1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第3课时 导数的应用（二）极值与最值 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范围第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意极值与最值也是高考中的重中之重，每年必考，并且考查形式多样第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）函数的极值(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)
2、的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值第7页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果x 0，xx0有f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果xx0有f(x)x0有f(x)0，那么f(x0)是极小值第8页高考调研 高三总复习 数学（理）求可导函数f(x)极值的步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处
3、取得极小值第9页高考调研 高三总复习 数学（理）函数的最值的概念设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，函数f(x)在a，b上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数yf(x)的最大(最小)值第10页高考调研 高三总复习 数学（理）求函数最值的步骤设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最值，可分两步进行：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值第11页高考调研 高三总复习 数学（理）1判断下列说法是否正确(打“”或“”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯
4、一的(2)函数的极大值不一定比极小值大(3)导数等于0的点一定是函数的极值点(4)若x0是函数yf(x)的极值点，则一定有f(x0)0.(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值(6)函数f(x)xsinx有无数个极值点第12页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)第13页高考调研 高三总复习 数学（理）2(课本习题改编)函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1 Bx1Cx1或1或0 Dx0第14页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 f(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得 x0或x1或x1.又当
5、x1时，f(x)0，当1x0，当0 x1时，f(x)1时，f(x)0，x0，1，1都是f(x)的极值点第15页高考调研 高三总复习 数学（理）3(2016河北辛集中学月考)连续函数f(x)的导函数为f(x)，若(x1)f(x)0，则下列结论中正确的是()Ax1一定是函数f(x)的极大值点Bx1一定是函数f(x)的极小值点Cx1不是函数f(x)的极值点Dx1不一定是函数f(x)的极值点第16页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 x1时，f(x)0，x1时，f(x)0)，所以f(x)2x2ax 2（x2a）x.(1)当a0，且x2a0，所以f(x)0对x0恒成立所以f(x)在(0，)上单
6、调递增，f(x)无极值 第23页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)当a0时，令f(x)0，解得x1 a，x2 a(舍去)所以当x0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，)f(x)0F(x)递减极小值递增 所以当xa 时，f(x)取得极小值，且f(a)(a)212aln aa1alna.综上，当a0时，函数f(x)在x a处取得极小值a1alna.第24页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】a0时极小值为a1alna第25页高考调研 高三总复习 数学（理）探究1 掌握可导函数求极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根
7、和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；(4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少，f(x)0是函数有极值的必要条件第26页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题1(2015安徽)已知函数f(x)ax（xr）2(a0，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若ar400，求f(x)在(0，)内的极值第27页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)ax（xr）2axx22rxr2，f(x)a（x22rxr2
8、）ax（2x2r）（x22rxr2）2 a（rx）（xr）（xr）4，所以当xr时，f(x)0，当rx0，因此f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)，f(x)的单调递增区间为(r，r)第28页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)由(1)知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减，因此xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)ar（2r）2 a4r4004 100.【答案】(1)定义域为(，r)(r，)，减区间为(，r)，(r，)，增区间为(r，r)(2)极大值为100第29页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 利用极值求参数值例2(2
9、016河北辛集中学模拟)已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围第30页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)f(x)3x23a3(x2a)，当 a0，所以 f(x)的单调递增区间为(，)；当 a0 时，由 f(x)0，解得 x a，由 f(x)0，解得 ax0 时，f(x)的单调递增区间为(，a，a，)，f(x)的单调递减区间为 a，a 第31页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)3(1)23a0，则a1，所以f(x)x33x
10、1，f(x)3x23.由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图像有三个不同的交点，又f(3)190，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3，1)第32页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)a0时，增区间为(，a，a，)，减区间为a，a(2)(3，1)第33页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2 已知极值求参数值或范围时，关键是利用单调性判断出哪个是极大值点，哪个是极小值点第34页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题2(1)若函数f(x)x33xa有3
11、 个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(2，2)B2，2C(，1)D(1，)第35页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】f(x)3x23，令 f(x)0，x1.三次方程f(x)0 有 3 个根f(x)极大值0 且 f(x)极小值0，f（1）a20，2a0，当 x(1，a)时，f(x)0，所以函数 f(x)在 xa 处取得极小值；若1a0，当 x(a，)时，f(x)0，所以函数 f(x)在 xa 处取得极大值；若 a1，当 x(，a)时，f(x)0，所以函数 f(x)在 xa 处取得极小值综上所述，a(1，0)【答案】(1，0)第38页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 利用导数求函
12、数的最值例3 已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间(2)若f(x)在区间上2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值第39页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)因为f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，所以f(2)f(2)因为在(1，3)上f(x)0，所以f(x)在1，2上单调递增，第40页高考调研 高三总复习 数学（理）又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值 于是有22a2
13、0，解得a2 故f(x)x33x29x2.因此f(1)13927，即f(x)函数在区间2，2上的最小值为7.第41页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)减区间为(，1)，(3，)(2)7第42页高考调研 高三总复习 数学（理）探究3(1)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得(2)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值第43页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题3 已知函数f(x)xlnx.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函数g(x)在区间1，e
14、上的最小值(其中e为自然对数的底数)第44页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)f(x)lnx1，x0，由f(x)0，得x1e.所以f(x)在区间(0，1e)上单调递减，在区间(1e，)上单调递增 所以，x1e是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在 第45页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)g(x)xlnxa(x1)，则g(x)lnx1a，由g(x)0，得xea1.所以，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数 当ea11，即a1时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以g(x)的最小值为g(1)0.第46页高考调研 高三总复习 数
15、学（理）当 1ea1e，即 1a2 时，g(x)的最小值为 g(ea1)aea1.当 ea1e，即 a2 时，在区间1，e上，g(x)为递减函数，所以 g(x)的最小值为 g(e)aeae.综上，当 a1 时，g(x)的最小值为 0；当 1a2 时，g(x)的最小值为 aea1；当 a2 时，g(x)的最小值为 aeae.第47页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)极小值点x1e，(2)a1时，g(x)min0，1a2时，g(x)minaea1，a2时，g(x)minaeae第48页高考调研 高三总复习 数学（理）题型四 利用最值求参数值例4 设a(23，1)，f(x)x332ax2
16、b，x1，1的最大值为1，最小值为 62，求f(x)第49页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】f(x)3x23ax3x(xa)，由f(x)0，即3x(xa)0，得x0或a，因为a(23，1)，所以列表如下：x(1，0)0(0，a)a(a，1)f(x)00f(x)极大值 极小值 f(0)b，又f(1)132ab1，即a1，这与已知矛盾，若x1时，f(x)有最小值，则62 f(1)32 a.a63(23，1)，第51页高考调研 高三总复习 数学（理）此时f(a)112a31 69 0，因为f(1)62 00时，如下表：x(1，0)0(0，2)f(x)0f(x)极大值 当x0时，f(x)取得最
17、大值，f(0)3，b3.又f(1)7a3f(2)16a3，最小值f(2)16a329，a2.第55页高考调研 高三总复习 数学（理）当a0时，如下表：x(1，0)0(0，2)f(x)0f(x)极小值 当x0时，f(x)取得最小值，b29.又f(1)7a29f(2)16a29，最大值f(2)16a293，a2.综上，a2，b3或a2，b29.第56页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】a2，b3或a2，b29.第57页高考调研 高三总复习 数学（理）1函数的最值是整个定义域上的问题，而函数的极值只是定义域的局部问题 2f(x0)0是f(x)在xx0处取得极值的必要非充分条件，因为求函数的极值
18、，还必须判断x0两侧的f(x)的符号是否相反 3求f(x)的最值应注意在闭区间上研究，还是在开区间上研究，若闭区间上最值问题只需比较端点值与极值即可，若开区间上最值问题，注意考查f(x)的有界性.第58页高考调研 高三总复习 数学（理）自 助 餐 第59页高考调研 高三总复习 数学（理）1(2013课标全国)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)上单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0第60页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 x0是f(x)
19、的极小值点，则yf(x)的图像大致如右图所示，则在(，x0)上不单调，故C不正确第61页高考调研 高三总复习 数学（理）2设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点第62页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 f(x)(x1)ex，当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以x1为f(x)的极小值点，故选D.第63页高考调研 高三总复习 数学（理）3函数yax3bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则()Aa2b0 B2ab0C2ab0 Da2b0第64页高考调研 高三总复习 数学（理）答
20、案 D解析 y3ax22bx，据题意，0，13 是方程3ax22bx0的两根，2b3a13，a2b0.第65页高考调研 高三总复习 数学（理）4设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)第66页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析(1)当x0.(1x)f(x)0，f(x)0，即f(x)在(，2)上是增
21、函数(2)当2x0.(1x)f(x)0，f(x)0，即f(x)在(2，1)上是减函数 第67页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)当1x2时，1x0，f(x)2时，1x0.(1x)f(x)0，即f(x)在(2，)上是增函数 综上，f(2)是极大值，f(2)是极小值第68页高考调研 高三总复习 数学（理）5若函数f(x)ax33x1对于x1，1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围为()A2，)B4，)C4 D2，4第69页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 f(x)3ax23，当a0时，f(x)minf(1)a20，a2，不合题意；当01时，f(1)a40，且f(1a)2a10，解
22、得a4.综上所述，a4.第70页高考调研 高三总复习 数学（理）6(2015新课标全国)已知f(x)lnxa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围第71页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)当 a0 时，在(0，)上递增；当 a0 时，在(0，1a)上递增，在(1a，)上递减(2)(0，1)第72页高考调研 高三总复习 数学（理）思路(1)由f(x)1xa，可分a0，a0两种情况来讨论；(2)由(1)知当a0时f(x)在(0，)无最大值，当a0时f(x)最大值为f1a lnaa1.因此f1a 2a2lnaa10.令g(a)lnaa1，则g(a)在(0，)是增函数，当0a1时，g(a)1时，g(a)0，因此a的取值范围是(0，1)第73页高考调研 高三总复习 数学（理）解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa，若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)是单调递增；若a0，则当x 0，1a 时，f(x)0，当x 1a，时，f(x)0时，f(x)在x1a取得最大值，最大值为f1a ln1a a11a lnaa1.因此f 1a 2a2lnaa10.令g(a)lnaa1，则g(a)在(0，)是增函数，g(1)0，于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0，因此a的取值范围是(0，1)请做：题组层级快练（十六）