1、2014-2015学年江苏省镇江市扬中中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分只填结果，不要过程！）1过点（2，3）且与直线x2y+1=0垂直的直线的方程为2过三点A（4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为3已知ABC中，A（2，4），B（1，3），C（2，1），则BC边上的高AD的长为4已知两条直线l1：（3+m）x+4y=53m，l2：2x+（5+m）y=8若直线l1与直线l2平行，则实数m=5已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题：若l，m，则lm； 若l，l，=m，则lm；若lm，m，则l； 若l，m，则lm其中真命
2、题是（写出所有真命题的序号）6若圆x2+y2=4 与圆x2+y22mx+m21=0相外切，则实数m=7若x，y满足约束条件，则z=xy的最小值是8过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记APB=，当最小时，此时点P坐标为9如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为米10已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为11已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（2，3），若PA+PF的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n=12在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x4）
3、2+y2=1，若直线y=kx3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是13已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是14已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点（1）若AA1AD，求证：ADDC1；（2）求证：A1B平面ADC116如图，在四棱锥PABCD中，ABDC，DC=2AB，AP=AD，PBAC，BDAC，E为PD
4、的中点求证：（1）AE平面PBC；（2）PD平面ACE17（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=x，准线方程为x=，求该双曲线的标准方程18已知ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）（1）求ABC外接圆M的方程；（2）若直线l与M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与M相交于A，B两点，且AB=2，求直线l的方程19已知直线l与圆C：x2+y2+2x4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线
5、l的距离为，求实数a的取值范围；（3）已知N（0，3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（ab0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由2014-2015学年江苏省镇江市扬中中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分只填结果，不要
6、过程！）1过点（2，3）且与直线x2y+1=0垂直的直线的方程为2x+y+1=0考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系专题： 直线与圆分析： 根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（2，3）代入，即可求出c值，得到所求方程解答： 解：所求直线方程与直线x2y+1=0垂直，设方程为2x+y+c=0直线过点（2，3），4+3+c=0，c=1所求直线方程为2x+y+1=0故答案为：2x+y+1=0点评： 本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题2过三点A（4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的
7、标准方程为（x+2）2+（y1）2=5考点： 圆的标准方程专题： 直线与圆分析： 由条件利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，可得圆的半径，从而求得圆的标准方程解答： 解：由于所求的圆经过三点A（4，0），B（0，2）和原点O（0，0），故圆心在直线x=2上，又在y=1上，故圆心的坐标为M（2，1），半径为MO=，故要求的圆的标准方程为（x+2）2+（y1）2=5，故答案：（x+2）2+（y1）2=5点评： 本题主要考查求圆的标准方程，关键在于利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，属于基础题3已知ABC中，A（2，4），B（1，3），C（2，1），则BC边上的高AD的长为5考点： 直线的一般式方程与直线的
8、垂直关系专题： 直线与圆分析： 由已知条件分别求出直线BC和直线AD所在的方程，联立方程组，求出点D，由此能求出高AD的长解答： 解：ABC中，A（2，4），B（1，3），C（2，1），BC边的斜率kBC=，BC边上的高AD的斜率kAD=，直线AD：y4=，整理，得3x4y+10=0，直线BC：，整理，得4x+3y+5=0，联立，得D（2，1），|AD|=5故答案为：5点评： 本题考查三角形的高的求法，是基础题，解题时要注意直线方程和两点间距离公式的合理运用4已知两条直线l1：（3+m）x+4y=53m，l2：2x+（5+m）y=8若直线l1与直线l2平行，则实数m=7考点： 直线的一般式方程
9、与直线的平行关系专题： 直线与圆分析： 对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出解答： 解：当m=3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=5时，两条直线分别化为：x2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m3，5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，两条直线平行，解得m=7综上可得：m=7故答案为：7点评： 本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题5已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题：若l，m，则lm； 若l，l，=m，则lm；若lm，m，则l； 若l，m，则lm其中真命题是（写出所有真命题的序号）考点：
10、 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解解答： 解：若l，m，则l与m平行或异面，故错误； 若l，l，=m，则由直线与平面平行的性质得lm，故正确；若lm，m，则l或l，故错误； 若l，m，则由直线与平面垂直的性质得lm，故正确故答案为：点评： 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6若圆x2+y2=4 与圆x2+y22mx+m21=0相外切，则实数m=3考点： 圆与圆的位置关系及其判定专题： 直线与圆分析： 先求出圆的圆心和半径，根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，求得m的值解答： 解
11、：圆x2+y2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y22mx+m21=0，即（xm）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=3，故答案为：3点评： 本题主要考查圆的标准方程，两个圆相外切的性质，属于基础题7若x，y满足约束条件，则z=xy的最小值是3考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 先根据条件画出可行域，设z=xy，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=xy，过可行域内的点A（0，3）时的最小值，从而得到z最小值即可解答： 解：设变量x、y满足约束条件，在
12、坐标系中画出可行域三角形，将z=xy整理得到y=xz，要求z=xy的最小值即是求直线y=xz的纵截距的最大值，当平移直线xy=0经过点A（0，3）时，xy最小，且最小值为：3，则目标函数z=xy的最小值为3故答案为：3点评： 借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定8过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记APB=，当最小时，此时点P坐标为（4，2）考点： 简单线性规划；直线与圆的位置关系专题： 数形结合；不等式的解法及应用分析： 先依据不等式组 ，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关
13、系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定最小时点P的位置即可解答： 解：如图阴影部分表示 ，确定的平面区域，当P离圆O最远时，最小，此时点P坐标为：（4，2），故答案为：（4，2）点评： 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想9如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为2米考点： 抛物线的应用专题： 计算题；压轴题分析： 先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=3代入抛物线方程求得x0进而得到
14、答案解答： 解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，2）代入x2=my，得m=2x2=2y，代入B（x0，3）得x0=，故水面宽为2m故答案为：2点评： 本题主要考查抛物线的应用考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力10已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e=，化简即可解答： 解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e=故答案为：点评： 本题考查双曲线的离心率，涉及
15、渐近线的方程，属中档题11已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（2，3），若PA+PF的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n=5考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PN|=M，由此可得解答： 解：抛物线标准方程 x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=1设p到准线的距离为PN，（即PN垂直于准线，N为垂足），则M=|PA|+|PF|=|PA|+|PN|=4，此时P（2，1），n=1，则M+n5故答案为：5点评： 本题考
16、查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，是解题的关键12在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x4）2+y2=1，若直线y=kx3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是考点： 直线与圆的位置关系专题： 计算题；直线与圆分析： 圆C的方程表示以C（4，0）为圆心，半径等于1的圆由题意可得，直线y=kx3和圆C：即（x4）2+y2=9有公共点，由点C到直线y=kx3的距离为d3，求得实数k的最大值解答： 解：圆C的方程为：（x4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C
17、有公共点，只需圆C：（x4）2+y2=9与直线y=kx3有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx3的距离为d，则d=3，即7k224k0，0k，k的最大值是故答案为：点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题13已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是考点： 基本不等式专题： 不等式的解法及应用分析： 建系，设C（m，0），B（m，0），A（0，n），可得D（，），进而由题意可得BD2=（）2+（）2=4，故三角形的面积S=mn=，注意等号成立的条件即可解答： 解：以等腰三角形底边BC的中点为原点，建立如图所示的坐标系
18、，设C（m，0），则B（m，0），A（0，n），由中点坐标公式可得D（，），由题意可得BD2=（）2+（）2=4，三角形的面积S=mn=当且仅当=即n=3m时取等号，三角形的面积的最大值为故答案为：点评： 本题考查基本不等式求最值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题14已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是考点： 椭圆的简单性质专题： 综合题；压轴题分析： 设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：
19、|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于ac，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围解答： 解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a|PF2|=2a=2d，即d=，而|PF1|（ac，a+c，即2d=，所以得到，由得：+20，为任意实数；由得：+320，解得或（舍去），所以不等式的解集为：，即离心率e，又e1，所以椭圆离心率的取值范围是，1）故答案为：，1）点评： 此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆
20、简单性质的运用，是一道中档题二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点（1）若AA1AD，求证：ADDC1；（2）求证：A1B平面ADC1考点： 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系专题： 证明题；空间位置关系与距离分析： （1）证明ADBC，ADCC1，利用线面垂直的判定定理，可得AD平面BCC1B1，即可证明ADDC1；（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点，证明ODA1B，可得A1B平面ADC1解答： 证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以A
21、DBC（2分）因为AA1AD，AA1CC1，所以ADCC1，（4分）因为CC1BC=C，所以AD平面BCC1B1，（6分）因为DC1平面BCC1B1，所以ADDC1 （7分）（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点因为D为BC的中点，所以ODA1B （9分）因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，（12分）所以A1B平面ADC1 （14分）点评： 本题考查直线与平面平行的判定、考查线面垂直的判定定理与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16如图，在四棱锥PABCD中，ABDC，DC=2AB，AP=AD，PBAC，BDAC，E为PD的中点求证：（1）AE平面PBC
22、；（2）PD平面ACE考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题： 证明题分析： （1）要证明线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件在面PBC内找到与AE平行的直线，取PC的中点F利用题目中的平行关系，可证得AEBF，即得AEBF（2）由PBAC，BDAC可得AC平面PBD，利用线面垂直的定义得ACPD，然后由AP=AD，E为PD的中点得到PDAE，由线面垂直的判定定理可得PD平面ACE解答： 证明：（1）取PC中点F，连接EF，BF，E为PD中点，EFDC且EF=ABDC且，EFAB且EF=AB四边形ABFE为平行四边形AEBFAE平面PBC，BF平面PBC，AE平面PBC（
23、2）PBAC，BDAC，PBBD=B，AC平面PBDPD平面PBD，ACPDAP=AD，E为PD的中点，PDAEAEAC=A，PD平面ACE点评： 本题考查了线面平行和线面垂直的判断，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，是个中档题17（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=x，准线方程为x=，求该双曲线的标准方程考点： 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出解答： 解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得a=
24、2，c=1，b2=3，所求椭圆的标准方程为（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b0），又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，所求双曲线标准方程为点评： 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题18已知ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）（1）求ABC外接圆M的方程；（2）若直线l与M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与M相交于A，B两点，且AB=2，求直线l的方程考点： 直线和圆的方程的应用；圆的一般方程专题： 综合题；直线与圆分析： （1）确定ACB是等腰直角三角形，因而ACB圆心为（1，2），半径为2，即可求ABC外
25、接圆M的方程；（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知，求出k，即可求直线l的方程；（3）分类讨论，利用勾股定理，可得直线l的方程解答： 解：（1）A（1，0），B（1，4），C（3，2），=（2，2），=（2，2），则ACB是等腰直角三角形，因而ACB圆心为（1，2），半径为2，M的方程为（x1）2+（y2）2=4（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知，解得k=0或，（8分）故直线l的方程为y=4或4x3y+12=0（10分）（3）当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它截M得弦长恰为；
26、（12分）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，圆心到直线y=kx+4的距离，由勾股定理得，解得，（14分）故直线l的方程为x=0或3x+4y16=0 （16分）点评： 本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线、圆的方程，考查点到直线的距离公式，属于中档题19已知直线l与圆C：x2+y2+2x4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为，求实数a的取值范围；（3）已知N（0，3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围考点： 直线和圆的方程的应用专题： 综合题；直线与圆分析：
27、 （1）圆的方程化为标准方程，可得实数a的取值范围，利用垂径定理，可求直线l的方程；（2）确定与直线l平行且距离为的直线，即可求实数a的取值范围；（3）利用PM=PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围解答： 解：（1）圆（1分）据题意：（2分）因为CMAB，kCMkAB=1，kCM=1，kAB=1所以直线l的方程为xy+1=0（4分）（2）与直线l平行且距离为的直线为：l1：xy+3=0过圆心，有两个交点，（6分）l2：xy1=0与圆相交，；（8分）（3）设（12分）据题意：两个圆相交：（14分）且，所以：（16分）点评： 本题考查圆的方程，考查直线和圆的方程的应用，考查学生分
28、析解决问题的能力，属于中档题20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（ab0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）由椭圆的离心率得到a2=3b2，设出椭圆上点P的坐标，写出点到直线的距离，然后对b分类求出|PQ|的最大值，由最大值等于3求解b的值，进一
29、步得到a的值，则椭圆方程可求；（2）求出圆心到直线l的距离，由勾股定理得到弦长，代入三角形的面积公式，把面积用含有d的代数式表示，配方后求出面积的最大值并求得使面积最大时的d值，从而得到m，n的值，则点M的坐标可求解答： 解：（1），于是a2=3b2设椭圆C上任一点P（x，y），则（byb）当0b1时，|PQ|2在y=b时取到最大值，且最大值为b2+4b+4，由b2+4b+4=9解得b=1，与假设0b1不符合，舍去当b1时，|PQ|2在y=1时取到最大值，且最大值为3b2+6，由3b2+6=9解得b2=1于是a2=3，椭圆C的方程是（2）圆心到直线l的距离为，弦长，OAB的面积为，于是而M（m，n）是椭圆上的点，即m2=33n2，于是，而1n1，0n21，132n23，于是当时，S2取到最大值，此时S取到最大值，此时，综上所述，椭圆上存在四个点、，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大，且最大值为点评： 本题考查了椭圆方程的求法，考查了函数取得最值的条件，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用配方法求函数的最值，是压轴题