1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）专题研究 正、余弦定理应用举例 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）专题要点 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)第4页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数第5页高考调研 高三总复习 数学（理）专题讲解 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 测量距离问题例 1 如图所示，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，在
2、这一岸定一基线 CD，现已测出 CDa 和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求 AB 的长第7页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】在ACD 中，已知 CDa，ACD60，ADC60，所以 ACa.在BCD 中，由正弦定理可得 BCasin105sin45 312a.在ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得 A、B 两点之间的距离为 AB AC2BC22ACBCcos30 22 a.第8页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】22 a第9页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不
3、开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当第10页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1(2014四川理)如图所示，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_ m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，31.73)第11页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】根据已知的图形可得 AB46sin67.在ABC 中，
4、BCA30，BAC37，由正弦定理，得ABsin30BCsin37.所以 BC2 460.920.6060(m)【答案】60第12页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 测量高度问题例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 30，求塔高第13页高考调研 高三总复习 数学（理）【思路】依题意画图，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD前进，CD40 米，此时DBF45，从 C 到 D 沿途测塔的仰角，只有 B 到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为 tanAEBABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大，要求出塔高AB
5、，必须先求 BE，而求 BE，需先求 BD(或 BC)第14页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】如图所示，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD前进，CD40，此时DBF45，过点 B 作 BECD 于 E，则AEB30.第15页高考调研 高三总复习 数学（理）在BCD 中，CD40，BCD30，DBC135.由正弦定理，得CDsinDBCBDsinBCD.BD40sin30sin135 20 2.BDE1801353015.第16页高考调研 高三总复习 数学（理）在 RtBED 中，BEDBsin1520 2 6 2410(31)在 RtABE 中，AEB30，ABBEtan3010
6、3(3 3)(米)故所求的塔高为103(3 3)米【答案】103(3 3)米第17页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2 本题有两处易错点：图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错第18页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2(1)在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30，测得湖中影子的俯角为 45，则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)()A2.7 m B.17.3 mC.37.3 m D.373 m第19页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】依题意画出示意图，则CM10tan30 CM10ta
7、n45，CMtan45tan30tan45tan301037.3(m)【答案】C第20页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)(2014新课标全国文)如图所示，为测量山高 MN，选择A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75.从C 点测得MCA60，已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.第21页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】在ABC 中，AC100 2，在MAC 中，MAsin60ACsin45，解得 MA100 3，在MNA 中，MN100 3sin6032，故 MN150，即山高 MN 为 150 m.
8、【答案】150第22页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 测量角度问题例 3 如图所示，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？第23页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】由题意知 AB5(3 3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得DBsinDABABsinADB.D
9、BABsinDABsinADB5（3 3）sin45sin1055（3 3）sin45sin45cos60cos45sin605 3（31）31210 3(海里)第24页高考调研 高三总复习 数学（理）又DBCDBAABC30(9060)60，BC20 3(海里)，在DBC 中，由余弦定理，得 CD2BD2BC22BDBCcosDBC 3001 200210 320 312900.CD30(海里)，则需要的时间 t30301(小时)故救援船到达 D 点需要 1 小时 第25页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】1 小时第26页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3 首先应明确方位角的含义
10、，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点第27页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 3 如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设了一条索道 AC.小明在山脚 B 处看索道 AC，此时张角ABC120；从B处攀登200 m 到达D处，回头看索道AC，此时张角ADC150；从 D 处再攀登 300 m 到达 C 处则石竹山这条索道 AC长为_第28页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】在ABD 中，BD200 m，
11、ABD120.因为ADB30，所以DAB30.由正弦定理，得BDsinDABADsinABD，所以200sin30ADsin120.所以 AD200sin120sin30200 3(m)第29页高考调研 高三总复习 数学（理）在ABC 中，DC300 m，ADC150，所以 AC2AD2DC22ADDCcosADC(200 3)230022200 3300cos150390 000，所以 AC100 39 m.故石竹山这条索道 AC 长为 100 39 m.【答案】100 39 m第30页高考调研 高三总复习 数学（理）应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)分析：理解题意，分清已
12、知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解第31页高考调研 高三总复习 数学（理）专题层级训练 第32页高考调研 高三总复习 数学（理）1.(2016泉州质检)如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C(ABC的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了三种测量方案：第33页高考调研 高三总复习 数学（理）测
13、量 A，C，b；测量 a，b，C；测量 A，B，a，则一定能确定 A，B 间的距离的所有方案的序号为()A BCD第34页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出 AB.故选 D.第35页高考调研 高三总复习 数学（理）2.(2016广东中山上学期期末)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为()A50 2 m B50 3 mC25 2 m D.25 22 m第36页高考调研 高
14、三总复习 数学（理）答案 A解析 由题意，得 B30.由正弦定理，得ABsinACB ACsinB，ABACsinACBsinB50 221250 2(m)故选 A.第37页高考调研 高三总复习 数学（理）3某人在 C 点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进 10 米到 D，测得塔顶 A 的仰角为30，则塔高为()A15 米B5 米C10 米D1 米第38页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 如图所示，设塔高为 h，在 RtAOC 中，ACO45，则 OCOAh.第39页高考调研 高三总复习 数学（理）在 RtAOD 中，ADO30，则 OD 3h，在
15、OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得 OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(3h)2h21022h10cos120，h25h500，解得 h10 或 h5(舍去)第40页高考调研 高三总复习 数学（理）4有一长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 20，现要将倾斜角改为 10，则斜坡长为()A1 千米B2sin10 千米C2cos10 千米Dcos20 千米第41页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 由题意知 DCBC1，BCD160，BD2DC2CB22DCCBcos160 11211cos(18020)22cos204cos210，BD2cos10.第42页高考调研
16、 高三总复习 数学（理）5.(2016湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以测量与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为60，则塔高 AB()A5 6B15 3C5 2D15 6第43页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 在BCD 中，CBD18045135.由正弦定理得BCsin3030sin135，所以 BC15 2.在 RtABC 中，ABBCtanACB15 2 315 6.故选 D.第44页高考调研 高三总复习 数学（理）6在 200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯
17、角分别为 30，60，则塔高为()A.4003 m B.400 33 mC.200 33m D.2003 m第45页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 A解析 如图，在 RtBAC 中，ABC30，AB200，BCABcos3040033.第46页高考调研 高三总复习 数学（理）EBD30，EBC60，DBC30，BDC120.在BDC 中，DCsin30BCsin120.DCBCsin30sin120 4003312324003(m)第47页高考调研 高三总复习 数学（理）7如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 18 km，速度为 1 000 km/h，飞行员先看
18、到山顶的俯角为 30，经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75，则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km)()A11.4 km B6.6 kmC6.5 km D5.6 km第48页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 AB1 0001 000 16050 0003(m)，BCABsin45sin3050 0003 2(m)航线离山顶的高度 h50 0003 2 sin7511.4(km)山高为 1811.46.6(km)故选 B.第49页高考调研 高三总复习 数学（理）8.如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息
19、中心立即把消息告知在其南偏西 30，相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 等于()A.217B.2114C.3 2114D.2128第50页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 如图所示，在ABC 中，AB40 海里，AC20 海里，BAC120，由余弦定理，得 第51页高考调研 高三总复习 数学（理）BC2AB2AC22ABACcos1202 800，故 BC20 7(海里)由正弦定理，得 sinACBABBCsinBAC 217.由ACB 为锐角，故 cosACB2 77.故 coscos(ACB30)cosACBco
20、s30sinACBsin30 2114.第52页高考调研 高三总复习 数学（理）9如图所示，在坡角为 15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60和 30，且第一排和最后一排的距离为 10 6 米，则旗杆的高度为_米第53页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 30解析 设旗杆高为 h 米，最后一排为点 A，第一排为点 B，旗杆顶端为点 C，则 BChsin602 33 h.在ABC 中，AB10 6，CAB45，ABC105，所以ACB30，由正弦定理，得 10 6sin302 33 hsin45，故 h30.第54页高考调
21、研 高三总复习 数学（理）10(2015湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_ m.第55页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 100 6解析 依题意，BAC30，ABC105.在ABC 中，由ABCBACACB180，所以ACB45，因为AB600 m，由正弦定理可得600sin45BCsin30，即 BC300 2m在 RtBCD 中，因为CBD30，BC300 2 m，所以tan30CDBC CD300 2，所以
22、CD100 6 m.第56页高考调研 高三总复习 数学（理）11.如图所示，A，B 是海平面上的两个小岛，为测量 A，B 两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线 CD航行，在 t1 时刻航行到 C 处，测得ACB75，ACD120，1 小时后，测量船到达 D 处，测得ADC30，ADB45，求 A，B 两小岛间的距离(注：A，B，C，D 四点共面)第57页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 5 15 海里解析 由已知得 CD15，ACD120，ADC30，CAD30.在ACD 中，由正弦定理15sin30ADsin120，AD15 3.BDC75，BCD45，CBD60.第58
23、页高考调研 高三总复习 数学（理）在BCD 中，由正弦定理得15sin60BDsin45，BD5 6.在ABD 中，ADB45，由余弦定理得 AB AD2BD22ADBDcosADB （15 3）2（5 6）2215 35 6cos45 5 15，故两小岛的距离为 5 15 海里第59页高考调研 高三总复习 数学（理）12(2016安徽皖南八校联考)某高速公路旁边 B 处有一栋楼房，某人在距地面 100 米的 32 楼阳台 A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午 11 时测得一客车位于楼房北偏东 15方向上，且俯角为 30的 C 处，10 秒后测得该客车位于楼房北偏西 75方向上，且俯角为 45
24、的 D 处(假设客车匀速行驶)第60页高考调研 高三总复习 数学（理）(1)如果此高速路段限速 80 千米/时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向 E 处，问此时客车距离楼房多远？第61页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)客车没有超速(2)50 6 米解析(1)在 RtABC 中，BAC60，AB100 米，则BC100 3 米 在 RtABD 中，BAD45，AB100 米，则 BD100米，在BCD 中，DBC751590，则 DC BD2BC2200 米 所以客车的速度 vCD10601 200 米/分72 千米/时，所以该客车没有超速 第62页高
25、考调研 高三总复习 数学（理）(2)在 RtBCD 中，BCD30，又因为DBE15，所以CBE105，所以CEB45.在BCE 中，由正弦定理可知EBsin30BCsin45，所以 EBBCsin30sin45 50 6 米，即此时客车距楼房 50 6米第63页高考调研 高三总复习 数学（理）1据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达 12 级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成 45角，树干也倾斜为与地面成 75角，树干底部与树尖着地处相距 20 千米，则折断点与树干底部的距离是()A.20 63米B10 6 米C
26、.10 63米D20 2 米第64页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 A解析 如图所示，设树干底部为 O，树尖着地处为 B，折断点为 A，则ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理知，AOsin4520sin60，AO20 63(米)故选 A.第65页高考调研 高三总复习 数学（理）2.如图所示，某炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面 C 处和 D 处，已知 CD6 000 m，ACD45，ADC75，目标出现于地面 B 处时测得BCD30，BDC15，则炮兵阵地到目标的距离是_ m(结果保留根号)第66页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 1 000 42解析 ACD45，ADC75，CAD60.在ACD 中，由正弦定理可得ADsin45CDsin60，AD6 00022322 000 6(m)第67页高考调研 高三总复习 数学（理）在BCD 中，由正弦定理得BDsin30CDsin135，BD126 000223 000 2(m)，在 RtABD 中，由勾定理可得 AB2BD2AD2，AB（3 000 2）2（2 000 6）21 000 42(m)