1、提能专训(九)三角恒等变换与解三角形一、选择题1(2014皖南八校联考)sin 2，0，则cos的值为()A. B C. D答案C解析因为sin 2cos2cos21，所以cos，因为sin 2，所以cos，因为0，所以，所以cos，故选C.2(2014温州十校联考)若sin cos (0)，则tan ()A B. C D.答案C解析由sin cos (00，|sin |cos |，即|tan |1，故tan ，故选C.3(2014大连双基测试)在斜三角形ABC中，“AB”是“|tan A|tan B|”的()A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案A解析在
2、斜三角形ABC中，|tan A|tan B|sin Acos B|cos Asin B|(sin Acos B)2(cos Asin B)20(sin Acos Bcos Asin B)(sin Acos Bcos Asin B)0sin(AB)sin(AB)0sin Csin(AB)0sin(AB)0；又AB00ABB.因此，在斜三角形ABC中，“AB”是“|tan A|tan B|”的充分必要条件，故选A.4(2014辽宁五校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示ABC的面积，若acos Bbcos Acsin C，S(b2c2a2)，则角B等于()A90 B60
3、C45 D30答案C解析由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos Asin Csin C，即sin(BA)sin Csin C，因为sin(BA)sin C，所以sin C1，C90.根据三角形面积公式和余弦定理，得Sbcsin A，b2c2a22bccos A，代入已知得bcsin A2bccos A，所以tan A1，A45，因此B45，故选C.5(2014昆明调研)已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A，b2acos B，c1，则ABC的面积等于()A. B. C. D.答案B解析由正弦定理，得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2si
4、n，又B(0，)，所以B，又AB，则ABC是正三角形，所以SABCbcsin A11，故选B.6(2014合肥质检)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2c2bc.若a，S为ABC的面积，则S3cos Bcos C的最大值为()A3 B. C2 D.答案A解析由cos AA，又a，故Sbcsin Aasin C3sin Bsin C，因此S3cos Bcos C3sin Bsin C3cos Bcos C3cos(BC)，于是当BC时取得最大值3，故选A.7若sin ，cos 是方程4x22mxm0的两个根，则m的值为()A1 B1 C1 D1答案B解析由题意，得sin
5、cos ，sin cos ，又(sin cos )212sin cos ，1，解得m1，又4m216m0，解得m0或m4，m1，故选B.8(2014河北衡水中学五调)已知sinsin ，0，则cos等于()A B C. D.答案C解析sinsin ，0，sin cos ，sin cos .coscos cossin sincos sin ，故选C.9(2014东北四市二联)ABC中角A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足1，则角A的范围是()A. B. C. D.答案A解析由1，得b(ab)c(ac)(ac)(ab)，化简得b2c2a2bc，即，即cos A(0A)，所以0A，故选A.10如
6、图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA，OB，再修建一长度为AB的围栏，围栏的造价与AB的长度成正比现已知墙角AOB的度数为120，当AOB的面积为时，就可起到保护作用则当围栏的造价最低时，ABO()A30 B45C60 D90答案A解析只要AB的长度最小，围栏的造价就最低设OAa，OBb，则由余弦定理，得AB2a2b22abcos 120a2b2ab2abab3ab(当且仅当ab时取等号)，又SAOBabsin 120，所以ab4.故AB212，即AB的最小值为2.由ab及3ab12，得ab2.由正弦定理，得sin ABO.故ABO30，故选A.11(2014德阳二诊)已知A
7、BC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为()A. B. C. D.答案A解析依题意，不妨设三边长am1，bm，cm1，其中m2，mN，则有C2A，sin Csin 2A2sin Acos A，c2a，bc2a(b2c2a2)，m(m1)2(m1)(m24m)，由此解得m5，因此cos A，故选A.12(2014石家庄一模)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin Aacos C，则sin Asin B的最大值是()A1 B. C3 D.答案D解析csin Aacos C，sin Csin Asin Acos C，sin A0，
8、tan C，0C，C，sin Asin Bsin Asinsin Acos Asin，0A，A，sin，sin Asin B的最大值为，故选D.二、填空题13(2014广州综合测试一)设为锐角，若cos，则sin_.答案解析由于为锐角，则0，则0，所以sin，所以sinsinsincoscossin.14(2014潍坊一模)若，则的最大值为_答案解析，tan (0，)，当且仅当tan ，即tan 2时取等号15(2014贵阳适应性考试)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0，则A_.答案解析由题意，得sin Acos Csin Asin Csin B
9、sin C，sin Acos Csin Asin Csin(AC)sin C，sin Acos Csin Asin Csin Acos Ccos Asin Csin C.sin C0，sin Acos A1，即sin Acos A，sin，A，A.16(2014云南第一次检测)已知a，b，c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，若cos B，a10，ABC的面积为42，则b的值等于_答案16解析依题，可得sin B，又SABCacsin B42，则c14.故b6，所以bb16.三、解答题17(2014江南十校联考)已知函数f(x)sin xcos x(0，0)的部分图象如图所示，其中点A为最高
10、点，点B，C为图象与x轴的交点，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bc，且满足(2ca)cos Bbcos A0.(1)求ABC的面积；(2)求函数f(x)的单调递增区间解：(1)由(2ca)cos Bbcos A0，得B.在ABC中，BC边上的高hcsin B，BC2ccos B3，故SABCBCh.(2)f(x)sin xcos xsin，又T2BC6，则，故f(x)sin由2k2k(kZ)，可得6kx6k(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)18(2014四川5月高考热身)已知向量m(sin x，1)，n(cos x，cos2x)，函数f(x)mn.(1)若x，f
11、(x)，求cos 2x的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcos A2ca，求f(B)的取值范围解：(1)f(x)mnsin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.x，2x.又f(x)sin0，cos.cos 2xcoscossin.(2)由2bcos A2ca，得2b2ca，即a2c2b2ac.cos B，0B，从而得0)的相邻两个极值的横坐标分别为x0，x0，求f(x)的单调递减区间解：(1)因为m(ab，c)，n(ab，c)，mn(2)ab，所以a2b2c2ab，故cos C，0C，C.(2)f(x)2sin(AB)cos2(x)cos(AB)sin(2x)2sin Ccos2(x)cos Csin(2x)cos2(x)sin(2x)sin因为相邻两个极值的横坐标分别为x0，x0，所以f(x)的最小正周期为T，1，所以f(x)sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，所以f(x)的单调递减区间为k，k，kZ.