1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第5课时 直线、平面垂直的判定及性质 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意纵观近几年高考题，始终围绕着垂直关系命题，这突出了垂直关系在立体几何中的重要地位，又能顺利实现各种关系的转化，从而体现了能力命题的方向特别是线面垂直，集中了证明和计算的中心内容第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调
2、研 高三总复习 数学（理）直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面第7页高考调研 高三总复习 数学（理）直线与平面垂直的性质定理(1)如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行(2)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直第8页高考调研 高三总复习 数学（理）平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么两个平面互相垂直平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面第9
3、页高考调研 高三总复习 数学（理）1判断下面结论是否正确(打“”或“”)(1)“直线 l 垂直于平面 内的无数条直线”是“l”的必要不充分条件(2)若直线 a平面，直线 b，则直线 a 与 b 垂直(3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0，2 第10页高考调研 高三总复习 数学（理）(4)若直线 a平面，直线 b平面，则 ab.(5)若平面 平面，直线 a平面，则 a.(6)若直线 a平面，直线 a平面，则.答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)第11页高考调研 高三总复习 数学（理）2(2013广东文)设 l 为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若 l，l，则 B若 l
4、，l，则 C若 l，l，则 D若，l，则 l第12页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 如图所示，在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，对于 A 项，设 l 为 AA1，平面 B1BCC1，平面 DCC1D1 为，.A1A平面 B1BCC1，A1A平面 DCC1D1，而平面 B1BCC1平面 DCC1D1C1C；对于 C 项，设 l 为 A1A，平面 ABCD 为，平面 DCC1D1第13页高考调研 高三总复习 数学（理）为.A1A平面 ABCD，A1A平面 DCC1D1，而平面 ABCD平面 DCC1D1DC；对于 D 项，设平面 A1ABB1 为，平面 ABCD为，直线 D1C
5、1 为 l，平面 A1ABB1平面 ABCD，D1C1平面A1ABB1，而 D1C1平面 ABCD.故 A，C，D 三项都是错误的而对于 B 项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知 B 项正确第14页高考调研 高三总复习 数学（理）3(2015浙江文)设，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m.()A若 l，则 B若，则 lmC若 l，则 D若，则 lm答案 A解析 面面垂直的证明主要是找线面垂直，此题在选项中直接给出两个条件，便于考生根据判定定理进行直接选择，相对较为基础如果采用排除法，思维量会增加第15页高考调研 高三总复习 数学（理）4在如图所示的四个正方体中，能得出 A
6、BCD 的是()答案 A解析 A 中，CDAB；B 中，AB 与 CD 成 60角；C 中，AB与 CD 成 45角；D 中，AB 与 CD 夹角的正切值为 2.第16页高考调研 高三总复习 数学（理）5.如图所示，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA平面 AC，再过 A 作 AESB 交 SB 于 E，过 E作 EFSC 交 SC 于 F.(1)求证：AFSC；(2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AGSD.第17页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)略(2)略证明(1)SA平面 AC，BC平面 AC，SABC.ABCD 为矩形，ABBC 且 SAABA.BC平面 SAB.又A
7、E平面 SAB，BCAE.又 SBAE 且 SBBCB，AE平面 SBC.又SC平面 SBC，AESC.又 EFSC 且 AEEFE，SC平面 AEF.又AF平面 AEF，AFSC.第18页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)SA平面 AC，DC平面 AC，SADC.又 ADDC，SAADA，DC平面 SAD.又 AG平面 SAD，DCAG.又由(1)有 SC平面 AEF，AG平面 AEF，SCAG 且 SCCDC，AG平面 SDC.又 SD平面 SDC，AGSD.第19页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第20页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 线线垂直与线面垂直例 1 如图
8、所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面 PCD.第21页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】(1)连接 AC，PA平面 ABCD，PAAC，在 RtPAC 中，N 为 PC 中点 AN12PC.PA平面 ABCD，PABC.又 BCAB，PAABA，BC平面 PAB，BCPB.从而在 RtPBC 中，BN 为斜边 PC 上的中线，BN12PC.ANBN，ABN 为等腰三角形 又 M 为底边的中点，MNAB，又 ABCD，MNCD.第22页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)PDA45，PAAD，
9、APAD.ABCD 为矩形，ADBC，PABC.又M 为 AB 的中点，AMBM.而PAMCBM90，PMCM，又 N 为 PC 的中点，MNPC.由(1)知 MNCD，PCCDC，MN平面 PCD.【答案】(1)略(2)略第23页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1 证线面垂直的方法有：(1)利用判定定理，它是最常用的思路(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面(3)利用面面垂直的性质：两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面 若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面 第24页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题
10、1 如图所示，在四棱锥 PABCD中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面 ABE.第25页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】(1)PA底面 ABCD，CDPA.又 CDAC，PAACA，故 CD平面 PAC，AE平面 PAC.故 CDAE.第26页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)PAABBC，ABC60，故 PAAC.E 是 PC 的中点，故 AEPC.由(1)知 CDAE，由于 PCCDC，从而 AE平面 PCD，故 AEPD.易知 BAPD，故 PD平面 ABE.【答案】(1)略(2)略第2
11、7页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 面面垂直例 2(1)ABC 为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且 CECA2BD，M 是 EA 的中点求证：DEDA；平面 BDM平面 ECA；平面 DEA平面 ECA.第28页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】取 EC 的中点 F，连接 DF.BDCE，DBBA.又 ECBC，在 RtEFD 和 RtDBA 中，EF12ECBD，FDBCAB，RtEFDRtDBA，DEDA.第29页高考调研 高三总复习 数学（理）取 CA 的中点 N，连接 MN，BN，则 MN 綊12EC.MNBD，N 点在平面 BDM 内 EC平面 ABC，ECBN.
12、又 CABN，BN平面 ECA.BN平面 BDM，平面 BDM平面 ECA.DMBN，BN平面 ECA，DM平面 ECA.又 DM平面 DEA，平面 DEA平面 ECA.【答案】略 略 略第30页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)已知平面 PAB平面 ABC，平面 PAC平面 ABC.AE平面 PBC，E 为垂足求证：PA平面 ABC；当 E 为PBC 的垂心时，求证：ABC 是直角三角形【思路】已知条件“平面 PAB平面 ABC，”，想到面面垂直的性质定理，便有如下解法 第31页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】在平面 ABC 内取一点 D，作DFAC 于 F.平面 PAC平面 A
13、BC，且交线为 AC，DF平面 PAC.又 PA平面 PAC，DFPA.作 DGAB 于 G，同理可证：DGPA.DG，DF 都在平面 ABC 内，且 DGDFD，PA平面 ABC.第32页高考调研 高三总复习 数学（理）连接 BE 并延长交 PC 于 H，E 是PBC 的垂心，PCBH.又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，PC平面 PBC，PCAE.又 BHAEE，PC平面 ABE.又 AB平面 ABE，PCAB.PA平面 ABC，PAAB.又 PCPAP，AB平面 PAC.又 AC平面 PAC，ABAC.即ABC 是直角三角形【答案】略 略第33页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2
14、(1)掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明(2)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面的关键是灵活利用题的结论第34页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2(2014江苏)如图所示，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB的中点已知 PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线 PA平面 DEF；(2)平面 BDE平面
15、 ABC.第35页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】(1)因为 D，E 分别为棱 PC，AC的中点，所以 DEPA.又因为 PA平面 DEF，DE平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6，BC8，所以 DEPA，DE12PA3，EF12BC4.第36页高考调研 高三总复习 数学（理）又因为 DF5，故 DF2DE2EF2.所以DEF90，即 DEEF.又 PAAC，DEPA，所以 DEAC.因为 ACEFE，AC平面 ABC，EF平面 ABC，所以 DE平面 ABC.又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.【
16、答案】(1)略(2)略第37页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 平行与垂直的综合问题例 3(2015天津文)如图，已知 AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2 5，AA1 7，BB12 7，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点(1)求证：EF平面 A1B1BA；(2)求证：平面 AEA1平面 BCB1；(3)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小第38页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)如图，连接 A1B.在A1BC 中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EFBA1.又 EF平面 A1B1BA，所以 EF平面 A1B1BA.(2)因为
17、ABAC，E 为 BC 的中点，所以AEBC.因为 AA1平面 ABC，BB1AA1，所以 BB1平面 ABC，从而 BB1AE.又 BCBB1B，第39页高考调研 高三总复习 数学（理）所以 AE平面 BCB1，又 AE平面 AEA1，所以平面 AEA1平面 BCB1.(3)取 BB1 的中点 M 和 B1C 的中点 N，连接 A1M，A1N，NE.因为 N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点，所以 NEB1B，NE12B1B，故 NEA1A 且 NEA1A，所以 A1NAE，且 A1NAE.因为 AE平面 BCB1，所以 A1N平面 BCB1，从而A1B1N为直线 A1B1 与平面
18、BCB1 所成的角 第40页高考调研 高三总复习 数学（理）在ABC 中，可得 AE2，所以 A1NAE2.因为 BMAA1，BMAA1，所以 A1MAB，A1MAB，由ABBB1，有 A1MBB1.在 RtA1MB1 中，可得 A1B1 B1M2A1M24.在 RtA1NB1 中，sinA1B1NA1NA1B112，因此A1B1N30.所以直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 30.【答案】(1)略(2)略(3)30第41页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3 以棱柱或棱锥为载体，综合考查直线与平面的平行、垂直关系是高考的一个重点内容解决这类问题时，核心是熟练掌握平行、垂直等的判
19、定定理以及性质定理，通过不断利用这些定理，进行平行与垂直关系的转化，证得问题结论第42页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 3(2016汕头质量监测)如图，已知 AF平面ABCD，四边形 ABEF 为矩形，四边形 ABCD 为直角梯形，DAB90，ABCD，ADAFCD2，AB4.(1)求证：AF平面 BCE；(2)求证：AC平面 BCE；(3)求三棱锥 EBCF 的体积第43页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)因为四边形 ABEF 为矩形，所以 AFBE，BE平面 BCE，AF平面 BCE，所以 AF平面 BCE.(2)过 C 作 CMAB，垂足为 M，因为 ADDC，所以四
20、边形 ADCM 为矩形 所以 AMMB2，又 AD2，AB4，所以 AC2 2，CM2，BC2 2，所以 AC2BC2AB2，所以 ACBC.因为 AF平面 ABCD，AFBE，所以 BE平面 ABCD，所以 BEAC.第44页高考调研 高三总复习 数学（理）又 BE平面 BCE，BC平面 BCE，BEBCB，所以 AC平面 BCE.(3)因为 AF平面 ABCD，所以 AFCM.又 CMAB，AF平面 ABEF，AB平面 ABEF，AFABA，所以 CM平面 ABEF.故 VEBCFVCBEF1312BEEFCM1624283.【答案】(1)略(2)略(3)83第45页高考调研 高三总复习
21、数学（理）1判定线面垂直的方法主要有三种：(1)利用定义；(2)利用判定定理(垂直于两相交直线)；(3)与平行关系联合运用，即aba b，a a.2判定面面垂直的方法，主要有两种：(1)利用定义：判定两平面相交所成的二面角为直角；(2)利用判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线.第46页高考调研 高三总复习 数学（理）自 助 餐 第47页高考调研 高三总复习 数学（理）1设 a，b，c 是三条不同的直线，是两个不同的平面，则 ab 的一个充分不必要条件是()Aac，bc B ，a，bCa，bDa，b答案 C解析 对于 C，在平面 内存在 cb，因为 a，所以 ac，故 ab；A，B 中，直线
22、a，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 中一定推出 ab.第48页高考调研 高三总复习 数学（理）2(2016成都一诊)设，是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是()A若 a，b，则 abB若 a，b，ab，则 C若 a，b，ab，则 D若 a，b 在平面 内的射影互相垂直，则 ab第49页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以 A 错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以 B 错误；如图(1)，设 OAa，OBb，直线 OA，OB 确定的平面分别交，于 AC，BC，则 OAAC，O
23、BBC，所以四边形 OACB 为矩形，ACB 为二面角 l 的平面角，所以，C 正确；如 第50页高考调研 高三总复习 数学（理）图(2)，直线 a，b 在平面 内的射影分别为 m，n，显然 mn，但 a，b 不垂直，所以 D 错误，故选 C.第51页高考调研 高三总复习 数学（理）3.如图所示，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆 O 上的一点，E，F 分别是点 A 在PB，PC 上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC.其中正确结论的序号是_第52页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 解析 由题意知 PA平面 ABC，PABC.又 ACB
24、C，PAACA，BC平面 PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面 PBC.AFPB.又 AEPB，AEAFA，PB平面 AEF.PBEF.故正确第53页高考调研 高三总复习 数学（理）4.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBC12AA1，D 是棱 AA1 的中点(1)证明：平面 BDC1平面 BDC；(2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比第54页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)略(2)11解析(1)证明：由题设知 BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以 BC平面 ACC1A1.又 DC1平面 ACC1A1，所以
25、DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即 DC1DC.又 DCBCC，所以 DC1平面 BDC.第55页高考调研 高三总复习 数学（理）又 DC1平面 BDC1，故平面 BDC1平面 BDC.(2)设棱锥 BDACC1 的体积为 V1，AC1.由题意得 V113122 1112.又三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V1，所以(VV1)V111.故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 11.第56页高考调研 高三总复习 数学（理）5.如图所示，在多面体 ABCA1B1C1 中，四边形 ABB1A1 是正方形，ACAB1，A1CA1B，B1C1BC，B1C112BC
26、.(1)求证：平面 A1AC平面 ABC；(2)求证：AB1平面 A1C1C.第57页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)略(2)略证明(1)证明：四边形ABB1A1为正方形，A1AABAC1，A1AAB.A1B2.A1CA1B，A1C 2.A1AC90.A1AAC.ABACA，A1A平面ABC.又A1A平面A1AC，平面A1AC平面ABC.第58页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)取 BC 的中点 E，连接 AE，C1E，B1E.B1C1BC，B1C112BC，B1C1EC，B1C1EC.四边形 CEB1C1 为平行四边形B1EC1C.C1C平面 A1C1C，B1E平面 A1C1C
27、，B1E平面 A1C1C.B1C1BC，B1C112BC，第59页高考调研 高三总复习 数学（理）B1C1BE，B1C1BE.四边形 BB1C1E 为平行四边形B1BC1E，且 B1BC1E.又四边形 ABB1A1 是正方形，A1AC1E，且 A1AC1E.四边形 AEC1A1 为平行四边形AEA1C1.A1C1平面 A1C1C，AE平面 A1C1C，AE平面 A1C1C.AEB1EE，平面 B1AE平面 A1C1C.AB1平面 B1AE，AB1平面 A1C1C.第60页高考调研 高三总复习 数学（理）课外阅读 第61页高考调研 高三总复习 数学（理）高考中的立体几何大题的答题策略典例(12分
28、)(2014北京)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积第62页高考调研 高三总复习 数学（理）【解题思路】研读信息，快速破题 看到 证明面面垂直，线面平行及求体积想到面面垂直、线面平行的判定定理及体积的求解方法 第63页高考调研 高三总复习 数学（理）【规范解答】阅卷标准，体会规范(1)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB1底面 ABC，所以 BB1AB.又因为 ABBC，所以 AB平面 B1BCC1.所以平面 AB
29、E平面 B1BCC1.第64页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)如图所示，取 AB 的中点 G，连接 EG，FG.因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，所以 FGAC，且 FG12AC.因为 ACA1C1，且 ACA1C1，所以 FGEC1，且 FGEC1，所以四边形 FGEC1 为平行四边形 所以 C1FEG.第65页高考调研 高三总复习 数学（理）又因为 EG平面 ABE，C1F平面 ABE，所以 C1F平面 ABE.(3)因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 AB AC2BC2 3.所以三棱锥 EABC 的体积 V13SABCAA11312 312 33.第66页高考调
30、研 高三总复习 数学（理）【满分心得】把握规则，争取满分 1注意答题的规范性 在解题过程中，注意答题要求，严格按照直线、平面垂直的判定定理与性质定理条件的要求，有序进行论证说明如本例(1)证明面面垂直时，要论证平面 ABE 内的直线垂直平面 B1BCC1，再交待其在平面 ABE 内，从而利用面面垂直的判定定理得证 第67页高考调研 高三总复习 数学（理）2关键步骤要全面 阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤，不能漏掉，否则扣分 3涉及运算及准确 在解题过程中，涉及有关长度、角、面积、体积等计算问题时，一定要细心准确，否则思路正确，由于运算失误而扣分，非常可惜请做：题组层级快练（四十二）