1、海南中学2020届高三第九次月考数学试题卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数a=（ ）A.B.1C.0或D.0或1
2、2.已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则=（ ）A.1B.2C.3D.43.已知（a是常数）的展开式中含项的系数为，则a=（ ）A.1B.C.D.4.圆上到直线l：的距离为1的点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.函数的图象大致是（ ）A.B.C.D.6.新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学、生物、政治、地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法一定正确的是（ ）A.丙没有选化学B.丁没有选化学C.乙、丁可以两门课都相同D.这四个人里恰有2个人选化学7.已知，则的大小
3、关系是（ ）A. B.C. D.8.设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆的半分别为1和，二面角的平面角为，则球O的表面积为（ ）A. B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是（ ）
4、A.函数是圆O的一个太极函数B.圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C.函数是圆O的一个太极函数D.函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件10.已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则（ ）A.这次考试标准分超过180分的约有450人B.这次考试标准分在内的人数约为997C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为D.参考数据：；11.已知双曲线C：（）的焦点与抛物线的焦点之间的距离为且C的离心率为3，则（ ）A.C的渐近线方程为B.C的标准方程为C.C的顶点到渐近线的
5、距离为D曲线经过C的一个焦点12.已知函数（）在处取得最大值，且最小正周期为2，则（ ）A.函数是奇函数B.函数是偶函数C.函数在上单调递增D.函数是周期函数第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则的值为_.14.已知向量、的夹角为，且，则_，在方向上的投影等于_.15.在直角梯形中，若将直角梯形绕边旋转一周，则所得几何体的表面积为_.16.已知是定义在R上的奇函数，是的导函数，当时，则不等式的解集为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题10分）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20公里/小时，送快件到C处
6、，已知（公里），是等腰三角形，.（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？参考值：， .18.（本题12分）已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：.19.（本题12分）某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间岁之间，对区间岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分
7、组人数第一组2第二组a第三组5第四组4第五组3第六组2（1）求a的值并画出频率分布直方图；（2）从被调查的20人且年龄在岁中的投资者中随机抽取3人调查对其P2P理财观念的看法活动，记这3人中来自于区间岁年龄段的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.20.（本题12分）在四棱锥中，底面是一直角梯形，,，底面.（1）在线段上是否存在一点F，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；（2）在（1）的条件下，若与所成的角为，求二面角的余弦值.21.（本题12分）已知椭圆C:（）的离心率为，且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上.（1）求椭圆C的方程；（2）设P，M、N是椭圆C上关于x轴
8、对称的任意两点，连接交椭圆C于另一点E，求直线的斜率取值范围，并证明直线与x轴相交于定点.22.（本题12分）设函数.（1）当时，求的最大值；（2）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；（3）当，方程有唯一实数解，求正数m的值.海南中学2020届高三第九次月考参考答案一、单项选择题CAAB BDCA二、多项选择题9.AC10.BC11.ABD12.BCD三、填空题13.14.，115.16.四、解答题17.解：（1）在中，由，得，2分于是，由可知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处.5分（2）在中，由，得，7分在中，由，得，9分由可知，汽车能先到达C处.10分1
9、8.（1）解：依题意可知，当时，当时，也符合上式，；4分（2）证明：，原不等式成立12分19.解：（1），2分直方图中小矩形的高度依次为，其频率分布直方图如图.（2）因为区间岁年龄段的“投资者”有2名，区间岁年龄段“投资者”有4名，则易知X所有可能取值是1，2，3.7分则；.10分故随机变量X的分布为11分123故随机变量X的数学期望为.12分20.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D，C，设，则P，假设存在点F，使平面，F，设平面的一个法向量为，则，取，则，要使平面，则，即，所以.6分（2），因为与所成的角为，所以，则由（1）知平面的一个法向量为，又平面，则平面，所以，取平面的一个法向
10、量，则所以二面角的余弦值为 12分21.解：（1）设点O关于直线的对称点为，则，解得，依题意，得，椭圆C的方程是；4分（2）设直线的方程为，且，则，由，消去y得，解得，且，直线的斜率取值范围是；，直线的方程为，令，解得，直线与x轴交于定点.12分22.解：（1）依题意，知的定义域为，当时，令，解得.当时，此时单调递增；当时，此时单调递减，所以，当时，取得极大值，此即为的最大值.4分（2），则有，在上恒成立，所以，当时，取得最大值，所以.8分（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令，即.因为，所以（舍去），当时，在上单调递减，当时，在单调递增，当时，取最小值.则，即，所以，因为，所以设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.因为，所以方程的解为，即，解得.12分