1、第一节集合考纲要求：1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系2能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题3理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集4在具体情境中，了解全集与空集的含义5理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集6理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集7能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算1元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作aA；若b不属于集合A，记作bA.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集及其符号表示
2、数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素AB或BA真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素AB且BAAB空集空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集B且B3.集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBU Ax|xU，且xA(2)三种运算的常见性质ABABA
3、，ABAAB.AAA，A.AAA，AA.AUA，AUAU，U(UA)A.ABABAABBUA UBA(UB).1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若集合Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2，则A，B，C表示同一个集合()(2)若a在集合A中，则可用符号表示为aA.()(3)若AB，则AB且AB.()(4)N*NZ.()(5)若ABAC，则BC.()(6)对于任意两个集合A，B，都有(AB)(AB)成立()(7)U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)2若集合AxN|x，a2，则下面结论中正确的是
4、()AaA BaACaA DaA解析：选D因为a2N，AxN|x，所以aA.3设a，bR，集合1，ab，a，则ba()A1 B1 C2 D2解析：选C因1，ab，a，a0，所以ab0，则1，所以a1，b1，所以ba2.4若集合A中有n个元素，则集合A有_个子集，有_个真子集，有_个非空子集，有_个非空真子集答案：2n2n12n12n25已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5，B1,3,5,7，则A(UB)_.答案：2,46已知集合Ax|3x7，Bx|2x10，则R(AB)_.答案：x|x2或x10 典题1(1)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA, yA中元素的个数是()A1
5、B3 C5 D9(2)若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a()A. B. C0 D0或(3)设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中的元素个数为()A3 B4 C5 D6(4)(2016厦门模拟)已知Px|2xk，xN，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为_听前试做(1)A0,1,2，Bxy|xA，yA0，1，2,1,2故集合B中有5个元素 (2)当a0时，显然成立；当a0时，(3)28a0，即a.(3)aA，bB，xab为145,15246,25347,358.共4个元素(4)因为P中恰有3个元素，所以P3,4,5，故k的取值范围为50，所以RPy|y1
6、，所以RP Q，选C.(2)BA，若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由、可得，符合题意的实数m的取值范围为(，3答案：(1)C(2)(，3探究1在本例(2)中，若AB，如何求解？解：若AB，则即所以m的取值范围为.探究2若将本例(2)中的集合A，B分别更换为A1,2，Bx|x2mx10，xR，如何求解？解：若B，则m240，解得2m2；若1B，则12m10，解得m2，此时B1，符合题意；若2B，则222m10，解得m，此时B，不合题意综上所述，实数m的取值范围为2,2)根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，
7、做到不漏解(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到1设M为非空的数集，M1,2,3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A6个 B5个 C4个 D3个解析：选A由题意知，M1，3，1,2，1,3，2,3，1,2,32(2016南宁模拟)已知集合Mx|x22x3a，若MN，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，1)C3，) D(3，)解析：选AMx|(x3)(x1)0(1,3)，又MN，因此有a1，即实数a的取值范围是(，1有关集
8、合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：离散型数集间的交、并、补运算典题3(2016株洲模拟)设全集U0,1,2,3,4,5，集合A2,4，By|ylog(x1)，xA，则集合(UA)(UB)()A0,4,5,2 B0,4,5C2,4,5 D1,3,5听前试做由题意知B0,2，UA0,1,3,5，UB1,3,4,5，(UA)(UB)1,3,5答案：D角度二：连续型数集间的交、并、补运算典题4 (1)设全集UR，Ax|x(x3)0，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为()Ax|3x1 Bx|3x0Cx|1x0 Dx|x3(
9、2)设集合Ax|(x1)(x2)0，Bx|1x3，则AB_，AB_.听前试做(1)因为Ax|x(x3)0x|3x0，UBx|x1，阴影部分为A(UB)，所以A(UB)x|1x0，故选C.(2)Ax|(x1)(x2)0x|1x2，ABx|1x3，ABx|1x2答案：(1)C(2)x|1x3x|1x2角度三：根据集合的运算结果求参数典题5(1)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，则m的值是_(2)已知集合Ax|x22x80，Bx|x2(2m3)xm(m3)0，mR，若AB2,4，则实数m_.听前试做(1)(UA)B，BA.又Ax|x23x201，21和2是方程x2
10、(m1)xm0的两个根m2.(2)由题知A2,4，Bm3，m，因为AB2,4，故则m5.答案：(1)2(2)5(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解(如角度一)(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况(如角度二)(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解(如角度三) 典题6(1)(2015湖北高考)已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77B49C45 D
11、30(2)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A，那么k是A的一个“单一元”，给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有_个听前试做 (1)A(x，y)|x2y21，x，yZ(x，y)|x1，y0；或x0，y1；或x0，y0，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ(x，y)|x2，1,0,1,2；y2，1,0,1,2，AB表示点集由x11,0,1，x22，1,0,1,2，得x1x23，2，1,0,1,2,3，共7种取值可能同理，由y11,0,1，y22，1,0,1,2，得y1y23，2，1,0,1,2,3，共7种取值可能当
12、x1x23或3时，y1y2可以为2，1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点当x1x22，1,0,1,2时，y1y2可以为3，2，1,0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点故AB共有255745(个)元素(2)符合题意的集合为1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,8，共6个答案：(1)C(2)6解决集合的新定义问题，应从以下两点入手：(1)正确理解创新定义这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等(2)合理利用集合性质运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义
13、型集合问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质设A，B是非空集合，定义ABx|xAB且xAB已知集合Ax|0x2，By|y0，则AB_.解析：由已知Ax|0x2，By|y0，又由新定义ABx|xAB且xAB，结合数轴得AB02，)答案：02，)课堂归纳感悟提升方法技巧1在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确2求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意以下结论的应用：含有n个元素的集合有2n个子集，有2n1个
14、非空子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集3对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解易错防范1集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简2在解决有关AB，AB等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解3Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心一、选择题1(2015新课标全国卷)已知集合Ax|1x2，Bx|0x4或x0，则AB等于()AR B C0，) D(0，)解析：选CAx|yx|x0，By|ylog2x，x0R.故ABx|x04(2016海淀模拟)
15、已知集合Px|x2x20，M1,0,3,4，则集合PM中元素的个数为()A1 B2 C3 D4解析：选B由P中不等式变形得(x2)(x1)0，解得1x2，即Px|1x2，M1,0,3,4，PM1,0，则集合PM中元素的个数为2.5(2016南昌模拟)已知集合Mx|x24x0，Nx|mx5，若MNx|3xn，则mn等于()A9 B C7 D6解析：选C由x24x0得0x4，所以Mx|0x4又因为Nx|mx5，MNx|3x0，Bx|ylg(x1)，则(UA)B等于()Ax|x2或x0 Bx|1x2Cx|11，故(UA)Bx|1x2二、填空题9(2015福建高考改编)若集合Mx|2x2，N0,1,2
16、，则MN_.解析：Mx|2x2，N0,1,2，MN0,1答案：0,110已知集合A(0,1)，(1,1)，(1,2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，则AB_.解析：经验证，点(0,1)，(1,2)在直线xy10上故AB(0,1)，(1,2)答案：(0,1)，(1,2)11(2016兰州模拟)集合Ax|x2x60，By|y，0x4，则A(RB)_.解析：Ax| x2x60x|3x2，By|y，0x4y|0y2，RBy|y2A(RB)x|3x0答案：3,0)12已知集合Ax|1x5，Bx|axa3，若B(AB)，则a的取值范围为_解析：因为B(AB)，所以BA.当B时，满足BA，此时aa3，即
17、a；当B时，要使BA，则解得0x|1x1，则u1x2(0,1，所以By|yf(x)y|y0，AB(，1)，AB(1,0，故图中阴影部分表示的集合为(，1(0,1)2(2016大连模拟)已知集合A(x，y)|ylg x，B(x，y)|xa，若AB，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca0，依题意知，对数函数ylg x的图象与直线xa没有交点，所以a0.3设全集Ux|1xx2，N，则MN_.解析：对于集合M，由xx2，解得0x1，Mx|0x1，0x1，14x4， 0，Bx| x2axb0，若ABR，ABx|3x4，则ab的值等于_解析：由已知得Ax|x3，ABR，ABx|3x4，Bx|1x4，
18、即方程x2axb0的两根为x11，x24.a3，b4，ab7.答案：76(2016沈阳模拟)设x表示不大于x的最大整数，集合Ax| x22x3，B，则AB_.解析：由集合A中的等式x22x3变形得x22x3，由题意可知x2为整数，而x22x30的解为x1或x3，则11，33，所以x22x3231或x22339，解得x1或x3，经检验x1，x3不合题意舍去，所以x1或x3，A1,3，由B中不等式变形得232x23，即3x3，Bx|3x3，则AB1答案：1第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求：1.理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的
19、相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的含义1命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系2充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件p q且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且q p1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“x22x3b则a
20、1b1”的否命题是()A若ab，则a1b1B若ab，则a1b1C若ab，则a1b1D若ab，则a11，则x21”的否命题B命题“若xy，则x|y|”的逆命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x21，则x1”的逆否命题(4)已知：命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是()A否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是真命题B逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题C逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”，是真命题D逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，
21、)上不是增函数”，是真命题听前试做(1)根据否命题的定义可知，命题“若ab，则a1b1”的否命题应为“若ab，则a1b1”(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可由xy0知x0且y0，其否定是x0或y0.(3)对于选项A，命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，易知当x2时，x241，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若xy，则x|y|”的逆命题为“若x|y|，则xy”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x1，则x2x20”的否命题为“若x1，则x2x20”，易知当x2时，x2x20，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若x21，则x1”的逆否命题为“若x1，
22、则x21”，易知当x2时，x241，故选项D为假命题(4)由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1.命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题答案：(1)C(2)D(3)B(4)D(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个
23、命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假 典题2(1)(2015四川高考)设a，b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga33b3，ab1，此时loga3logb3正确；反之，若loga33b3，例如当a，b时，loga3b1.故“3a 3b 3”是“loga31”是“an为递增数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选D当数列an的首项a10时，若q1，则数列 an 是递减数列；当数列an的首项a10时，要使数列an为递增数列，则0q1，所以“q1”是“数列 an 为递增数列”的既不充分也不必要条件 典题3(1)(2016南昌
24、模拟)已知条件p：|x4|6；条件q：(x1)2m20(m0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是()A21，)B9，)C19，) D(0，)(2)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，则m的取值范围为_听前试做(1)条件p：2x10，条件q：1mxm1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有解得m9.(2)由x28x200得2x10，Px|2x10，由xP是xS的必要条件，知SP.则所以当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3答案：(1)B(2)0,3探究1本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件解：若xP是x
25、S的充要条件，则PS，即不存在实数m，使xP是xS的充要条件探究2本例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围解：由例题知Px|2x10，綈P是綈S的必要不充分条件，PS且SP.2,10 1m,1m或m9，即m的取值范围是9，)由充分条件、必要条件求参数解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值已知p：x1或xa，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()A1，) B(，1C3，) D(，3)解析：选A法一：设Px|x1或xa，因为q是p的充分不必
26、要条件，所以QP，因此a1.法二：令a3，则q：x3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C；同理，取a4，排除D；选A.课堂归纳感悟提升方法技巧1判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定2充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”，“若q则p”的真假即可(2)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)：若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则
27、p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件易错防范1当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提2判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式3要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别一、选择题1(2015山东高考)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0解析：选D根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没
28、有实根，则m0”2(2015浙江高考)设a，b是实数，则“ab0”是“ab0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选D特值法：当a10，b1时，ab0，ab0，故ab0/ ab0；当a2，b1时，ab0，但ab0，所以ab0/ ab0.故“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要条件3已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D由|xm|1得m1x1m，又因为|xm|1的充分不必要条件是x，借助数轴，所以解得m.4已知a，b，cR，命题“如果abc3，则a2b2c23”的否命题是()A如果abc3，则
29、a2b2c23B如果abc3，则a2b2c23C如果abc3，则a2b2c23D如果a2b2c23，则abc3解析：选A“abc3”的否定是“abc3”，“a2b2c23”的否定是“a2b2c2e”是“ab0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B由ee，得1，解得ab0或abe”是“ab0”的必要不充分条件8在斜三角形ABC中，命题甲：A，命题乙：cos B，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A因为ABC为斜三角形，所以若A，则B且B，所以cos B且cos B0；反之，若cos B，则B，
30、不妨取B，A，C，满足ABC为斜三角形，所以选A.二、填空题9命题“全等三角形一定相似”的逆否命题为_解析：首先将原命题写成“若p则q”的形式其中p：两个三角形全等，q：两个三角形相似，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”答案：若两个三角形不相似，则它们一定不全等10在下列三个结论中，正确的是_(写出所有正确结论的序号)若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；“”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集为R”的充要条件；“x1”是“x21”的充分不必要条件解析：易知正确对于，若x1，则x21，充分性不成立，故错误答案：11已知p(x)：x22xm0，若p(1)是假命题，p(2)是真
31、命题，则实数m的取值范围为_解析：因为p(1)是假命题，所以12m0，解得m3；又p(2)是真命题，所以44m0，解得mb，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题其中真命题的序号是_解析：原命题的否命题为“若ab，则a2b2”，假命题原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则xy0”，真命题原命题的逆否命题为“若x2或x2，则x24”，真命题答案：1设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A若函数f(x)cos(x)(xR)为偶函数，则k，kZ
32、，所以由“0”，可以得到“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”，但由“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”，可以得到k，kZ，因此“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的充分不必要条件2使函数f(x)在(，)上是减函数的一个充分不必要条件是()A.a B0aC.a D0a解析：选C由f(x)在(，)上是减函数可得3a10,0a1,7a10，即a，所求应该是的真子集3在四边形ABCD中，“存在R，使得，”是“四边形ABCD为平行四边形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C若存在R，使得，则ABCD，ADBC，故四边形ABCD为平行四边形反
33、之，若四边形ABCD为平行四边形，则存在1满足题意4已知函数f(x)a(x0)，则“f(1)1”是“函数f(x)为奇函数”的_条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f(x)a是奇函数，则f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，aa2a0，即2a0，2a10，即a，f(1)1.若f(1)1，即f(1)a1，解得a，代入得，f(x)f(x)，f(x)是奇函数“f(1)1”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件答案：充要5已知p：|xa|0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为_解析：綈p是綈q的充分不必要条件，q是p的充分不必要条件对于p，|x
34、a|4，a4xa4，对于q,2x6或52”是真命题()(2)命题p和綈p不可能都是真命题()(3)若pq为真，则p为真或q为真()(4)pq为假的充要条件是p，q至少有一个为假()(5)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词()(6) x0M，p(x0)与xM，綈p(x)的真假性相反()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知命题p：对任意xR，总有|x|0；q：x1是方程x20的根则下列命题为真命题的是_p綈q；綈pq；綈p綈q；pq.答案：3已知命题p：xR，x2x，则綈p：_.答案：x0R，x20x04命题“存在实数x，使x1”的否定是_答案：对任意实数x，都有x1 典题1(1
35、)已知命题p：若xy，则xy，则x2y2.在命题pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命题是()ABC D(2)(2016开封模拟)已知命题p1：函数y2x2x在R上为增函数，p2：函数y2x+2x在R上为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2，q4：p1(綈p2)中，真命题是()Aq1，q3 Bq2，q3Cq1，q4 Dq2，q4(3)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的_条件听前试做(1)当xy时，xy时，x2y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题由真值表知，pq为假命题；pq为真命题；p(綈q)为真命题；(綈p)q为假命题(2)y2x在R上
36、为增函数，y2xx在R上为减函数，y2xx在R上为增函数，y2x2x在R上为增函数，故p1是真命题y2x+2x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题q1：p1p2是真命题，因此排除选项B和选项D，q2：p1p2是假命题，q3：(綈p1)p2是假命题，排除选项A，故选C.(3)p或q为真命题p是q为真命题；p且q为真命题p且q为真命题答案：(1)C(2)C(3)必要不充分解题模板判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题是高考的常考内容，题型多为选择题，难度较小，属容易题，且主要有以下几个角度：角度一：全称命题、特称命题的否定典题2(1)(2015新课标全国卷)设命题p：nN，n22n，
37、则綈p为()AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n22n(2)(2016大连模拟)命题“对任意xR，都有x2ln 2”的否定为()A对任意xR，都有x2ln 2B不存在xR，都有x2ln 2C存在x0R，使得x02ln 2D存在x0R，使得x022n”的否定是“nN，n22n”(2)按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，应该为存在x0R，使得x020BxN*，(x1)20Cx0R，ln x00，x4；命题q：x0(0，)，2 x0，则下列判断正确的是()Ap是假命题 Bq是真命题Cp(綈q)是真命题 D(綈p)q是真命题听前试做(1)因为2x10，对xR恒成立，所
38、以A是真命题；当x1时，(x1)20，所以B是假命题；存在0 x0e，使得ln x00时，x24，p是真命题；当x0时，2x1，q是假命题，所以p(綈q)是真命题，(綈p)q是假命题答案：(1)B(2)C1全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值xx0，使p(x0)不成立即可2特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题 典题4已知命题p：关于x的方程x2ax40有实根；命
39、题q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数若pq是真命题，则实数a的取值范围是_听前试做若命题p是真命题，则a2160，即a4或a4；若命题q是真命题，则3，即a12.因为p或q是真命题，所以aR，即a的取值范围是(，)答案：(，)探究1在本例条件下，若pq为真命题，求实数a的取值范围解：pq为真，p和q均为真，a的取值范围为12，44，)探究2在本例条件下，若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围解：由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假若p真q假，则a12；若p假q真，则4a4.故a的取值范围是(，12)(4,4)探究3在本例条件下，若綈p为真命题，求实数a
40、的取值范围解：綈p为真命题，p为假命题，故a2160，即4a0”是真命题，故224m1，故a1.答案：1课堂归纳感悟提升方法技巧1含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：pq见真即真，pq见假即假，p与綈p真假相反2要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”3不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假易错防范1注意区分命题的否定与否命题的不同“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论2由于全称量词经常省
41、略，因此，在写这类命题的否定时，应先确定其中的全称量词，再否定量词和结论3“pq”的否定是“(綈p)(綈q)”；“pq”的否定是“(綈p)(綈q)”一、选择题1(2016开封模拟)已知命题p：x0，x30，那么綈p是()Ax00，x030Bx0，x30Cx00，x030 Dx”改成“”2(2015浙江高考)命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()AnN*，f(n)N*且f(n)nBnN*，f(n)N*或f(n)nCn0N*，f(n0)N*且f(n0) n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0) n0解析：选D写全称命题的否定时，要把量词改为，并且否定结论，注意把“且”改为“或”
42、3命题p：若sin xsin y，则xy；命题q：x2y22xy.下列命题为假命题的是()Ap或q Bp且qCq D綈p解析：选B取x，y，可知命题p不正确；由(xy) 20恒成立，可知命题q正确，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题4下列命题中，真命题是()AxR，x210Dx0R，x022x020，D假5如果命题“p且q”是假命题，“綈p”也是假命题，则()A命题“綈p或q”是假命题B命题“p或q”是假命题C命题“綈p且q”是真命题D命题“p且綈q”是假命题解析：选A由“綈p”是假命题可得p为真命题因为“p且q”是假命题，所以q为假命题所以命题“綈p或q”是假命题，即A正确；“p
43、或q”是真命题，即B错误；“綈p且q”是假命题，C错误；“p且綈q”是真命题，即D错误6(2016商丘模拟)已知命题p：函数yax11(a0且a1)的图象恒过点(1,2)；命题q：已知平面平面，则直线m是直线m的充要条件则下列命题为真命题的是()Apq B(綈p)(綈q)C(綈p)q Dp(綈q)解析：选D由指数函数恒过点(0,1)知，函数yax11是由yax先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到所以函数yax11恒过点(1,2)，故命题p为真命题；命题q：m与的位置关系也可能是m，故q是假命题所以p(綈q)为真命题7若命题“x0R，x02(a1)x010”是真命题，则实数a的取值范围是(
44、)A1,3 B(1,3)C(，13，) D(，1)(3，)解析：选D因为命题“x0R，x02(a1)x010，即a22a30，解得a3.8已知命题p：x0R，使sin x0；命题q：xR，都有x2x10.给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p(綈q)”是假命题；命题“(綈p)q”是真命题；命题“(綈p)(綈q)”是假命题，其中正确的命题是()A BC D解析：选A1，命题p是假命题，又x2x120，命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断正确二、填空题9命题“xR，cos x1”的否定是_答案：x0R，cos x0110(2015山东高考)若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小
45、值为_解析：由题意，原命题等价于tan xm在区间上恒成立，即ytan x在上的最大值小于或等于m，又ytan x在上的最大值为1，所以m1，即m的最小值为1.答案：111已知下列结论：“pq”为真是“pq”为真的充分不必要条件；“pq”为假是“pq”为真的充分不必要条件；“綈p”为真是“pq”为假的必要不充分条件，其中正确的是_(只填序号)解析：pq为真时，p，q均为真，此时pq一定为真，而pq为真时只要p，q至少有一个为真即可，故“pq”为真是“pq”为真的充分不必要条件，结论正确；pq为假，可能p，q均假，此时pq为假，结论不正确；綈p为真时，p假，此时pq一定为假，条件是充分的，但在p
46、q为假时，可能p真，此时綈p为假，故“綈p”为真是“pq”为假的充分不必要条件，结论不正确答案：12已知命题p：函数y(c1)x1在R上单调递增；命题q：不等式x2xc0的解集是.若p且q为真命题，则实数c的取值范围是_解析：要使函数y(c1)x1在R上单调递增，则c10，解得c1.所以p：c1.因为不等式x2xc0的解集是，所以判别式14c，即q：c.因为p且q为真命题，所以p，q同为真，即c且c1.解得c1.所以实数c的取值范围是(1，)答案：(1，)1已知命题p：x0R,2x03x0；命题q：x，tan xsin x，则下列是真命题的是()A(綈p)q B(綈p)(綈q)Cp(綈q) D
47、p(綈q)解析：选D当x1时，2131，所以p为真命题；当x时，tan xsin x0，所以q为真命题，所以p(綈q)为真命题2下列四个结论：若x0，则xsin x恒成立；命题“若xsin x0，则x0”的逆否命题为“若x0，则xsin x0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；命题“xR，xln x0”的否定是“x0R，x0ln x00”其中正确结论的个数是()A1个 B2个C3个 D4个解析：选C设F(x)xsin x，则F(x)1cos x0，所以F(x)F(0)0，故正确；由逆否命题的定义知正确；由pq为真，不一定推出pq为真，反之一定成立，故应是必要不充分条件，所以
48、错误；全称命题的否定为存在命题且否定结论，故正确3下列四个命题，p1：x0(0，)，x0log x0；p3：x(0，)， x logx；p4：x，x x恒成立，故p1为假命题；当x(0,1)时，函数y3logx的图象始终在函数y4logx的图象的上方，故x0(0,1)，logx0logx0，故p2为真命题；当x时，0，f(x0)0，f(x0)0，且0，即m2ax在x(，1)上恒成立，如果命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，则实数a的取值范围为_解析：对于命题p：0，故a2；对于命题q：a2x1在x(，1)上恒成立，又函数y2x1为增函数，所以1，故a1，命题“pq”为真命题，命题“pq
49、”为假命题，等价于p，q一真一假故1a2.答案：1,2考点一：集合1(2015新课标全国卷)已知集合A2，1,0,1,2，Bx|(x1)(x2)0，则AB()A1,0 B0,1 C1,0,1 D0,1,2解析：选A由题意知Bx|2x1，所以AB1,02(2014新课标全国卷)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A2，1 B1,2) C1,1 D1,2)解析：选AAx|x1或x3，故AB2，1，选A.3(2013新课标全国卷)已知集合A1,2,3,4，Bx|xn2，nA，则AB()A1,4 B2,3 C9,16 D1,2解析：选An1,2,3,4时，x1,4,9,16，集合B1,
50、4,9,16，AB1,4 4.(2012新课标全国卷)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6 C8 D10解析：选D列举得集合B(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，共含有10个元素5(2015浙江高考)已知集合Px|x22x0，Qx|1x2，则(RP)Q()A0,1) B(0,2 C(1,2) D1,2解析：选C由x22x0，得x0或x2，即Px|x0或x2，所以RPx|0x2(0,2)又Qx|1x2(1,2，所以(RP)Q(1,2)6(2014辽宁
51、高考)已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0 Bx|x1Cx|0x1 Dx|0x1解析：选DABx|x0或x1，所以U(AB)x|0x1”是“x31”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C由于函数f(x)x3在R上为增函数，所以当x1时，x31成立，反过来，当x31时，x1也成立因此“x1”是“x31”的充要条件，故选C.3(2015安徽高考)设p：x3，q：1x0”的充分必要条件；命题：对任意有限集A，B，C，d(A，C)d(A，B)d(B，C)()A命题和命题都成立B命题和命题都不成立C命题成立，命题不成立D命题不
52、成立，命题成立解析：选A命题成立，若AB，则card(AB)card(AB)，所以d(A，B)card(AB)card(AB)0.反之可以把上述过程逆推，故“AB”是“d(A，B)0”的充分必要条件；命题成立，由Venn图，知card(AB)card(A)card(B)card(AB)，d(A，C)card(A)card(C)2card(AC)，d(B，C)card(B)card(C)2card(BC)，d(A，B)d(B，C)d(A，C)card(A)card(B)2card(AB)card(B)card(C)2card(BC)card(A)card(C)2card(AC)2card(B)2
53、card(AB)2card(BC)2card(AC)2card(B)2card(AC)2card(AB)card(BC)2card(B)2card(AC)2card(AC)B)card(ABC)2card(B)2card(AC)B)2card(AC)2card(ABC)0，d(A，C)d(A，B)d(B，C)得证考点四：含逻辑联结词的命题(2014辽宁高考)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若ab0，bc0，则ac0；命题q：若ab，bc，则ac.则下列命题中真命题是()Apq Bpq C(綈p)(綈q) Dp(綈q)解析：选A如图，若a，b，c，则ac0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以pq为真命题故选A.考点五：全称量词与存在量词1(2015湖北高考)命题“x0(0，)，ln x0x01”的否定是()Ax(0，)，ln xx1Bx (0，)，ln xx1Cx0(0，)，ln x0x01Dx0 (0，)，ln x0x01解析：选A改变原命题中的三个地方即可得其否定，改为，x0改为x，否定结论，即ln xx1，故选A.2(2014湖北高考)命题“xR，x2x”的否定是()AxR，x2x BxR，x2xCxR，x2x DxR，x2x解析：选D全称命题的否定是特称命题：xR，x2x.