1、宁夏贺兰县景博中学2021届高三数学上学期统练试题（四）文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算【详解】，所以故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键2. 已知是的共轭复数，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】首先计算，然后利用共轭复数的特征计算的值.【详解】，.故选:D.【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3. 等差数列的前项和为，且，则公差（ ）A. -3B.
2、3C. -2D. 2【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】，则解得公差故选：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4. 过两点，的直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系，列方程可求出的值【详解】解：因为两点，的直线的倾斜角为，所以，解得，故答案为：B5. 1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠
3、动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数和天数的函数关系为：，且该种病毒细胞的个数超过时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（）A. 25B. 26C. 27D. 28【答案】C【解析】【分析】计算，得到，得到答案.【详解】取，故，即，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为.故选：.【点睛】本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6. 已知，则=（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】A【解析】【分析】先用二倍角公式整理化简，再对是否等于0讨论，求出【详解】，即当时，；当时，.所以：或.故选：A7. 若满足约束条件，则的最大值是（ ）A.
4、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，最大值即可【详解】解：解：作出可行域如图，由知，所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值结合可行域可知当动直线经过点时，由，解得，即 目标函数取得最大值故选：8. 已知直线：与：平行，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线平行可直接构造方程求得结果.详解】，解得：.故选：.【点睛】本题考查根据两直线平行求解参数值的问题，解题关键是明确若直线与直线平行，则且.9. 函数的部分图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首
5、先判断出为偶函数，然后结合时，为负数，确定正确选项.【详解】因为，所以是偶函数，则的图象关于轴对称，排除C，D；当时，排除B.故选：A【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.10. 已知等比数列的前项和为，且满足，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】根据等比数列求和公式可构造方程求得公比，由等比数列通项公式可求得结果.【详解】若等比数列公比，则，不满足，整理可得：，当，即时，；当，即时，；综上所述：或.故选：D.11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以
6、为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果.【详解】因为底面，所以，又，所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：则，设异面直线与所成的角为，则.所以异面直线与所成的角的余弦值为.故选：A【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题.12. 设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，可证得在上单调递减；由的对称性确定的对称性，由此确定，得到，利用单调性可求得结果.【详解】设，则，则在上单调递减；，关于直线对称，又，关于点中心对称，关于的对称
7、点也在上，即，由得：，且在上单调递减，当时，即所求的的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性求解函数不等式的问题，解题关键是能够将所求的不等式转化为同一函数的函数值之间的大小关系问题，进而通过函数的单调性确定自变量的大小关系.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量，若，则_【答案】【解析】【分析】先求出和的坐标表示，利用垂直数量积为0求m.【详解】因为，所以因为，所以，即，解得：.故答案为：点睛】若，则有：（1）（2）14. 正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_【答案】12【解析】【详解】试题分析：设球的半径为R，
8、则正方体的对角线长为2R，依题意知 4R2=3a2=12,即R2=3，S球=4R2=43=12 （cm2）故答案为12考点：球内接多面体；球的体积和表面积15. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子癸未；甲申、乙酉、丙戌癸巳；，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始
9、，无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为_【答案】马【解析】【分析】根据周期为确定年为庚子年，进而确定对应的地支和属相.【详解】六十甲子，周而复始，年为一个周期；年为庚子年，则年对应的地支为：午，午对应十二生肖中的“马”，年出生的孩子属相为：马.故答案为：马.16. 函数（）的最大值是_【答案】1【解析】【详解】化简三角函数的解析式，可得，由，可得，当时，函数取得最大值1三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为正三角形（1）求证：平面PAC平面PBD；（2）在，这两个条件中任选一个
10、，补充在下面的横线上（填序号），并求解：若PA=PC，_；求该四棱锥的体积（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）证明见解析；（2）选择见解析；体积为2【解析】【分析】（1）先证明平面，再利用判定定理，证明平面平面（2）连结OP，证明OP为四棱锥的高；若选，直接求出底面的面积和高OP，求出四棱锥的体积；若选，设，在中先求出a=2, 求出底面的面积，棱锥的高,求出四棱锥的体积.【详解】（1）证明：设，连结OP.底面为菱形，且为中点；为正三角形，又，平面，又平面，平面平面（2）解：若选，则底面为菱形，底面面积，为中点，又，且，平面；为正三角形，；四棱锥的体积为即四棱锥的体积
11、为2若选，则，为中点，又，且平面；设，为正三角形，底面面积，棱锥的高四棱锥的体积为即四棱锥的体积为2【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离），常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法.18. 已知等差数列的公差，若，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.【详解】（1），成等比数列，化简
12、得，又因为且由可得，.数列的通项公式是（2）由（1）得，所以.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19. 如图，在一条海防警戒线上的点处各有一个水声监测点，两点到的距离分别为20千米和50千米，某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是15千米/秒（1）设到的距离为千米，用表示到的距离，并求的值；（2）求到海防警戒线的距离【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）依题意，有=，根据余弦定理，列出方程，即可求解的值；（2）作于，在中，由，得，即可求解点到海防警戒线的距离试题解析：（
13、1）依题意，有=，在中，同理在中，解得：（2）作于，在中，由，得，千米故静止目标到海防警戒线的距离为千米考点：解三角形的实际应用【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径20. 如图，在三棱锥中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点，过MN的平面与侧面PBC交于EF（1）求证：MNEF；（2）若平面PBC平面ABC，AB=AC=3
14、，求点M到平面PAC的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得出；（2）取中点，连接，可得平面设点到平面的距离为利用求出点到面的距离，【详解】解：（1）证明：因为，分别为，的中点，所以又平面，平面，所以平面因为平面平面，平面所以解：取中点，连接，因为是等边三角形，所以因为平面平面，所以平面因为，所以又，为中点，易得，在中，所以，所以，所设点到平面的距离为因为，所以，解得，所以点到平面距离为【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行的判定和点面距离的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、
15、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，利用等体积法求出点面距.21. (附加题)已知函数（I）当时,求曲线在点处的切线方程;（II）当时,设,求在区间上的最大值【答案】（I）；（II）.【解析】【详解】试题分析：(I)当时,求出切点和斜率,根据点斜式写出切线方程.(II)先对函数求导,并求得函数得极值点,通过对分类讨论函数的单调区间,由此求得函数在给定区间上的最大值.试题解析：（1）当时所以所以,切点为,所以曲线在点处的切线方程为即 （2）因为,令,则,当时,为减函数,所以的最大值为,当时,时,极大所以的最大值为,当时,时,恒成立,为增函数,所以的最大值为.【点睛】本小题主要考查利用函数的导
16、数求切线方程,考查利用函数的导数求含有参数的函数的最值问题.对于利用函数的导数求切线方程,首先要判断给定点是否在函数的图象上,如果在函数的图象上,则利用导数求得斜率,结合切点可以求得切线方程,若点不在函数图象上,则需要先设出切点坐标,利用导数写出切线方程,代入给定点的坐标来求得切点的坐标,从而求得切线方程.选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-4：极坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.（1）求
17、曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线交于两点，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消参即可容易求得曲线的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程；（2）联立与，即可求得，则问题得解.【详解】（1）由得，即，故曲线的极坐标方程为.射线的直角坐标方程为. （2）将代入，得，即，分别为点的极径，则，所以.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，的几何意义，根与系数的关系，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 已知，函数，.（1）若，求的取值范围；（2）若对恒成立，求最大值与最小值之和.【答案】（1）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；（2）.【解析】【分析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数进行分类讨论，则问题得解；（2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得的最小值，再求解绝对值不等式，即可求得的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可.【详解】（1）因为，所以，两边同时平方得，即，当时，；当时，.故当时，不等式解集为；当时，不等式解集为（2）因为，当且仅当时取得等号.所以的最小值为3，所以，则，解得，故的最大值与最小值之和为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题.