1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。2.5.2椭圆的几何性质新课程标准学业水平要求1.掌握简单的椭圆的几何性质2了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响3掌握直线与椭圆的位置关系及其应用1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质(数学抽象)2依据几何条件求出椭圆方程，并根据椭圆方程研究其他的几何性质(数学运算)3类比直线与圆的位置关系研究直线与椭圆的位置关系(数学抽象)4会求直线与椭圆相交得到的弦长问题(数学运算)5能够灵活运用椭圆的几何性质解决相关问题(逻辑推理、数学运算)第1课时
2、椭圆的几何性质必备知识自主学习导思1.椭圆的几何性质主要有哪些？2椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有怎样的关系？1.椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b2.椭圆的离心率(1)定义：焦距与长轴长的比(2)记法：e(3)范围：0e0，b0)的离心率为，直线ykx与该椭圆交于A，B两点，分别过点A，B向
3、x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于()A B C D2【解析】1.选B.椭圆C：4x2y216，即1，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为(0，2).2选A.椭圆C：1，a2，c1，可得该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为ac3，ac1.3选A.联立(b2a2k2)x2a2b2，则x，由题意知c，因为e，所以a2c，bc，代入可得c2k.【补偿训练】 求椭圆m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率【解析】由已知得1(m0)，因为0m24m2，所以，所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距c，所以椭圆的长轴长2a，短
4、轴长2b，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率e.类型二求椭圆的离心率(数学运算)【典例】1.(2020邢台高二检测)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2且PF2F160，则C的离心率为()A1 B2 C D12(2020阆中高二检测)已知椭圆C：1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若ABF90，则椭圆C的离心率为()A B C D【思路导引】1.设|PF2|m，则根据平面几何知识可求|F1F2|，|PF1|，再结合椭圆定义可求离心率2根据ABF90可知kABkBF1，转化成关于a，b，c的关系式，再根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得【解析】
5、1.选D.在F1PF2中，F1PF290，PF2F160，设|PF2|m，则2c|F1F2|2m，|PF1|m，又由椭圆定义可知2a|PF1|PF2|(1)m，则离心率e1.2选A.根据题意得A，B，F，因为ABF90，所以kABkBF1，即1，所以1，即b2ac.又因为c2a2b2，所以c2a2ac0，等号两边同除以a2得210，即e2e10，所以e(舍)或e.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为
6、关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围(2020银川高二检测)已知焦点在x轴上的椭圆C：1的焦距为4，则C的离心率为()A B C D【解析】选C.由题意得a244，所以a28，所以|a|2，所以椭圆的离心率为e.类型三由椭圆的性质求椭圆的标准方程(数学运算)【典例】求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆过点(3，0)，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆1有相同离心率的椭圆的标准方程【思路导引】(1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2)利
7、用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)方法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系再用待定系数法求解方法二：设与椭圆1有相同离心率的椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)【解析】(1)若焦点在x轴上，则a3，因为e，所以c，所以b2a2c2963.所以椭圆的方程为1.若焦点在y轴上，则b3，因为e，解得a227.所以椭圆的方程为1.所以所求椭圆的标准方程为1或1.(2)设椭圆方程为1(ab0).如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)且|OF|c，|A1A2|2b，所以cb4，所以a2b2c232，故所求椭圆的标准方程为1.(3)方法一：由题意知e21，
8、所以，即a22b2，设所求椭圆的方程为1或1.将点M(1，2)代入椭圆方程得1或1，解得b2或b23.故所求椭圆的标准方程为1或1.方法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)，将点M的坐标代入可得k1或k2，解得k1，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等2在椭圆的简单几何
9、性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个【补偿训练】 1.椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A(3，2)，则其标准方程为_【解析】设椭圆的标准方程为1(ab0)，上焦点为F1(0，2)，下焦点为F2(0，2)，根据椭圆的定义知，2a|AF1|AF2|38，即a4，所以b2a2c216412，因此，椭圆的标准方程为1.答案：12根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点构成正三角形，且半焦距为6.【解析】(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方
10、程为1(ab0).依题意有解得所以椭圆方程为1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.故所求的椭圆方程为1或1.(2)依题意，有得所以所求的椭圆方程为1.备选类型分类讨论思想在椭圆中的应用(数学抽象)【典例】(2020北京高二检测)已知椭圆1的离心率e，则m的值为()A3 B或3C D或【思路导引】分5m，50，当5m时，a，b，c，所以e，解得m3；当5b0)的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为_【解析】由椭圆的定义可得，|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又因为|AF1|AF2|BF1|BF2|4，所以4a4，解得a，又因为e，所以c1，所以b2a2c22，所以椭圆C的方程为1.答案：15(2020合肥高二检测)椭圆1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围是_【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，故可得5a4a21，解得a.又e，又对勾函数y4a在区间上单调递减，在区间上单调递增，当a时，y5；a时，y4；a1时，y5，故y4a4，5)，则1，则e.答案：关闭Word文档返回原板块- 15 - 版权所有高考资源网
