1、2015-2016学年江西省新余一中高一（下）第一次段考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷中对应题号的格子内）1代数式sin120cos210的值为（）ABCD2已知是第四象限的角，并且cos=，那么tan的值等于（）ABCD3给出下面四个命题：；其中正确的个数为（）A1B2C3D44函数的奇偶性是（）A奇函数B偶函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，也不是偶函数5已知， =（x，3），=（3，1），且，则x=（）A9B9C1D16已知函数y=Acos（x+）+B的一部分图象如图所示，如果A0
2、，0，|，则（）AA=4B=1CB=4D=7在ABC所在的平面内有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是（）ABCD8设函数y=sinx的定义域为a，b，值域为，1，给出以下四个结论：ba的最小值为ba的最大值为a可能等于2k（kz） b可能等于2k（kz）其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个9给出下列命题：向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；两个单位向量是相等向量；若，则；若一个向量的模为0，则该向量与任一向量平行；若与共线，与共线，则与共线若Sn=（nN*），则在S1，S2，S100中，正数的个数是72个其中正确命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个10中国最高的
3、摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时，则10分钟后A离地面的高度为（）A43米B78米C118米D121米11定义在R上的偶函数满足f（x+2）=f（x）且f（x）在3，2上为减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则（）Af（sin）f（cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin）f（sin）Df（cos）f（cos）12如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点设弧的长为x（0x），y=EB+BC+CD
4、，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13已知向量=（2cos，2sin），=（3，），且与共线，0，2），则=14给出下列命题：函数是奇函数；存在实数x，使sinx+cosx=2；若，是第一象限角且，则tantan；是函数的一条对称轴；函数的图象关于点成中心对称其中正确命题的序号为15将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意aR，y=g（x）在区间a，a+10上零点个数的所有可能值16如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动
5、设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17求下列各式的值：（1）若，且，求的值，（2）化简18函数f1（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的一段图象过点（0，1），如图所示（1）求函数f1（x）的表达式；（2）将函数y=f1（x）的图象向右平移个单位，得函数y=f2（x）的图象，求y=f2（x）的最大值，并求出此时自变量x的值19已知，是平面内两个不共线的非零向量， =2+， =+， =2+，且A，E，C三点共线（1）求实数的值；若=（2，1），=
6、（2，2），求的坐标；（2）已知点D（3，5），在（1）的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标20已知点（，2）在函数f（x）=2sin（x+）（0，0|）的图象上，直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为（1）求函数f（x）的单递增区间和其图象的对称中心坐标；（2）设A=x|x，B=x|f（x）m|1，若AB，求实数m的取值范围21如图，已知在OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设=， =（1）用，表示，；（2）若=，求实数的值22定义区间I=（，）的长度为，已知函数f（x）=ax
7、2+（a2+1）x，其中a0，区间I=x|f（x）0（）求区间I的长度；（）设区间I的长度函数为g（a），试判断函数g（a）在（，1上的单调性；（）在上述函数g（a）中，若a（，1，问：是否存在实数k，使得g（ksinx3）g（k2sin2x4）对一切xR恒成立，若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由2015-2016学年江西省新余一中高一（下）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷中对应题号的格子内）1代数式sin120cos210的值为（）ABCD【考点】运用诱导公式
8、化简求值【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：原式=sincos=sin60cos30=故选A2已知是第四象限的角，并且cos=，那么tan的值等于（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由角的余弦值和角所在的象限，求出角的正弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值【解答】解：是第四象限的角，sin0又cos=，sin2+cos2=1，sin=，tan=故选：D3给出下面四个命题：；其中正确的个数为（）A1B2C3D4【考点】平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义【分析】对于，是一对相反向量，故它们的和为
9、零向量，从而给出判断；对于，由向量加法的三角形则可判断；对于，由向量减法的三角形法则可判断对于，数零与向量的积是一个向量，【解答】解：对于，是一对相反向量，故它们 的和为零向量，正确；对于，由向量加法的三角形法则可知，正确；对于，由向量减法的三角形法则可知，故不正确；对于，数零与向量的积是一个向量，故不正确；故选B4函数的奇偶性是（）A奇函数B偶函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，也不是偶函数【考点】同角三角函数间的基本关系；正切函数的奇偶性与对称性【分析】先考虑函数的定义域关于原点对称，其次判定f（x）与f（x）的关系即可【解答】解：先考虑函数的定义域关于原点对称，其次，故选A，5已
10、知， =（x，3），=（3，1），且，则x=（）A9B9C1D1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：向量，9x=0，解得x=9故选；A6已知函数y=Acos（x+）+B的一部分图象如图所示，如果A0，0，|，则（）AA=4B=1CB=4D=【考点】余弦函数的图象【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式【解答】解：根据函数y=Acos（x+）+B的一部分图象，可得B=2，A=42=2，=，求得=2再根据五点法作图可得2+=0，求得=，y=2cos（2x）+2，故选：D7在ABC所在的平面内有一点P，
11、满足，则PBC与ABC的面积之比是（）ABCD【考点】向量在几何中的应用【分析】根据向量条件，确定点P是CA边上的三等分点，从而可求PBC与ABC的面积之比【解答】解：由得=，即=2，所以点P是CA边上的三等分点，故SPBC：SABC=2：3故选C8设函数y=sinx的定义域为a，b，值域为，1，给出以下四个结论：ba的最小值为ba的最大值为a可能等于2k（kz） b可能等于2k（kz）其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个【考点】正弦函数的图象【分析】画出函数的图象，利用函数的值域，推出函数的定义域的范围，然后求出a，b与ba的值的情况，即可得到结果【解答】解：函数y=sinx的定义域为a
12、，b，值域为，1，由y=sinx的图象，可得ba的最大值为 =；最小值为 =|+2k|ba|+2k|（kz），当k=0或1时，则可能为A和C中的值，由正弦曲线知，当a=，b=时，也满足条件ba的最小值为，正确；ba的最大值为，正确；a可能等于2k，错误；b可能等于2k正确，故选：B9给出下列命题：向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；两个单位向量是相等向量；若，则；若一个向量的模为0，则该向量与任一向量平行；若与共线，与共线，则与共线若Sn=（nN*），则在S1，S2，S100中，正数的个数是72个其中正确命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个【考点】平面向量数量积的运算【分析
13、】根据向量关系的性质进行判断，单位向量的方向不一定相同，根据相等向量的定义进行判断，模长为0的向量为零向量，当=时，结论不成立，由于sin0，sin0，sin0，sin=0，sin0，sin0，sin=0，可得到S10，S13=0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案【解答】解：向量与是共线向量，则，但A、B、C、D四点不一定在一直线上，故错误；两个单位向量是相等向量错误，长度相等，但方向不一定相同，故错误；若，则；正确，故正确，若一个向量的模为0，则该向量为零向量，零向量与任一向量平行，故正确，若与共线，与共线，则与共线，错误，当=时，结论不成立，故错误，sin0，sin0，s
14、in0，sin=0，sin0，sin0，sin=0，S1=sin0，S2=sin+sin0，S8=sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin0，S120，而S13=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S10，S16=S20，S27=S13=0，S28=S14=0，S14n1=0，S14n=0（nN*），在1，2，100中，能被14整除的共7项，在S1，S2，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数故在S1，S2，S100中，正数的个数是86故错误，故正确的是，故选：B10
15、中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时，则10分钟后A离地面的高度为（）A43米B78米C118米D121米【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】10分钟后可算出所转的角度，根据半径的长以及构造的直角三角形，可求出答案【解答】解：作CDOB于D，如图所示COb=10=120，OC=78，OCD=30，OD=OC=39，摩天轮进行10分钟后离地面的高度为：16039=121（米）故选：D11定义在R上的偶函数满足f（x+2）=f（x）且f（x）在3，2上为减函数，若，是锐角三角形的两个内
16、角，则（）Af（sin）f（cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin）f（sin）Df（cos）f（cos）【考点】奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用【分析】由f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断【解答】解：由f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，因为f（x）在3，2上为减函数，所以f（x）在1，0上为减函数，因为f（x）为偶函数，所以f（x）在0，1上为单调增函数因为在锐角三角形中，所以，所以，因为，是锐角，所以0，所以，因为f（x）在0，1上为单调增函数所以f（sin）f（cos），故选A12如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在
17、两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点设弧的长为x（0x），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=时，此时y=AB+BC+CA=3=2；当x=时，FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正AED中，AE=ED=DA=1，y=EB+BC+CD=AB+BC+CA（A
18、E+AD）=321=22如图又当x=时，图中y0=+（2）=22故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确故选D二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13已知向量=（2cos，2sin），=（3，），且与共线，0，2），则=或【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：与共线，=0，0，2），或故答案为：或14给出下列命题：函数是奇函数；存在实数x，使sinx+cosx=2；若，是第一象限角且，则tantan；是函数的一条对称轴；函数的图象关于点成中心对称其中正确命题的序号为【考点】余弦函数的图象；正弦函
19、数的图象【分析】利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：函数=sinx，而y=sinx是奇函数，故函数是奇函数，故正确；因为sinx，cosx不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立，故错误令 =，=，则tan=，tan=tan=tan=，tantan，故不成立把x=代入函数y=sin（2x+），得y=1，为函数的最小值，故是函数的一条对称轴，故正确；因为y=sin（2x+）图象的对称中心在图象上，而点不在图象上，所以不成立故答案为：15将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移单位，再向上平移1个单位，得到函
20、数y=g（x）的图象，对任意aR，y=g（x）在区间a，a+10上零点个数的所有可能值20或者21【考点】根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而a，a+10恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在a，a+10上零点个数的所有可能值；【解答】解：f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1令g（x）=0，得x=k+或x=k+（kz），因为a，a+10恰含1
21、0个周期，所以，当a是零点时，在a，a+10上零点个数21，当a不是零点时，a+k（kz）也都不是零点，区间a+k，a+（k+1）上恰有两个零点，故在a，a+10上有20个零点综上，y=g（x）在a，a+10上零点个数的所有可能值为21或20故答案为：20或者2116如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为+1【考点】函数的零点【分析】不妨考查沿x轴正方向滚动，先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，得出函数的图象，即可得到结论【解答】解：
22、考查P点的运动轨迹，不妨考查正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90，再以C为圆心，再旋转90，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：S=2+211+2=+1故答案为：+1三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17求下列各式的值：（1）若，且，求的值，（2）化简【考点】三角函数的化简求值【分析】（1）由，利用同角三角函数间关系可求得，再利用诱导公式即可求得的值；（2）对整数n分n为偶数（n=2k，kZ）与奇数（n=2k+1，kZ）讨论，利用诱导公式
23、即可化简【解答】解：（1），sin=，cos=，原式=（）（1）当n=2k，kZ时，原式=； （2）当n=2k+1，kZ时，=，当n=2k，kZ时，当n=2k+1，kZ时，18函数f1（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的一段图象过点（0，1），如图所示（1）求函数f1（x）的表达式；（2）将函数y=f1（x）的图象向右平移个单位，得函数y=f2（x）的图象，求y=f2（x）的最大值，并求出此时自变量x的值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）由图知，T=，从而知=2，由2（）+=0，可求得，f1（0）=1可求得A，从而可求函
24、数f1（x）的表达式；（2）利用函数y=Asin（x+）的图象变换，可求得y=f2（x）=f1（x）=2sin（2x），从而可求y=f2（x）的最大值及取最大值时的自变量的值【解答】解：（1）由图知，T=（）=，=2；又2（）+=0，=，f1（x）=Asin（2x+），又f1（0）=1，即Asin=1，A=2，f1（x）=2sin（2x+）；（2）y=f2（x）=f1（x）=2sin2（x）+=2sin（2x），当2x=2k+（kZ），即x=k+（kZ）时，y=f2（x）取得最大值219已知，是平面内两个不共线的非零向量， =2+， =+， =2+，且A，E，C三点共线（1）求实数的值；若=（
25、2，1），=（2，2），求的坐标；（2）已知点D（3，5），在（1）的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标【考点】平面向量数量积的运算【分析】本题（1）通过几何法将向量转化为两向量的和，再将所得向量坐标化，即可得正确结论；（2）由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A点的坐标，即本题答案【解答】解：（1）=，A，E，C三点共线，存在实数k，使得即，得，是平面内两个不共线的非零向量，解得，（2）A、B、C、D四点构成平行四边形，设A（x，y），则，又，解得，点A（10，7）20已知点（，2）在函数f（x）=2sin（x+）（0，0|）的图象上，直线x=x1、x=x2是y=f（x
26、）图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为（1）求函数f（x）的单递增区间和其图象的对称中心坐标；（2）设A=x|x，B=x|f（x）m|1，若AB，求实数m的取值范围【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的图象【分析】（1）通过|x1x2|的最小值为，推出函数的周期，求出，利用函数图象经过的特殊点求出初相，得到函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单递增区间，求解对称中心坐标；（2）利用A=x|x，B=x|f（x）m|1，若AB，列出关系式得到不等式组，即可求实数m的取值范围【解答】解：（1）|x1x2|的最小值为，周期T=2，又图象经过点（，2），2si
27、n（+）=2=2k，kZ|=f（x）=2sin（2x）3分+2k2x+2k，kZ解得+k， +k，kZ为此函数的单调递增区间 5分对称中心为点（+k，0），kZ 7分（2）AB，当x时|f（x）m|1恒成立即m1f（x）m+1恒成立即，f（x）1，2，1m2 14分21如图，已知在OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设=， =（1）用，表示，；（2）若=，求实数的值【考点】平面向量的基本定理及其意义；平行向量与共线向量【分析】（1）根据向量的几何意义计算即可，（2）利用向量共线及向量相等的条件结合向量加法的三角形法则，可求的值【解答】解：
28、（1）如图所示，设=， =，点C是以A为中心的点B的对称点，=D是将分成2：1的一个内分点，=，（2）设，=又=，解得22定义区间I=（，）的长度为，已知函数f（x）=ax2+（a2+1）x，其中a0，区间I=x|f（x）0（）求区间I的长度；（）设区间I的长度函数为g（a），试判断函数g（a）在（，1上的单调性；（）在上述函数g（a）中，若a（，1，问：是否存在实数k，使得g（ksinx3）g（k2sin2x4）对一切xR恒成立，若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由【考点】二次函数的性质；对勾函数【分析】（）解不等式f（x）0，可得区间I的长度；（）由（I）知，a（，1，根据定义法，可
29、证得函数g（a）在（，1上为减函数；（）设存在实数k，使得g（ksinx3）g（k2sin2x4）对一切xR恒成立，则，解得答案【解答】（本小题满分13分）解：（）f（x）0，即ax2+（a2+1）x0a0ax2（a2+1）x0xax+（a2+1）0，即I的长度为（）由（I）知，a（，1设任意的a1，a2（，1且a1a2，则g（a1）g（a2）=a1a21，a1a21，a1a210，又a2a10，即g（a1）g（a2）函数g（a）在（，1上为减函数（说明：如果运用对勾函数的知识解决问题，参照给分）（）设存在实数k，使得g（ksinx3）g（k2sin2x4）对一切xR恒成立，则存在实数使得g（ksinx3）g（k2sin2x4）对一切xR恒成立2017年1月4日