1、2016-2017学年江西省抚州市临川实验学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、单项选择题（60分，每小题5分）1在区间2，10上任取一个数，这个数在区间5，7上的概率为（）ABCD2钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件3抛物线x2=8y的焦点坐标为（）A（2，0）B（4，0）C（0，2）D（0，4）4下列哪种工作不能使用抽样方法进行（）A测定一批炮弹的射程B测定海洋水域的某种微生物的含量C高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D检测某学校全体高二学生的身高和体重的情况5执行如图所示的程序框
2、图，则输出s的值为（）A10B17C19D366双曲线3x2y2=3的离心率为（）A1BCD27设有一个直线回归方程为=21.5，则变量x增加一个单位时（）Ay 平均增加 1.5 个单位By 平均增加 2 个单位Cy 平均减少 1.5 个单位Dy 平均减少 2 个单位8某市A、B、C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则A区应抽取（）A200人B205人C210人D215人9一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位cm）分布茎叶图如图，记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高
3、记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为（）A5B6C7D810一组样本数据，容量为150，按从小到大的顺序分成5个组，其频数如下表：组号12345频数28322832x那么，第5组的频率为（）A120B30C0.8D0.211已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）ABCD12给出下列四个命题，若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”“任意xR，x2+10”的否定是“存在xR，x2+10”；在ABC中，“AB”是“sinAsi
4、nB”的充要条件；其中不正确的命题的个数是（）A1B2C3D4二、填空题（20分，每小题5分）13在所有的两位数（1099）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是14已知，是三个不共面向量，已知向量=+， =52，则43=15设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF2=60，则F1PF2的面积为16三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为三、解答题17求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点P（4，2）的抛物线的标准方程18设命题p：方程表示双曲线；命题q：x0R，使（1）若命题p为真
5、命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（3）求使“pq”为假命题的实数m的取值范围19椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为、离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且（I）求椭圆方程；（II）求m的取值范围20如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1（1）证明：PCAD；（2）求二面角APCD的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长21设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0（1）若a是从0，1，2，3四个数中
6、任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率22已知椭圆c： =1（ab0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A（0，b），AF1F2是正三角形且周长为6（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标2016-2017学年江西省抚州市临川实验学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题（60分，每小题5分）1在区间2，10上任取一个数，这个数在区间5，7上的概率
7、为（）ABCD【考点】几何概型【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出对应区间的长度，利用长度比得到概率值【解答】解：由区间2，10的长度为8，区间5，7的长度为2，则所求的概率为P=故选：B2钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】“好货”“不便宜”，反之不成立即可判断出结论【解答】解：“好货”“不便宜”，反之不成立：“好货”是“不便宜”的充分不必要条件故选：A3抛物线x2=8y的焦点坐标为（）A（2，0）B（4，0）C（0，2）D（0，4）【考点】抛物线的简
8、单性质【分析】根据抛物线的标准方程的形式，求出焦参数p值，即可得到该抛物线的焦点坐标【解答】解：由题意，抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上抛物线x2=8y中，2p=8，得=2抛物线的焦点坐标为F（0，2）故选：C4下列哪种工作不能使用抽样方法进行（）A测定一批炮弹的射程B测定海洋水域的某种微生物的含量C高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D检测某学校全体高二学生的身高和体重的情况【考点】收集数据的方法【分析】抽样是为了用总体中的部分个体（即样本）来估计总体的情况，即可得出结论【解答】解：抽样是为了用总体中的部分个体（即样本）来估计总体的情况，选项A、B、C都是从总体中抽取部分
9、个体进行检验选项D是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法故选D5执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A10B17C19D36【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：k=2，s=0满足条件k10，第一次循环，s=2，k=3，满足条件k10，第二次循环，s=5，k=5，满足条件k10，第二次循环，s=10，k=9，满足条件k10，第二次循环，s=19，k=17，不满足条件k10，退出循环，输出s的值为19故选：C6双曲线3x
10、2y2=3的离心率为（）A1BCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】将双曲线3x2y2=3化成标准形式，得，从而得出出a、b的值，用平方关系算出c=2，再用双曲线的离心率公式，可得离心率e的值【解答】解：双曲线3x2y2=3化成标准形式为a2=1，b2=3，得c=2由此可得双曲线的离心率为e=2故选D7设有一个直线回归方程为=21.5，则变量x增加一个单位时（）Ay 平均增加 1.5 个单位By 平均增加 2 个单位Cy 平均减少 1.5 个单位Dy 平均减少 2 个单位【考点】线性回归方程【分析】根据回归直线方程的x的系数是1.5，得到变量x增加一个单位时，函数值要平均增加1.5个单位，即可
11、得到结论【解答】解：直线回归方程为=21.5，变量x增加一个单位时，函数值要平均增加1.5个单位，即减少1.5个单位，故选C8某市A、B、C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则A区应抽取（）A200人B205人C210人D215人【考点】分层抽样方法【分析】本题是一个分层抽样方法，根据总体数和要抽取的样本数，得到每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以A区的人数，得到A区要抽取的人数【解答】解：由题意知A区在样本中的比例为，A区应抽取的人数是600=210故选C9一次选拔运动员，测
12、得7名选手的身高（单位cm）分布茎叶图如图，记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为（）A5B6C7D8【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图【分析】求这7组数的平均数，列出方程，即可解题【解答】解：解得x=8故选D10一组样本数据，容量为150，按从小到大的顺序分成5个组，其频数如下表：组号12345频数28322832x那么，第5组的频率为（）A120B30C0.8D0.2【考点】频率分布表【分析】根据频率分布表，求出频数与频率即可【解答】解：根据频率分布表，得；第5组的频数为15028322832=30第5组的频率为=0.2故选：D11已知点F
13、1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由ABF2是锐角三角形知，tanAF2F1=1，e22e10，解不等式求出e 的范围【解答】解：在双曲线中，令x=c 得，y=，A，B两点的纵坐标分别为 由ABF2是锐角三角形知，AF2F1，tanAF2F1=tan=1，1，c22aca20，e22e10，1e1+又 e1，1e1+，故选D12给出下列四个命题，若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若
14、ab，则2a2b1”“任意xR，x2+10”的否定是“存在xR，x2+10”；在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件；其中不正确的命题的个数是（）A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用复合命题的真假判断的正误；否命题的形式判断的正误；命题的否定判断的正误；充要条件判断的正误；【解答】解：若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题，不正确，因为有一个是假命题，“p且q”为假命题命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”满足命题的否命题的形式，正确；“任意xR，x2+10”的否定是“存在xR，x2+10”；满足命题的否定形式，正确；在ABC中，“A
15、B”是“sinAsinB”的充要条件；由正弦定理知，sinAsinB，ab，AB反之，AB，ab，a=2RsinA，b=2RsinB，sinAsinB，所以命题是真命题故选：A二、填空题（20分，每小题5分）13在所有的两位数（1099）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数n=90，再求出这个数能被2或3整除包含的基本事件个数m=45+3015=60，由此能求出这个数能被2或3整除的概率【解答】解：在所有的两位数（1099）中，任取一个数，基本事件总数n=90，这个数能被2或3整除包含的基本事件个数m=45+3015=60，这
16、个数能被2或3整除的概率是p=故答案为：14已知，是三个不共面向量，已知向量=+， =52，则43=13+2+7【考点】空间向量的加减法【分析】利用向量运算性质即可得出【解答】解：43=4（+）3（52）=13+2+7故答案为：13+2+715设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF2=60，则F1PF2的面积为9【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的简单性质、余弦定理列出方程组，求出PF1PF2=36，由此能求出F1PF2的面积【解答】解：F1、F2是双曲线的两个焦点，P是此双曲线上的点，F1PF2=60，不妨设PF1PF2，整理，得PF1PF2=36，F1PF2
17、的面积S=9故答案为：916三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，棱长均为1，则=， =， =，=（）（）=+=+=1+1=1|=|=cos，=异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为三、解答题17求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点P（4，2）的抛物线的标准方程【考点】抛物线的简单性质【分析】根据
18、题意，由抛物线经过点P的坐标，分析可得其图象开口向下或向左，进而分开口向下或向左2种情况讨论，分别求出抛物线的标准方程，综合可得答案【解答】解：根据题意，要求的抛物线过点P（4，2），则其图象过第三象限，其开口向下或向左，若开口向下，设其方程为x2=2py，又由其过P（4，2），则有（4）2=2p（2），解可得p=4，则其方程为x2=8y，若开口向左，设其方程为y2=2px，又由其过P（4，2），则有（2）2=2p（4），解可得p=，则其方程为y2=x，抛物线方程为x2=8y或y2=x18设命题p：方程表示双曲线；命题q：x0R，使（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为真
19、命题，求实数m的取值范围；（3）求使“pq”为假命题的实数m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】（1）当命题p为真命题时，（12m）（m+3）0，解得m（2）当命题q为真命题时，=4m24（32m）0，解得m（3）当“pq”为假命题时，p，q都是假命题，解得m【解答】解：（1）当命题p为真命题时，方程表示双曲线，（12m）（m+3）0，解得m3，或m，实数m的取值范围是m|m3，或m； （2）当命题q为真命题时，方程有解，=4m24（32m）0，解得m3，或m1；实数m的取值范围是|m3，或m1；（3）当“pq”为假命题时，p，q都是假命题，解得3m；m的取值范围为（3， 19椭圆C
20、的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为、离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且（I）求椭圆方程；（II）求m的取值范围【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）先设椭圆的标准方程，根据短轴长为、离心率为可求出a，b，c的值，从而得到答案（2）先设l与椭圆C交点为A、B的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，进而得到两根之和、两根之积，再表示出再将两根之和、两根之积代入可得，整理可得0解出m的范围【解答】解：（I）设C： =1（ab0），设c0，c2=a2b2，由条件知2b=，a=1，b=c=故C的方程为：（II）
21、设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）由得（k2+2）x2+2kmx+（m21）=0得（k2+2）x2+2kmx+（m21）=0=（2km）24（k2+2）（m21）=4（k22m2+2）0（*），x1=3x2得3（x1+x2）2+4x1x2=0，3整理得4k2m2+2m2k22=0m2=时，上式不成立；m2时，由（*）式得k22m22因k00，1m或m1即所求m的取值范围为（1，）（，1）20如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1（1）证明：PCAD；（2）求二面角APCD的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足
22、异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角的平面角及求法【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出=0，证出PCAD（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解（3）设E（0，0，h），其中h0，2，利用cos=cos30=，得出关于h的方程求解即可解法二：（1）通过证明AD平面PAC得出PCAD（2）作AHPC于点H，连接DH，AHD为二面角APCD的平面角在RTDAH中求解（3）因为ADC45，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故EBF（或其补
23、角）为异面直线BE与CD所成的角在EBF中，因为EFBE，从而EBF=30，由余弦定理得出关于h的方程求解即可【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（，0），P（0，0，2）（1）证明：易得=（0，1，2），=（2，0，0），于是=0，所以PCAD（2）解： =（0，1，2），=（2，1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即取z=1，则以=（1，2，1）又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos=，sin=所以二面角APCD的正弦值为（3）设E（0，0，h），其中h0，2，由此得=（，h）由
24、=（2，1，0），故cos=所以=cos30=，解得h=，即AE=解法二：（1）证明：由PA平面ABCD，可得PAAD，又由ADAC，PAAC=A，故AD平面PAC，又PC平面PAC，所以PCAD（2）解：如图，作AHPC于点H，连接DH，由PCAD，PCAH，可得PC平面ADH，因此DHPC，从而AHD为二面角APCD的平面角在RTPAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，ADAH，在RTDAH中，DH=，因此sinAHD=所以二面角APCD的正弦值为（3）解：如图，因为ADC45，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故EBF（或其补角）为异面直线
25、BE与CD所成的角由于BFCD，故AFB=ADC，在RTDAC中，CD=，sinADC=，故sinAFB=在AFB中，由，AB=，sinFAB=sin135=，可得BF=，由余弦定理，BF2=AB2+AF22ABAFcosFAB，得出AF=，设AE=h，在RTEAF中，EF=，在RTBAE中，BE=，在EBF中，因为EFBE，从而EBF=30，由余弦定理得到，cos30=，解得h=，即AE=21设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间
26、0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到ab（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2，满足条件的构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab，根据概率等于面积之比，得到概率【解答】解：设事件A为“方程有实根”当a0，b0时，方程有实根的充要条件为ab（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0
27、，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P=（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2满足条件的构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab所求的概率是22已知椭圆c： =1（ab0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A（0，b），AF1F2是正三角形且周长为6（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标
28、【考点】椭圆的简单性质；两点间的距离公式【分析】（1）根据椭圆的定义和AF1F2周长为6，建立关于a、b、c的方程组，解之得a=2、b=且c=1，即可得到椭圆C的标准方程，用离心率的公式即可得到该椭圆的离心率；（2）设直线AF1的方程为y=（x+1），求出原点O关于直线AF1的对称点M的坐标为（，），从而得到|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|=，再由MF2的方程y=（x1）与AF1方程联解，即可得到此时点P的坐标【解答】解：（1）由题意，得，解之得a=2，b=，c=1故椭圆C的方程为=1，离心率e=；（2）AF1F2是正三角形，可得直线AF1的斜率为k=tan=直线AF1的方程为y=（x+1）设点O关于直线AF1的对称点为M（m，n），则，解之得m=，n=，可得M坐标为（，），|PO|=|PM|，|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|MF2|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|=直线MF2的方程为y=（x1），即y=（x1）由解得，所以此时点P的坐标为（，）综上所述，可得求|PF2|+|PO|的最小值为，此时点P的坐标为（，）2017年3月22日