1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第7课时 正、余弦定理 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）正弦定理asinA bsinB csinC2R其中 2R 为ABC 外接圆直径变式：a2RsinA，b2Rs
2、inB，c2RsinCabcsinAsinBsinC第7页高考调研 高三总复习 数学（理）余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC变式：cosAb2c2a22bc；cosBa2c2b22ac；cosCa2b2c22absin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA.第8页高考调研 高三总复习 数学（理）解三角形(1)已知三边 a，b，c.运用余弦定理可求三角 A，B，C.(2)已知两边 a，b 及夹角 C.运用余弦定理可求第三边 c.第9页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)已知两边 a，b 及一边对角 A.先用正弦定理，求 sin
3、B：sinBbsinAa.A 为锐角时，若 absinA，无解；若 absinA，一解；若bsinAab，一解(4)已知一边 a 及两角 A，B(或 B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边第10页高考调研 高三总复习 数学（理）三角形常用面积公式(1)S12aha(ha 表示 a 边上的高)(2)S12absinC12acsinB12bcsinAabc4R.(3)S12r(abc)(r 为内切圆半径)第11页高考调研 高三总复习 数学（理）1判断下列说法是否正确(打“”或“”)(1)在ABC 中，AB 必有 sinAsinB.(2)在ABC 中，若 b2c2a2，则ABC 为锐角三角形(3
4、)在ABC 中，若 A60，a4 3，b4 2，则B45或B135.(4)若满足条件 C60，AB 3，BCa 的ABC 有两个，则实数 a 的取值范围是(3，2)第12页高考调研 高三总复习 数学（理）(5)在ABC 中，若 acosBbcosA，则ABC 是等腰三角形(6)在ABC 中，若 tanAa2，tanBb2，则ABC 是等腰三角形答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)第13页高考调研 高三总复习 数学（理）2(教材习题改编)在ABC中，若a2bsinA，则B等于()A30或 60 B45或 60C60或 120D30或 150答案 D第14页高考调研 高三总复习 数学（理）3(
5、2015安徽文)在ABC 中，AB 6，A75，B45，则 AC_答案 2解析 因为A75，B45，所以C60，由正弦定理可得ACsin456sin60，解得 AC2.第15页高考调研 高三总复习 数学（理）4(2015广东文)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2 3，cosA 32 且 bc，则 b()A3 B2 2C2 D.3答案 C解析 由余弦定理得 a2b2c22bccosA，即 4b2126bb26b80(b2)(b4)0，由 bc，sinC10 2 222012，C30；当 a10 2时，ac，C45；当 a20 33时，aa，BA45，有两解 B
6、60或 120.第22页高考调研 高三总复习 数学（理）当 B60时，C180(4560)75，c asinAsinC2sin45sin75 6 22.当 B120时，C180(45120)15，c asinAsinC2sin45sin15 6 22.第23页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：由余弦定理，得 a2b2c22bccosA.c2 6c10，c 6 22.当 c 6 22时，cosBa2c2b22ac12，B60.当 c 6 22时，cosBa2c2b22ac12，B120.第24页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)由正弦定理得 sinAsinBsinCabc456，又由余
7、弦定理知 cosAb2c2a22bc253616256 34，所以sin2AsinC 2sinAcosAsinC2sinAsinCcosA246341.第25页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)B60，C75，c 6 22或 B120，C15，c 6 22(2)1第26页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在ABC中，已知 a1，b2，A60，则 sinBbasinA 31，问题就无解)，如果有解，是一解，还是二解(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函
8、数)的关系转化为边的关系(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定第27页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1(1)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 asinBcosCcsinBcosA12b，且 ab，则B_第28页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】由正弦定理，得 sinB(sinAcosCsinCcosA)12sinB，即 sinBsin(AC)12sinB，因为 sinB0，所以 sinB12，所以 B6 或56，又因为 ab，故B6.【答案】6第29页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)(2016福建理)若锐角ABC 的面积为 10 3
9、，且 AB5，AC8，则 BC 等于_【解析】因为ABC 的面积 SABC12ABACsinA，所以 10 31258sinA，解得 sinA 32，因为角 A 为锐角，所以 cosA12.根据余弦定理，得 BC25282258cosA52822581249，所以 BC7.【答案】7第30页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 面积问题例 2 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 A4，bsin(4 C)csin(4 B)a.(1)求证：BC2；(2)若 a 2，求ABC 的面积第31页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)由 bsin(4 C)csin(4
10、B)a，应用正弦定理，得 sinBsin(4 C)sinCsin(4 B)sinA.sinB(22 sinC 22 cosC)sinC(22 sinB 22 cosB)22，整理得 sinBcosCcosBsinC1，即 sin(BC)1.由于 0B，C34，从而 BC2.第32页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)BCA34，因此 B58，C8.由 a 2，A4，得 basinBsinA 2sin58，casinCsinA 2sin8.所以ABC 的面积 S12bcsinA 2sin58 sin8 2cos8sin8 12.【答案】(1)略(2)12第33页高考调研 高三总复习 数学（理）
11、探究 2(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理(3)在求三角形面积时，通过正、余弦定理求一个角，两边乘积，是一常见思路第34页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2(1)(2015天津理)在ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cosA14，则 a 的值为_第35页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)(2015浙江理)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 A4，b2a212c2.求 ta
12、nC 的值；若ABC 的面积为 3，求 b 的值第36页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)由 cosA14得 sinA 154，所以ABC 的面积为12bcsinA12bc 154 3 15，解得 bc24，又 bc2，所以 a2b2c22abcosA(bc)22bc2bccosA22224224(14)64，故 a8.第37页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)由 b2a212c2 及正弦定理得 sin2B1212sin2C，所以cos2Bsin2C.又由 A4，即 BC34，得 cos2Bsin2C2sinCcosCsin2C，解得 tanC2.第38页高考调研 高三总复习
13、数学（理）由 tanC2，C(0，)得 sinC2 55，cosC 55.又因为 sinBsin(AC)sin(4 C)，所以 sinB3 1010.由正弦定理得 c2 23 b，又因为 A4，12bcsinA3，所以 bc6 2，故 b3.【答案】(1)8(2)2 b3第39页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 判断三角形的形状例 3 在ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosBccosCacosA，试判断ABC 的形状第40页高考调研 高三总复习 数学（理）【思路】判断三角形的形状也是高考常考内容，解决这类问题有两条途径，其一是从角入手，探求角的大小关系；
14、其二是从边入手，探求三边满足的关系 第41页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】方法一：bcosBccosCacosA，由正弦定理，得 sinBcosBsinCcosCsinAcosA.即 sin2Bsin2C2sinAcosA.2B(BC)(BC)，2C(BC)(BC)，sin2Bsin(BC)cos(BC)cos(BC)sin(BC)，sin2Csin(BC)cos(BC)cos(BC)sin(BC)2sin(BC)cos(BC)2sinAcosA.第42页高考调研 高三总复习 数学（理）ABC，sin(BC)sinA.而 sinA0，cos(BC)cosA，即 cos(BC)cos(
15、BC)0.2cosBcosC0.0B，0C，B2 或 C2，即ABC 是直角三角形 第43页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：由已知得 ba2c2b22acca2b2c22abab2c2a22bc，b2(a2c2b2)c2(a2b2c2)a2(b2c2a2)(a2c2b2)(b2a2c2)0.a2c2b2 或 b2a2c2，即 B2 或 C2.ABC 为直角三角形【答案】直角三角形第44页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3 三角形形状的判定方法：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a2RsinA，a2b2c22abcosC 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断
16、此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinAsinBAB；sin(AB)0AB；sin2Asin2BAB或 AB2 等 第45页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sinA a2R，cosAb2c2a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能第46页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题3(1)在ABC 中，已知acosAbcosB，则ABC为()A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形第47页高考调研 高三总复习 数学
17、（理）【解析】方法一：由 acosAbcosB，得cosAcosBba.由正弦定理，得basinBsinA，所以cosAcosBsinBsinA.即 sinAcosAsinBcosB，故 sin2Asin2B.因为角 A、B 为三角形的内角，所以 2A2B，或 2A2B，所以 AB 或 AB2，即ABC 为等腰三角形或直角三角形，所以选 C.第48页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：将 cosAb2c2a22bc，cosBa2c2b22ac代入已知条件，得 ab2c2a22bcba2c2b22ac.去分母，得 a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)整理得(a2b2)(a2b2c2)0，
18、所以 a2b2 或a2b2c20，即 ab 或 a2b2c2，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选 C.【答案】C第49页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)在ABC 中，A、B、C 是三角形的三个内角，a、b、c是三个内角对应的三边，已知 b2c2a2bc.求角 A 的大小；若 sinBsinC34，试判断ABC 的形状，并说明理由第50页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】在ABC 中，由余弦定理，可得 cosAb2c2a22bc，由已知，得 b2c2a2bc，cosA12.0A，故 A3.第51页高考调研 高三总复习 数学（理）ABC，A3，C23 B.由 sinBsinC3
19、4，得 sinBsin(23 B)34.即 sinB(sin23 cosBcos23 sinB)34.32 sinBcosB12sin2B34，第52页高考调研 高三总复习 数学（理）34 sin2B14(1cos2B)34，32 sin2B12cos2B1，sin(2B6)1.又6 2B6 76，2B6 2，即 B3.C3，也就是ABC 为等边三角形【答案】3 等边三角形第53页高考调研 高三总复习 数学（理）题型四 解三角形的应用例 4(1)(2015重庆文)在ABC 中，B120，AB 2，A 的角平分线 AD 3，则 AC_第54页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】如图，在ABD
20、 中，由正弦 定 理，得 sin ADB ABsinBAD2 323 22.由题意知 0ADBa，B60或 120.若 B60，C90，c a2b22 5.若 B120，C30，ac 5.第72页高考调研 高三总复习 数学（理）2(2015广东理)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 3，sinB12，C6，则 b_第73页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 1解析 由 sinB12得 B6 或56，因为 C6，所以 B56，所以 B6，于是 A23.由正弦定理，得3sin23b12，所以 b1.第74页高考调研 高三总复习 数学（理）3在ABC 中，AC 7，BC
21、2，B60，则 BC 边上的高等于()A.32B.3 32C.3 62D.3 394第75页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 由余弦定理，得(7)222AB222ABcos60，即 AB22AB30，得 AB3.故 BC 边上的高是 ABsin603 32.选 B.第76页高考调研 高三总复习 数学（理）4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c.若C120，c 2a，则()AabBabCabDa 与 b 的大小关系不能确定第77页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 A解析 据题意由余弦定理可得 a2b22abcos120c2(2a)2，化简整理得 a2b2ab
22、，变形得 a2b2(ab)(ab)ab0，故有 ab0，即 ab.第78页高考调研 高三总复习 数学（理）5(2016济宁一模)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且满足 csinA 3acosC，则 sinAsinB 的最大值是()A1 B.2C.3D3第79页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 csinA 3acosC，sinCsinA 3sinAcosC.即 sinC 3cosC.tanC 3，C3，A23 B.sinAsinBsin(23 B)sinB 3sin(B6)第80页高考调研 高三总复习 数学（理）0B23，6 B6 56.当 B6 2，即
23、B3 时，sinAsinB 的最大值为 3.故选 C.第81页高考调研 高三总复习 数学（理）6(2015新课标全国理)ABC 中，D 是 BC 上的点，AD平分BAC，ABD 面积是ADC 面积的 2 倍(1)求sinBsinC；(2)若 AD1，DC 22，求 BD 和 AC 的长第82页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)12(2)BD 2，AC1解析(1)SABD12ABADsinBAD，SADC12ACADsinCAD.因为 SABD2SADC，BADCAD，所以 AB2AC.由正弦定理可得sinBsinCACAB12.第83页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)因为 SABDSADCBDDC，所以 BD 2.在ABD 和ADC 中，由余弦定理知 AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故 AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)知 AB2AC，所以 AC1.请做：题组层级快练（二十四）