，BC1AC；解：（2）以A为坐标原点，分别以AB、AC、AC1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），M（1，0）
27、，C（0，2，0），=（1，0），设，得，令，则，又有，故所求二面角余弦值为20已知椭圆+=1（ab0），垂直于x轴的焦点弦的弦长为，直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切（1）求该椭圆C的方程；（2）过右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点记MFD的面积为S1，OED的面积为S2求的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可知=，点到直线的距离公式及离心率公式可知=，利用椭圆的几何性质即可求得a和b的值；（2）由（1）可知，直线AB的斜率不存在，则M，F不合题意，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得M点坐标，
28、根据直线垂直，kkMD=1，分别求得k和kMD，根据三角形相似， =【解答】解：（1）由题意可知： =，由点到直线的距离公式d=，由椭圆的几何性质，a2=b2+c2，解得：a3=5，b3=3，椭圆的方程为（2）由（1）知，若直线AB的斜率不存在，则M，F不合题意，直线AB的斜率存在且不为0，设其方程为，代入中，整理得：，由韦达定理可知：，ABMD，kkMD=1，即，MFDOED，=21已知f（x）=（1）若g（x）=ax2ln2x1（aR），讨论g（x）的零点个数（2）存在x1，x2（1，+）且x1x2，使|f（x1）f（x2）|k|x1lnx1x2lnx2|成立，求k的取值范围【考点】利用导
29、数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于x的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值，通过讨论a的范围，求出函数g（x）的零点个数即可；（2）令h（x）=f（x）+kxlnx，则问题等价于h（x）在（1，+）存在减区间，求出函数的导数，问题转化为k，根据函数的单调性求出即可【解答】解：（1）令g（x）=0，解得：a=f（x），f（x）=，定义域为（0，+）当时，f（x）0，当时，f（x）0，f（x）在上递增，在上递减f（x）max=f（）=2e，当x0+时，f（x），当x+时，f（x）0（当时，f（x）0）当a2e时，g（x）没有零点，当a=
30、2e或a0时，g（x）只有一个零点，当0a2e时，g（x）有两个零点 （2）不妨设x1x2，由（1）知f（x）在（1，+）递减，f（x1）f（x2）y=xlnx在（1，+）上递增，x1lnx1x2lnx2则不等式可化为f（x1）+kx1lnx1f（x2）+kx2lnx2令h（x）=f（x）+kxlnx，则问题等价于h（x）在（1，+）存在减区间，有解，即k有解，令，m（x）在（1，+）递减，m（x）m（1）=1+2ln2，k1+2ln2请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线P
31、CD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F（1）求证：PEC=PDF；（2）求PEPF的值【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：PEC=PDF；（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PEPF的值【解答】（1）证明：连结BC，AB是圆O的直径，ACB=APE=90，P、B、C、E四点共圆PEC=CBA 又A、B、C、D四点共圆，CBA=PDF，PEC=PDF（2）解：PEC=PDF，F、E、C、D四点共圆PEPF=PCPD=PAPB=212=2423在平面直角坐
32、标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（2cossin）=6（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）直接写出直线l的直角坐标方程，将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2的方程，然后写出曲线C2的参数方程；（2）设出曲
33、线C2上一点P的坐标，利用点P到直线l的距离公式，求出距离表达式，利用三角变换求出最大值【解答】解：（1）由题意可知：直线l的直角坐标方程为：2xy6=0，因为曲线C2的直角坐标方程为：曲线C2的参数方程为：（为参数）（2）设P的坐标（），则点P到直线l的距离为：=，当sin（60）=1时，点P（），此时24已知关于x的不等式|x|+|x1|（a0）（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）当a=1时，由条件利用绝对值的意义求得此不等式的解集（2）由条件利用绝对值三角不等式求得，再根据，求得a的范围【解答】解：（1）解：当a=1时，不等式为|x2|+|x1|2由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的x对应点到1，2对应点的距离之和大于2而和对应点到1，2对应点的距离之和正好等于于2，或，不等式的解集为（2）解：，原不等式的解集为R，等价于，a4或a0又a0，a42016年10月24日
