1、江西省上饶市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1已知集合A=x|0，B=x|2x2，则AB=（）A2，1）B1，2）C1，1D1，2）2已知costan0，那么角是（）A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角3已知a、b为非零实数，且ab，则下列不等式恒成立的是（）Aa2b2BCD4已知=（2，5），=（3，4），=（1，6），且=+，则（）A+=1B+=0C+=1D+=25将函数y=sin（2x+）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移
2、个单位长度，所得到的函数图象的一个对称中心是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）6已知cos（）=，sin=，且（0，），（，0），则sin=（）ABCD7已知平面向量、满足|=5，|=4，且与的夹角为120，则（+2）与夹角余弦为（）ABCD8已知函数f（x）=sin（+x）cos（x），给出下列四个说法：若f（x1）=f（x2），则x1=x2； f（x）的最小正周期是2；f（x）在区间，上是增函数； f（x）的图象关于直线x=对称其中正确说法的个数为（）A1个B2个C3个D4个9等差数列an的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列Sn中也为常数的项是（）
3、AS7BS8CS13DS1510已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（）（）=0，则|的最大值是（）A1B2CD11已知数列an是递增数列，且an=（nN*），则的取值范围为（）A（1，2）B（1，C（1，）D（1，）12已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且x0时，f（x）=lg（2x），若g（x）=sinx，则函数y=f（x2）与y=g（x）图象所有公共点的横坐标之和为（）A10B12C20D22二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13已知，是平面内两个不共线的向量，且=2，=k+，若与是共线向量，则实数k=14已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4
4、a6=25，那么a3+a5的值等于15已知数列an满足a1=1，对所有正整数n2都有a1a2a3an=n2，则an=16已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G若AGM的面积为，则AGN的面积为三、解答题（本大题共6小题，第17题为10分，其余各题每题12分，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=（a2）x2+（2a3）x+2，g（x）=x+6（1）若a=1，解不等式f（x）0；（2）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围18已知向量=（2cosx，1），=（sinx+cosx，1），若f（x）=（1）求函
5、数y=f（x）的单调递减区间；（2）求函数y=f（x）在x0，内的值域19已知数列an前n项和Sn=n（n+1）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn的通项公式为bn=qn（q为常数）求数列anbn的前n项和Tn20已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bcos2A=2aasinAsinB，cosB=（1）求sinA的值；（2）若c=，求a，b的值21如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP=（1）若点C为OA的中点，试求的正弦值（2）求POC面积的最大值及此时的值22设数列an满足a1=2，a
6、n=4an1+2n，nN*，且n2（1）求证：数列an+2n为等比数列；（2）若Sn为数列an的前n项和，设bn=，nN*，证明：b1+b2+bn江西省上饶市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1已知集合A=x|0，B=x|2x2，则AB=（）A2，1）B1，2）C1，1D1，2）考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可解答：解：A=x|0=x|x3或x1，B=x|2x2，则AB=x|2x1，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2已
7、知costan0，那么角是（）A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角考点：象限角、轴线角 专题：三角函数的图像与性质分析：根据costan0和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角所在的象限解答：解：costan=sin0，角是第三或第四象限角，故选C点评：本题的考点是三角函数值的符号判断，本题化简后能比较直接得出答案，一般此类题需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行判断3已知a、b为非零实数，且ab，则下列不等式恒成立的是（）Aa2b2BCD考点：不等式的基本性质 专题：不等式的解法及应用分析：根据不等式的基本
8、性质，结合已知中a、b为非零实数，且ab，逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立，可得答案解答：解：a、b为非零实数，且ab，由于a，b符号不确定，故a2与b2的大小不能确定，故A不恒成立；由于ab符号不确定，故与的大小不能确定，故B不恒成立；，但由于a符号不确定，故的大小不能确定，故C不恒成立；由于a2b20，故恒成立，即恒成立，即D恒成立，故选：D点评：本题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键4已知=（2，5），=（3，4），=（1，6），且=+，则（）A+=1B+=0C+=1D+=2考点：向量加减混合运算及其几何意义 专题：平面向量及应用分析：利用向量的
9、线性运算、向量相等即可得出解答：解：=+，（3，4）=（2，5）+（1，6）=（2+，5+6），化为+=1故选：C点评：本题考查了向量的线性运算、向量相等，属于基础题5将函数y=sin（2x+）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的函数图象的一个对称中心是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得所得函数的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，可得结论解答：解：将函数y=sin（2x+）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得函数y=s
10、in（x+）的图象；再把所得图象向右平移个单位长度，所得到的函数图象对应的函数解析式为 y=sin（x+）=sin（x+），令x+=k，求得x=k，kZ，可得所得函数的对称中心为（k，0），kZ，故选：D点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题6已知cos（）=，sin=，且（0，），（，0），则sin=（）ABCD考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数 专题：计算题分析：由和的范围求出的范围，然后由cos（）及sin的值，分别利用同角三角函数间的基本关系求出sin（）及cos的值，最后把所求式子中的角变形
11、为（）+，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值解答：解：（0，），（，0），（0，），又cos（）=，sin=，sin（）=，cos=，则sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=+（）=故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围7已知平面向量、满足|=5，|=4，且与的夹角为120，则（+2）与夹角余弦为（）ABCD考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：先求出（+2）的模，再根据向量的夹角的余弦公式求出即可解答：解：|+2|2=+4+4=25+454cos
12、120+444=49，故|+2|=7，cos+2，=，故选：B点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查向量的夹角的余弦公式，是一道基础题8已知函数f（x）=sin（+x）cos（x），给出下列四个说法：若f（x1）=f（x2），则x1=x2； f（x）的最小正周期是2；f（x）在区间，上是增函数； f（x）的图象关于直线x=对称其中正确说法的个数为（）A1个B2个C3个D4个考点：三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的图像与性质分析：化简解析式可得f（x）=sin2x，由已知可求x1=x2+2k（kZ），即可判断错；由周期公式可求f（x）的最小正周期是，即可判断错；令+2
13、k2x+2k，可求得单调递增区间即可判断对；令2x=+k，求得对称轴方程即可判断对解答：解：f（x）=sin（+x）cos（x）=sin2x，若f（x1）=f（x2），则f（x1）=f（x2），所以x1=x2+2k（kZ），故错；f（x）的最小正周期是，故错；令+2k2x+2k，所以+kx+k（kZ），故对；令2x=+k，所以x=+（kZ），所以对综上，正确说法的个数为2故选：B点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，运用诱导公式化简求值，三角函数的图象与性质，属于基础题9等差数列an的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列Sn中也为常数的项是（）AS7BS8CS1
14、3DS15考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：设出a2+a4+a15的值，利用等差数列的通项公式求得a7，进而利用等差中相当性质可知a1+a13=2a7代入前13项的和的公式中求得S13=p，进而推断出S13为常数解答：解：设a2+a4+a15=p（常数），3a1+18d=p，即a7=pS13=13a7=p故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质涉及等差数列的通项公式，等差中项的性质，等差数列的求和公式10已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（）（）=0，则|的最大值是（）A1B2CD考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：作，连接AB，再作出以AB为直径的圆，在
15、圆上取C点并连接OC，则根据已知条件知道，所以最大时，OC为该圆的直径，所以便得到的最大值为解答：解：；如图设，连接AB，作以AB为直径的圆，在圆上取C点，连接OC，则；|的最大值为该圆的直径，则：根据图形及已知条件，此时；即的最大值为故选C点评：考查两非零向量垂直的充要条件，圆上的点和直径两端点的连线互相垂直，以及向量的减法运算11已知数列an是递增数列，且an=（nN*），则的取值范围为（）A（1，2）B（1，C（1，）D（1，）考点：数列的函数特性；数列的概念及简单表示法 专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：根据数列an是递增数列，列出符合条件的不等式组，求出的取值范围即可解
16、答：解：数列an是递增数列，且an=（nN*），则，1，的取值范围是（1，）故选：D点评：本题考查了函数的单调性问题，也考查了数列的应用问题，是基础题目12已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且x0时，f（x）=lg（2x），若g（x）=sinx，则函数y=f（x2）与y=g（x）图象所有公共点的横坐标之和为（）A10B12C20D22考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由已知中函数y=f（x）是R上的奇函数，且x0时，f（x）=lg（2x），在同一坐标系中画出函数y=f（x2）与y=g（x）图象，结合函数图象的对称性，可得答案解答：解：由已知中函数y=f（x）是R上的奇函数，
17、且x0时，f（x）=lg（2x），故函数y=f（x）的图象如下图所示：在同一坐标系中画出函数y=f（x2）与y=g（x）图象，如下图所示：结合函数图象可得：函数y=f（x2）与y=g（x）图象共有十一个交点，且这些交点有十组两两关于（2，0）点对称，另外一个就是（2，0）点，故函数y=f（x2）与y=g（x）图象所有公共点的横坐标之和为22，故选：D点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，画出函数y=f（x2）的图象是本题的难点所在二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13已知，是平面内两个不共线的向量，且=2，=k+，若与是共线向量，则实数k=2考点：向量的线性运算性质及几
18、何意义 专题：平面向量及应用分析：关系向量共线的等价条件建立方程关系进行求解即可解答：解：若与是共线向量，存在实数t，有=t，即k+=t（2），则，解得t=1，k=2，故答案为：2点评：本题主要考查向量共线定理的应用，比较基础14已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于5考点：等比数列的性质 专题：计算题分析：由an是等比数列，a2a4+2a3a5+a4a6=25，利用等比数列的通项公式知a32+2a3a5+a52=25，再由完全平方和公式知（a3+a5）2=25，再由an0，能求出a3+a5的值解答：解：an是等比数列，且an0，a2a4+2
19、a3a5+a4a6=25，a32+2a3a5+a52=25，（a3+a5）2=25，an0，a3+a5=5故答案为：5点评：本题考查等比数列的性质，是基础题解题时要认真审题，注意完全平方和公式的合理运用15已知数列an满足a1=1，对所有正整数n2都有a1a2a3an=n2，则an=考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：在原数列递推式中，取n=n1得另一递推式，作商后求得数列的通项公式解答：解：由a1a2a3an=n2，得a1a2a3an1=（n1）2（n2），两式作商得：（n2），故答案为：点评：本题考查数列递推式，考查了由数列递推式求数列的通项公式，属基础题16已知ABC
20、是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G若AGM的面积为，则AGN的面积为考点：正弦定理 专题：解三角形分析：设AGM=，由已知可得AG，MAG的值，由正弦定理可得得GM=，由SAGM=GMGAsin=，解得：cot=2，又利用正弦定理可得GN=，则可求SAGN=GNGAsin（）=的值解答：解：因为G为边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG=，MAG=，由正弦定理，得GM=， 则SAGM=GMGAsin=）=，解得：cot=2，又，得GN=，则SAGN=GNGAsin（）=故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的综合应用，将AGM、A
21、GN的面积表示为的函数是解题的关键三、解答题（本大题共6小题，第17题为10分，其余各题每题12分，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=（a2）x2+（2a3）x+2，g（x）=x+6（1）若a=1，解不等式f（x）0；（2）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围考点：函数恒成立问题；二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：（1）将a=1代入f（x），解不等式，求出解集即可；（2）问题转化为（a2）x2+2（a2）x40，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，求出a的范围即可解答：解：（1）由a=1，f（x）0，得：x2x+20，得不等式的解为：2，
22、1；（2）由f（x）g（x）得（a2）x2+（2a3）x+2x+6，即（a2）x2+2（a2）x40，a=2时，有40，合题意；a2时，要满足（a2）x2+2（a2）x40恒成立，则必须，解得：2a2，综合得a的取值范围是（2，2点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，解出解不等式，是一道中档题18已知向量=（2cosx，1），=（sinx+cosx，1），若f（x）=（1）求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）求函数y=f（x）在x0，内的值域考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：利用向量的数量积运算法则，二倍角公
23、式，和差角公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式（1）由条件利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递减区间（2）由x0，求出相位角的范围，结合正弦函数的图象和性质，求得f（x）在x0，内的值域解答：解：向量=（2cosx，1），=（sinx+cosx，1），f（x）=2cosx（sinx+cosx）1=2sin xcos x+2cos2x1=sin 2x+cos 2x=sin（2x+），（1）当2k+2x+2k+，kZ，得：k+xk+，kZ所以f（x）的单调递减区间为k+，k+，kZ（2）由x0，知2x+，从而sin（2x+），1故所求值域为1，点评：本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域
24、，向量的数量积，二倍角公式，和差角公式，是平面向量与三角函数的综合应用，难度中档19已知数列an前n项和Sn=n（n+1）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn的通项公式为bn=qn（q为常数）求数列anbn的前n项和Tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）运用数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1；n2时，an=SnSn1，化简计算即可得到所求通项；（2）对q讨论，q=0，q=1，由等差数列的求和公式可得，q0且q1，运用错位相减法，即可得到所求解答：解：（1）n=1时，a1=S1=1；n2时，an=SnSn1=n（n+1）（n1）n=n而n=1
25、时，也满足该通项故综上可知：an=n；（2）令cn=anbn=nqn，q=0，Tn=0，q=1时，cn=n，得Tn=n（n+1），q0且q1时，Tn=q+2q2+nqnqTn=q2+2q3+（n1）qn+nqn+1，两式相减得：（1q）Tn=（q+q2+q3+qn）nqn+1（1q）Tn=nqn+1，Tn=，综上：Tn=点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，同时考查数列的求和方法：错位相减法，注意对等比数列的公比的讨论，属于中档题和易错题20已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bcos2A=2aasinAsinB，cosB=（1）求sinA的值；（2）若c=，求a，b的值
26、考点：正弦定理 专题：解三角形分析：（1）根据正弦定理化简已知的式子，由题意和平方关系求出sinB的值，即可求出sinA的值；（2）方法一：由sinB与sinA的大小关系，判断出A的范围，由平方关系求出cosA，由内角和定理、两角和的正弦公式求出sinC的值，结合条件和正弦定理求出a，b的值；方法二：由（1）和正弦定理得到a、b的关系，由条件和余弦定理列出方程求出a的值，再求出b的值解答：解：（1）bcos2A=2aasinAsinB，由正弦定理得sinBcos2A=2sinAsin2AsinB化简得到：sinB=2sinA又cosB=，sinB=，sinA=sinB=（2）方法一、由（1）知
27、sinA=sinB，故A为锐角，则cosA=，因为cosB=，sinB=，c=所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=+= 由正弦定理：=，解得a=1，b=2方法二、由（1）得sinB=2sinA，根据正弦定理得b=2a，因为c=，cosB=，所以由余弦定理得b2=a2+c22accosB，即4a2=a2+72a解得a=1或a=（舍去），b=2a=2，a=1，b=2点评：本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，平方关系，内角和定理等，注意角的范围，考查化简、计算能力21如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA
28、交于点C，设AOP=（1）若点C为OA的中点，试求的正弦值（2）求POC面积的最大值及此时的值考点：正弦定理；余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：（1）在POC中，根据OCP=，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值，由正弦定理即可求得的正弦值（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记POC的面积为S（），则S（）=CPOCsin，利用两角和差的正弦公式化为 （sin2+），可得=时，S（）取得最大值为解法二：利用余弦定理求得OC2+PC2+OCPC=4，再利用基本不等式求得3OCPC4，所以S=CPOCsin =，再根据OC=PC 求得POC面积的最大值时的值解答：解：（1）在
29、POC中，OCP=，OP=2，OC=1，由OP2=OC2+PC22OCPCcos得PC2+PC3=0，解得PC=由正弦定理可得：sin=（2）解法一：CPOB，CPO=POB=，在POC中，由正弦定理得 ，即 ，CP=sin又 ，OC=sin（）记POC的面积为S（），则S（）=CPOCsin=sinsin（）=sinsin（）=sin（cossin）=2sincossin2=sin2+cos2=（sin2+），=时，S（）取得最大值为解法二：cos=，即OC2+PC2+OCPC=4又OC2+PC2+OCPC3OCPC，即3OCPC4，当且仅当OC=PC时等号成立，所以S=CPOCsin =，
30、OC=PC，=时，S（）取得最大值为点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题22设数列an满足a1=2，an=4an1+2n，nN*，且n2（1）求证：数列an+2n为等比数列；（2）若Sn为数列an的前n项和，设bn=，nN*，证明：b1+b2+bn考点：数列的求和；等比关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过对an=4an1+2n变形可知an+2n=4（an1+2n1），进而即得结论；（2）通过（1）得an=4n2n，通过变形可知Sn=（2n+11）（2n1），裂项可知bn=（），进而并项相加、放缩即得结论解答：证明：（1）an=4an1+2n，an+2n=4（an1+2n1），又a1+21=2+2=4，数列an+2n是首项、公比均为4的等比数列；（2）由（1）得：an+2n=4n，an=4n2n，Sn=（4n2n）2n+1+=（2n+11）（2n+12）=（2n+11）（2n1），bn=（），b1+b2+bn=（1+）=（1）点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题