1、2016-2017学年江西省上饶市广丰一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）（实验班）一、选择题（12*5=60分）1某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（）A2400B2700C3000D36002已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，应采用的算法是（）Aa=b，b=aBa=c，b=a，c=bCa=c，b=a，c=aDc=a，a=b，b=c3某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A恰有1名男生与恰有2名女生B至少有1名男生与全是男
2、生C至少有1名男生与至少有1名女生D至少有1名男生与全是女生4根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A25B30C31D615以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A2，5B5，5C5，8D8，86执行如图所示的程序框图，则输出的实数m的值为（）A9B10C11D127设Sn是公差d0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=（）AB3CD28已知集合A=x|2x2x30，B=x|y=lg，在区间（3，3）上任取一实数x，则“xAB”的概率为（）AB
3、CD9已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c若a=2，cosA=，则ABC面积的最大值为（）A2BCD10若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A2BC3D111下列不等式中，（0，）时，sin2+4；log2（x2+1）1+log2x（x0）；sinx+cosx；22x+22y2x+y+1恒成立的有（）ABCD12定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又，则=（）ABCD二、填空题（4*5=20分）13执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=14从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机取出两数，则其中一个数是另一个数的两倍
4、的概率等于15若关于x的不等式axb的解集为（，），则关于x的不等式ax2+bxa0的解集为16已知在ABC中，A=，AB=2，AC=4， =， =， =，则的值为三、解答题（17题是10分，其它各题均为12分.）17已知a0，b0，且=2（1）求ab的最小值；（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值18在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2bc）cosA（1）求角A的大小；（2）求cos（B）2sin2的取值范围19一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4（）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（）先从袋中随
5、机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm+2的概率20某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少今年元旦假期7天该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大已知两种产品直接受资金和劳动力的限制根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：百元）资金单位产品所需资金资金供应量空调机洗衣机成本3020440劳动力：工资710156单位利润108试问：怎样确定两种货物的进货量，才能使7天的总利润最大，最大利润是多少？21某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的
6、志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45，得到的频率分布直方图如图所示（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率22已知数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an=3Sn1+4（n2）（1）求数列an的通项公式，（2）令bn=log2，cn=，其中nN+，记数列cn的前项和为Tn，是否存在kN+，使得TnTk恒成立，若存
7、在这样的k的值，请求出；若不存在这样的k的值，请说明理由2016-2017学年江西省上饶市广丰一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（12*5=60分）1某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（）A2400B2700C3000D3600【考点】分层抽样方法【分析】设全校学生的人数为n和要抽取的样本容量，即可求出答案【解答】解：设全校学生的人数为n，则=，解得n=3000，故选：C2已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，应采用的算法是（）Aa=b，
8、b=aBa=c，b=a，c=bCa=c，b=a，c=aDc=a，a=b，b=c【考点】赋值语句【分析】交换两个数的赋值必须引入一个中间变量，其功能是暂时储存的功能，根据赋值规则即可得到答案【解答】解：由算法规则引入中间变量c，语句如下c=aa=bb=c故选D3某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A恰有1名男生与恰有2名女生B至少有1名男生与全是男生C至少有1名男生与至少有1名女生D至少有1名男生与全是女生【考点】互斥事件与对立事件【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选
9、项逐一验证即可得到答案【解答】解：A中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；B中的两个事件之间是包含关系，故不符合要求；C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件，故不互斥；D中的两个事件是对立的，故不符合要求故选A4根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A25B30C31D61【考点】伪代码【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值当x=60时，则y=25+0.6（605
10、0）=31，故选：C5以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A2，5B5，5C5，8D8，8【考点】茎叶图【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数据此列式求解即可【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）5=16.8；y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27所以中位数为：10+x=15，x=5故选：C6执行如图所示的程序框图，则输出的实数m的值为（）
11、A9B10C11D12【考点】程序框图【分析】先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值【解答】解：模拟执行程序，可得m=1，T=1满足条件T99，T=1，m=2满足条件T99，T=4，m=3满足条件T99，T=9，m=4满足条件T99，T=16，m=5满足条件T99，T=25，m=6满足条件T99，T=36，m=7满足条件T99，T=49，m=8满足条件T99，T=64，m=9满足条件T99，T=81，m=10满足条件T99，T=100，m=11不满足条件T99，退出循环，输出m的值为11故选
12、：C7设Sn是公差d0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=（）AB3CD2【考点】等差数列的通项公式【分析】S1，S2，S4成等比数列，可得： =S1S4，代入可得： =，化简整理可得d与a1的关系，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：Sn是公差d0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，=S1S4，=，化为：d=2a10则=故选：A8已知集合A=x|2x2x30，B=x|y=lg，在区间（3，3）上任取一实数x，则“xAB”的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】分布求解二次不等式及分式不等式可求集合A，B，进而可求AB，由
13、几何概率的求解公式即可求解【解答】解：，B=x|y=lg=x|=3x1所以AB=x|1x1，所以在区间（3，3）上任取一实数x，则“xAB”的概率为，故选C9已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c若a=2，cosA=，则ABC面积的最大值为（）A2BCD【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理得出4=b2+c2bc，再利用基本不等式求出bc3，根据ABC的面积公式即可求出它的最大值【解答】解：ABC中，a=2，cosA=，由余弦定理得，a2=b2+c22bccosA，即4=b2+c2bc；又4=b2+c2bc2bcbc=bc，当且仅当b=c时取“=”；bc3，ABC的面积为S=bc
14、sinA3=，即ABC面积的最大值为故选：B10若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A2BC3D1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到点D（0，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，3），此时的最大值为，故选：A11下列不等式中，（0，）时，sin2+4；log2（x2+1）1+log2x（x0）；sinx+cosx；22x+22y2x+y+1恒成立的有（）ABCD【考点】基本不等式【分析】对于，根据基本不等式等号成立的条件即可判断，对于，根据基本
15、不等式和对数的运算性质故可判断，对于，sinx+cosx=sin（x+），根据三角函数的性质即可判断，对于，根据基本不等式和指数函数的运算性质即可判断【解答】解：对于，sin2+4，当且仅当sin4=4时取等号，显然不成立，故不恒成立，对于，x2+12x，x0，log2（x2+1）log2（2x）=1+log2x，当且仅当x=1时取等号，故恒成立，对于，sinx+cosx=sin（x+），又sin（x+）1，故sinx+cosx恒成立，对于，22x+22y22x+y=2x+y+1，故恒成立，故选：D12定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又，则=（）
16、ABCD【考点】类比推理【分析】由已知得a1+a2+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n2时，an=SnSn1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和【解答】解：由已知得，a1+a2+an=n（2n+1）=Sn当n2时，an=SnSn1=4n1，验证知当n=1时也成立，an=4n1，=+（）+（）=1=故选C二、填空题（4*5=20分）13执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4【考点】程序框图【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=0.8时，n+1的值【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=0.8
17、时，n+1的值当n=2时，当n=3时，此时n+1=4故答案为：414从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机取出两数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率等于【考点】排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式【分析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案【解答】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）（1，6），（2，3），（2，4）（2，5），（2，6），（3，4）（3，5），（3，
18、6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有3种，即（1，2），（2，4），（3，6）；则其概率为=；故答案为：15若关于x的不等式axb的解集为（，），则关于x的不等式ax2+bxa0的解集为【考点】一元二次不等式的解法【分析】由于关于x的不等式axb的解集为（，），可得a0，因此不等式ax2+bxa0可化为，代入解出即可【解答】解：关于x的不等式axb的解集为（，），a0，不等式ax2+bxa0可化为，即，解得：不等式ax2+bxa0的解集为故答案为：16已知在ABC中，A=，AB=2，AC=4， =， =， =，则的值为【考点】平面向量数量积的
19、运算【分析】首先建立平面直角坐标系，根据向量间的关系式，求出向量的坐标，最后求出向量的数量积【解答】解：在ABC中，A=，建立直角坐标系，AB=2，AC=4， =， =， =，根据题意得到：则：A（0，0），F（0，1），D（1，），E（2，0）所以：，所以：故答案为：三、解答题（17题是10分，其它各题均为12分.）17已知a0，b0，且=2（1）求ab的最小值；（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）运用基本不等式m+n2（m，n0），当且仅当m=n取得等号，计算即可得到最小值；（2）运用乘1法和基本不等式即可得到最小值，注意等号成
20、立的条件【解答】解：（1）由a0，b0，且=2，可得2=+2，即ab2，当且仅当b=2a=2时取得等号， 则ab的最小值为2； （2）a+2b=（a+2b）（+）=（5+）（5+2）=；等号成立的充要条件是a=b=，a+2b的最小值为；此时a=b=18在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2bc）cosA（1）求角A的大小；（2）求cos（B）2sin2的取值范围【考点】正弦定理【分析】（）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB0，可求，结合A为内角即可求得A的值（）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B）1，由可求B的范围，从而可求，即
21、可得解【解答】解：（）由正弦定理可得，从而可得，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB0，于是，又A亦为三角形内角，因此，（），=，=，由可知，所以，从而，因此，故的取值范围为19一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4（）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm+2的概率【考点】互斥事件的概率加法公式；互斥事件与对立事件【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2
22、，1和3，两种情况，求比值得到结果（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做【解答】解：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，取出的球的编号之和不大于4的概率P=（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有（m，n）有44=16种，而nm+2有1和3，1和4，2和4三种结果，P=1=20某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少今年元旦假期7天该卖场要根据实际情况确定产品的
23、进货数量，以达到总利润最大已知两种产品直接受资金和劳动力的限制根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：百元）资金单位产品所需资金资金供应量空调机洗衣机成本3020440劳动力：工资710156单位利润108试问：怎样确定两种货物的进货量，才能使7天的总利润最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解【解答】解：设空调机、洗衣机这7天的进货量分别为x，y台，总利润为z，由题意有，化简为，目标函数z=10x+8y，由右图知
24、：直线y=过M（8，10）点时纵截距最大，即目标函数z最大，此时z=108+810=160百元当进货量为空调机8台，洗衣机10台，7天的总利润最大，为16000元21某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45，得到的频率分布直方图如图所示（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至
25、少有一名志愿者被抽中的概率【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出【解答】解：（1）第3，4，5组中的人数分别为0.065100=30，0.045100=20，0.025100=10从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者，应从第3，4，5组各抽取人数为， =1；（2）设“第4组至少有一名志愿者被抽中”为事件A，则P（A）=22已知数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an=3Sn1+4（n2）（1）求数列an的通项公式，（2）令
26、bn=log2，cn=，其中nN+，记数列cn的前项和为Tn，是否存在kN+，使得TnTk恒成立，若存在这样的k的值，请求出；若不存在这样的k的值，请说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，即可求数列an的通项公式，（2）求出数列的通项，利用错位相减法求和，即可得出结论【解答】解：（1）an=3Sn1+4（n2），a2=7，an+1=3Sn+4两式相减得：an+1=4an，an=74n2（n2），此式对n=1不成立，所以an=（2）bn=log2=2n，cn=，Tn=+Tn=+得Tn=+=1Tn=2TnTn1=0，所以Tn是递增的，所以TnT1恒成立，所以k=12017年1月8日