1、河北易县中学高一年级2020-2021学年第一学期12月考试高一数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合，再求交集即可.【详解】由题意得，集合，所以故选：B.2. 命题“， ”的否定是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B【解析】【分析】【详解】由全称命题的否定得，故选：B3. 已知函数，且过点，则函数的图像必过点（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意求出的值，代入对数函数，进而可得其必过的点【详
2、解】解：函数，且过点，则函数，令，求得，可得函数的图象必过，故选：D【点睛】本题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题4. 下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据特殊值法，分别判定ABC都错；再由不等式的性质，即可判定D正确；详解】A选项，当时，不成立，故A选项错误；B选项，当时，故B选项错误；C选项，当时，故C选项错误；D选项，若，则，即，故D正确故选：D.【点睛】本题主要考查由不等式性质判断所给结论是否正确，属于基础题型.5. 下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【
3、分析】运用奇偶性和单调性的定义，判断即可得到所求结论【详解】A，令yf（x）x（x1），f（x）x（x+1），f（x）x（x1）x（1x），不满足f（x）f（x），不为奇函数；B，yf（x）x，f（x）x，f（x）=x不满足f（x）f（x），不为奇函数；C，yf（x）x满足f（x）f（x），为奇函数，又x=时，y3+=，x=时，y2+=，即，但，所以不满足在（0，1）上是增函数；D，yf（x）2x（x0）满足f（x）f（x），为奇函数，且在（0，1）递增，符合题意；故选D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法和单调性的定义，属于基础题6. 若，且，则的取值范围是（ ）A.
4、B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，故选D.考点：基本不等式.【思路点晴】本题考查基本不等式.基本不等式需要满足一正二定三相等，也就是说，利用基本不等式必须确保每个数都是正数，必须确保右边是定值，必须确保等号能够成立. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式要注意的代换.7. 函数的单调增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调增区间.详解，当时，根据二次函数性质得：单调递增，当时，单调递减，在上单调递增，故答案为点睛：（1）本题
5、主要考查函数的定义域的求法和复合函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)解答函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以本题首先要求函数的定义域.(3)求复合函数的单调区间时，先把原函数分解为初等函数，再根据复合函数单调性原理（同增异减）求函数的单调区间.8. 终边在直线上的角的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出终边在上的度数，即可得到结论【详解】在0，2内终边在直线上的角为和，则终边在直线yx上的角的集合为|2k或2k，kZ，即|k，kZ，故选B【点睛】本题主要考查终边相同角的表示，熟记特殊角是关键，比较基础二、多选题：本题共4小题，每小题5
6、分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知集合，且，则实数m的值可以为（ ）A. 1B. -1C. 2D. 0E. -2【答案】ABD【解析】【分析】由，得，按，分类讨论，求得m的值即可.【详解】因为，所以，.当时，符合题意；当时，所以或，解得或所以m的值为1或-1或0故选ABD【点睛】本题考查的是集合的包含关系判断以及应用问题，集合元素的特性、分类讨论以及问题转化的思想，属于基础题.10. 设，为正实数，则下列命题中是真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】AD【解析】【分析】结合
7、不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行运算，即可求解，得到答案.【详解】对于A选项，由，为正实数，且，可得，所以，所以，若，则，可得，这与矛盾，故成立，所以A中命题为真命题；对于B选项，取，则，但，所以B中命题为假命题；对于C选项，取，则，但，所以C中命题为假命题；对于D选项，由，则，即，可得，所以D中命题为真命题.故选AD.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11. 关于函数的性质描述，正确的是 （ ）A. 的定义域为B. 的值域为C. 在定义域上是增函数D. 的图象关于轴对称【
8、答案】AB【解析】【分析】先求出函数的定义域，再求值域，然后利用函数单调性以及奇偶性定义即可求解.【详解】对于A中，由，解得即为函数的定义域，故A正确；对于B中，由定义域可化简函数得，当时，；当时，所以，故B正确；对于C中，因为，所以函数不是增函数，故C错误；对于D中，因为定义域关于原点对称，且对任意，所以函数是奇函数，故 D 错误，故选：AB.12. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据互为反函数的性质可得的中点坐标为，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.【详解
9、】函数与互为反函数，则与的图象关于对称，将与联立，则，由直线分别与函数和的图象交于点，作出函数图像：则的中点坐标为，对于A，由，解得，故A正确；对于B，因为，即等号不成立，所以，故B正确；对于C，将与联立可得，即，设，且函数为单调递增函数，故函数零点在上，即，由，则，故C正确；对于D，由，解得，由于，则，故D错误；故选：ABC【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若集合，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由，可得或或或，对集合中的一元二次方程的判
10、别式进行分类讨论，结合韦达定理可得出答案【详解】，或或或由，解得，时，满足条件若，解得，可得，解得，因此，不可能等于时，解得，若，则（不成立），舍去综上可得：实数的取值范围为故答案为【点睛】本题考查集合之间的基本关系、一元二次方程的解法，考查分类讨论思想、方程思想的运用，考查推理能力与计算能力14. 关于的不等式的所有整数解的绝对值之和为45,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】原式可变形为，可分三种情况进行讨论【详解】即当时，的两根为，且，不等式的解集为，简单列举符合的整数解有2,3,4,5,6,7,8,9,10不管怎么取，所有整数解的和都不会取到45，故不成立当时，不等式无解当时
11、，不等式的解集为，简单列举符合的整数解有：0，-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，-9，此时，符合题意故当时，时，整数解的绝对值和为：45,故故答案为【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和不等式的基本性质，得出答案的关键在于列举数值，通过观察分析进一步得出结论，是中档题15. 已知定义在上的奇函数，当时，则使得成立的的取值范围为_【答案】【解析】当时，在单调递增，又因为定义在上的奇函数，所以单调递增，由，所以，得填16. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)内单调递增若实数a满足f(log2a)f(a)2f(1)，则a的取值范围是_【答案】【解析】因为f(a)f(l
12、og2a)f(log2a)，所以原不等式可化为f(log2a)f(1)又f(x)在区间0，)上单调递增，所以|log2a|1，解得a2.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）若，求的值. （2）计算：.【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】(1)由条件先求出，再利用三角函数的基本关系化弦为切，即可求解.(2)利用对数的运算性质即可求解.【详解】（1）， 原式原式（2）原式【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数基本关系的应用，考查对数的运算性质，属于基础题.18. 已知函数的定义域为集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的
13、取值范围；（3）若求实数的取值范围【答案】(1) ； (2) ；(3).【解析】【分析】求函数的定义域求得集合，（1）根据并集的知识求得两个两个集合的并集.（2）将分为两种情况，根据子集的概念列不等式，由此求得的取值范围.（3）分为两种情况，根据列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由解得.（1）当时，所以.（2）当时，符合.当时，根据得，解得.综上所述，的取值范围是.（3）当时，符合.当时，或，解得.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查子集的概念及运用，考查两个集合交集为空集的知识和运算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19. 已知函数.（1）若关于的
14、不等式的解集为，求和的值；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依题意，为方程的两解，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）依题意对任意的 恒成立，当时，显然成立，当时，参变分离，利用基本不等式求出的取值范围；【详解】解：（1）关于的不等式的解集为，即，为方程的两解，所以解得（2）对任意的，恒成立，即对任意的恒成立，即恒成立，当时，不等式恒成立，此时当时，因为，所以，所以当且仅当时，即，即时取等号，所以，综上【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程关系，不等式恒成立问题，属于中档题.20. “大数据”时代的到来，人工智能的应用已在各个领域内得到
15、了认可与大力推广，人工智能AI教育也相应在北京、上海等大城市普及、某教育总公司开发了一款专门针对于中小学语数英教学的应用程序，据研究发现，题库总量(单位：万，)与成本(单位：万元)的关系由两部分构成：固定成本：总计万元；浮动成本：万元.(1)该公司题库总量为多少时，可使得每题的平均成本费用最低?最低费用为多少?(2)公司将该软件投放市场寻求加盟合作伙伴，加盟费为万元，加盟人数与题库量满足一次关系，已知当题库量为万时，此时加盟人数为，公司总利润(单位：万元)达到最大值.试求、的值.(注：总利润加盟费-成本).【答案】(1) 公司题库总量为万时，可使得每题的平均成本费用最低，最低费用为元/道(2)
16、 ，【解析】【分析】（1）由题意可知成本，推出，利用函数的单调性转化求解最小值即可；（2）依题意可知利用二次函数的性质转化求解最大值，推出结果即可【详解】(1)由题意可知成本，根据对勾函数的单调性可知该函数在递减，递增，所以当时，取最小值为故该公司题库总量为万时，可使得每题的平均成本费用最低，最低费用为元/道；（2）依题意可知当时，取最大值，解得：又，解得：综上所述，【点睛】本题主要考查对勾函数和二次函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题21. 已知函数的图象经过点.（1）求的值；（2）求函数定义域和值域； （3）判断函数的奇偶性并证明.【答案】（1）1；（2）定义域为，值域为；（3）
17、是奇函数，证明见详解.【解析】【分析】（1）将函数过的点的坐标代入函数解析式，求解参数；（2）利用分母不为零求定义域，采用不等式法求函数值域；（3）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断与之间的关系.【详解】（1）由题意知，解得.（2）因为.，的定义域为.，的值域为.（3）函数是奇函数.证明如下：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数，即证.【点睛】本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算，属函数综合基础题.22. 已知函数对于任意实数恒有，且当时，又.(1)判断的奇偶性并证明；(2) 在区间的最大值；(3)解关于的不等式.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）6；（3）见解析.【解析】【分析】（1）取可得；再取代入即可；（2）先判断函数的单调性，再求函数的最值；（3）由于为奇函数，整理原式得；即；再由函数的单调性可得，从而求解【详解】（1）取，则；则；取，则，对任意恒成立为奇函数；（2）任取，且，则；， 又为奇函数；在上是减函数；对任意，恒有，而，；在，上的最大值为6；（3）为奇函数，整理原式得；即；而在上是减函数，；当时，；当时，且；当时，；当时，或；当时，或.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、最值及解抽象不等式，考查分类讨论思想、函数与方程思想的运用，考查运算求解能力