1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析 考点一等比数列基本量的运算 1.已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,则a6等于()A.16B.32C.64D.1282.Sn是等比数列an的前n项和,若S4,S3,S5成等差数列,则an的公比q的值为()A. B.-2C.1D.-2 或13.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=()A.2n-1B.C.D.4.(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项的和为15,且a5=3a3
2、+4a1,则a3=()世纪金榜导学号A.16B.8C.4D.25.已知Sn是等比数列an的前n项和,若存在mN*,满足=9,=,则数列an的公比为()世纪金榜导学号A.-2B.2C.-3D.3【解析】1.选C.因为S3=14,a3=8,所以q1,所以, 解得a1=2,q=2或a1=18,q=-(舍),所以a6=a1q5=232=64.2.选B.由S4,S3,S5成等差数列知等比数列an的公比q1,因此得2S3=S5+S4,即=+,化简整理得q3(q+2)(q-1)=0,所以q=0(舍去),q=1(舍去)或q=-2.故q=-2.3.选D.因为an+1=Sn+1-Sn,所以Sn=2an+1=2(S
3、n+1-Sn),所以=,所以数列Sn是以S1=a1=1为首项,为公比的等比数列,所以Sn=.4.选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a10且q0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.5.选B.设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q1.因为=qm+1=9,所以qm=8.所以=qm=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.把T1条件“S3=14,a3=8”改为“a3=9,S3=27”其他条件不变,则公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或 - 【解析】选C.当公比q
4、=1时,a1=a2=a3=9,所以S3=39=27.符合题意.当q1时,S3=,所以27=,所以a1=27-18q,因为a3=a1q2,所以(27-18q)q2=9,所以(q-1)2(2q+1)=0,所以q=-.综上q=1或q=-.解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,将q分为q=1和q1两种情况进行讨论.秒杀绝招应用转化法解T2选B.由S4,S3,S5成等差数列,得2S3=S5+S4,即2(a
5、1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得a5=-2a4,所以=-2,即q=-2.故选B.考点二等比数列的判断与证明【典例】1.已知数列an中,a1=1,若an=2an-1+1(n2),则a5的值是_.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题(1)由an=2an-1+1(n2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5(2)由an=2an-1+1(n2)联想到转化法求通项公式【解析】因为an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),所以=2,又a1=1,所以an+1是以2为首项,2为公比的等比数列,即an+1=22n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31.答案:31
6、【一题多解】由an=2an-1+1(n2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5,当n=2得a2=3,同理得a3=7,a4=15,a5=31.答案:312.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*),若bn=an+1-2an,求证:bn是等比数列.世纪金榜导学号【解题导思】序号题目拆解(1)Sn+1=4an+2(nN*)出现Sn+2=4an+1+2(nN*)(2)bn=an+1-2an证明bn是等比数列把n换为n+1左式和已知式子相减an+2=4an+1-4an,把n换为n+1得出bn+1转化为证明为常数【证明】因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4a
7、n-2=4an+1-4an,所以=2.因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.若本例2中的条件不变,试求an的通项公式.【解析】由题知bn=an+1-2an=32n-1,所以-=,故是首项为,公差为的等差数列.所以=+(n-1)=,所以an=(3n-1)2n-2.1.等比数列的四种常用判定方法(1)定义法:若=q(q为非零常数,nN*)或=q(q为非零常数且n2,nN*),则an是等比数列.(2)等比中项法:若数列an中,an0且=anan+2(nN*),则an是等比数列.(3)通项公式法:若数列an的通项公式可写
8、成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列.(4)前n项和公式法:若数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列.2.证明某数列不是等比数列若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式. (2)若数列bn满足:bn=an+(-1)nln an,求数列bn的前2n项和S2n.【解析】(1)当a1=3时,不符合题意;当a1=
9、2时,当且仅当a2=6,a3=18时符合题意;当a1=10时,不符合题意;所以a1=2,a2=6,a3=18所以公比为3所以an=23n-1,nN*.(2)因为bn=an+(-1)nln an=23n-1+(-1)nln(23n-1)=23n-1+(-1)nln 2+(n-1)ln 3=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,所以S2n=b1+b2+b2n=2(1+3+32n-1)+-1+1-1+(-1)2n(ln 2-ln 3)+-1+2-3+(-1)2n2nln 3=2+nln 3=32n+nln 3-1,所以数列bn的前2n项和S2n=32n+nln 3-1.
10、考点三等比数列的性质及其应用命题精解读考什么:等比数列通项公式、前n项和公式、性质和最值问题怎么考:等比数列性质、等比数列前n项和的性质作为考查等比数列运算知识的最佳载体,试题常以选择题、填空题的形式出现,有时也会出现在解答题中新趋势:以数列为载体与函数、不等式知识结合等问题.解题过程中常常渗透数学运算核心素养.学霸好方法1.与等比数列性质有关的运算问题解题思路在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,若相等则利用等比数列的性质进行运算2.交汇问题:以数列为载体与函数性质、不等式等知识结合考查,注意分类讨论思想的应用等比数列项的性质应用【典例】已知等比数列an中,a4+a8
11、=-2,则a6(a2+2a6+a10)的值为世纪金榜导学号()A.4B.6C.8D.-9【解析】选A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2+a6a10=+2a4a8+=(a4+a8)2,因为a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.1.等比数列性质的应用可以分为哪些变形?提示:通项公式的变形、等比中项的变形、前n项和公式的变形.2.在解决等比数列项的性质的有关问题时,如何迅速挖掘隐含条件利用性质解题?提示:在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,若项数和相等,则利用等比数列的性质进行运算.提醒根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的
12、突破口.等比数列中的最值与范围问题【典例】设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为_.世纪金榜导学号【解析】设等比数列an的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,所以a1=8.故a1a2an=23n=.记t=-+=-(n2-7n),结合nN*可知n=3或4时,t有最大值6.又y=2t为增函数,从而a1a2an的最大值为26=64.答案:64求等比数列中的最值与范围问题有哪些方法?提示:求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解.有时也应用基本不等式.1.在正项等比数列a
13、n中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于()A.12B.13C.14D.15【解析】选C.因为数列an是各项均为正数的等比数列,所以a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,a10a11a12,也成等比数列.不妨令b1=a1a2a3,b2=a4a5a6,则公比q=3.所以bm=43m-1.令bm=324,即43m-1=324,解得m=5,所以b5=324,即a13a14a15=324.所以n=14.2.已知正数组成的等比数列an,若a1a20=100,那么a7+a14的最小值为()A.20B.25 C.50D.不存在【解析】选A.(a7+a14)2
14、=+2a7a144a7a14=4a1a20=400(当且仅当a7=a14时取等号).所以a7+a1420.1.已知数列an满足log2an+1=1+log2an(nN*),且a1+a2+a3+a10=1,则log2(a101+a102+a110)=_.【解析】因为log2an+1=1+log2an,可得log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列an是以a1为首项,2为公比的等比数列,又a1+a2+a10=1,所以a101+a102+a110=(a1+a2+a10)2100=2100,所以log2(a101+a102+a110)=log22100=100.答案:1002.设
15、数列an的前n项和为Sn,已知a1=a(a3),an+1=Sn+3n,nN*.(1)设bn=Sn-3n,求数列bn的通项公式.(2)若an+1an,nN*,求a的取值范围.【解析】(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),又S1-31=a-3(a3),故数列Sn-3n是首项为a-3,公比为2的等比数列,因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,nN*.(2)由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,nN*,于是,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2,当n=1时,a1=a不适合上式,故an=an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2=2n-2,当n2时,an+1an12+a-30a-9.又a2=a1+3a1.综上,所求的a的取值范围是-9,+).关闭Word文档返回原板块