1、12绝对值不等式12.1绝对值三角不等式来源:学。科。网1理解绝对值的几何意义2能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.1研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式主要的依据是绝对值的意义在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值即|x|思考1求下列各数的绝对值：(1)3；(2)8；(3)0.答案: (1)3(2)8(3)02绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立关于定理1的几点说明：(1)定理1的证明：|ab|a|b
2、|(ab)2(|a|b|)2a2b22aba2b22|a|b|ab|a|b|ab|ab|，由已知知识可知ab|ab|一定成立，因而不等式|ab|a|b|成立又由于上面每一步都是恒等变形及ab|ab|ab0可知，当且仅当ab0时，等号成立(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明了不等式|ab|a|b|.(3)定理1还可以变形为|ab|a|b|，等号成立的充要条件是ab0.(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a，b是实数，那么|a|b|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|.思考2说出下列不等式等号成立的条件：(1)|a|b|ab|；(2)|a|b|ab|；(3
3、)|ac|ab|bc|.答案: (1)等号成立的条件是：ab0；(2)等号成立的条件是：ab0且ab.(3)等号成立的条件是：(ab)(bc)03含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|a，|a|a及绝对值的和的性质思考3当|a|a时，a_；当|a|a时，a(0，)答案: (，0)来源:学#科#网Z#X#X#K 1若|xa|m，|ya|n，则下列不等式一定成立的是()A|xy|2m B|xy|2nC|xy|nm D|xy|0，下面四个不等式：|ab|a|；|ab|b|；|ab|a|b|.其中正确的是()A B C D答案: C3若a，bR，且|a|3，|b|2，则|ab|的最大值是_，最小值
4、是_答案: 50来源:Z*xx*k.Com4方程|x|logax|xlogax|(a1)的解集是_答案: x|x15|xA|，|yA|是|xy|a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1) B(1，)C(3，4) D3，)答案: A7“a4”是“对任意实数x，|2x1|2x3|a成立”的()A必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D即不充分也不必要条件解析：|2x1|2x3|2x1(2x3)|4，当a4时|2x1|2x3|a成立，即充分条件；当|2x1|2x3|aa4，不能推出a4，即必要条件不成立答案：B8函数y|x3|x1|的最大值是_，最小值是_解析：解法一|x3|x1|(
5、x3)(x1)|4，4|x3|x1|4.ymax4，ymin4.解法二把函数看作分段函数y|x3|x1|4y4，ymax4，ymin4.答案：449对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，|x2y1|的最大值是_解析：|x2y1|x12(y2)2|x1|2|y2|2|1225.答案：510(2014江西高考文科)x，yR，若|x|y|x1|y1|2，则xy的取值范围为_解析：由|a|b|ab|知，|x|x1|x(x1)|1，同理|y|y1|1，故|x|y|x1|y1|2，所以0x1且0y1，即0xy2.答案：0，211(2014新课标全国卷高考理科数学)设函数f(x)|xa|(a0)，证明：
6、f(x)2.解析：(1)由a0，有f(x)|xa|a2.所以f(x)2.12设a，bR且|ab1|1，|a2b4|4，求|a|b|的最大值解析：|ab|(ab1)1|ab1|1|112|ab|3(ab1)2(a2b4)5|3|ab1|2|a2b4|53124516.当ab0时，|a|b|ab|2；当ab0时，则a(b)0，|a|b|a|b|a(b)|16.总之，恒有|a|b|16.而a8，b8时，满足|ab1|1，|a2b4|4，且|a|b|16.因此|a|b|的最大值为16.13已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.证明：3|y|3y|2(xy)(y2x)|2|xy|2xy
7、|，由题意设|xy|，|2xy|，3|y|2.|y|.14设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义点A到点B的一种折线距离为(A，B)|x2x1|y2y1|，对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若点C(x，y)是平面xOy上的点， 试证明：(A，C)(C，B)(A，B)证明：由绝对值不等式知，(A，C)(C，B)|xx1|x2x|yy1|y2y|(xx1)(x2x)|(yy1)(y2y)|x2x1|y2y1|(A，B)当且仅当(xx1)(x2x)0且(yy1)(y2y)0时等号成立来源:学+科+网1在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设aR，则|a|a|0，|a|a|a|，|a|2a2.2绝对值不等式的性质定理的推广：|a1a2a3|a1|a2|a3|；|a1a2an|a1|a2|an|；|a|b|ab|a|b|.3在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时，一定要注意等号成立的条件：|ab|a|b|(ab0)；|ab|a|b|(ab0)；|a|b|ab|(ab0)；|a|b|ab|(ab0)
