1、课时训练(二十四)矩形、菱形(限时:45分钟)|夯实基础|1.2019大庆下列说法中不正确的是()A.四边相等的四边形是菱形B.对角线垂直的平行四边形是菱形C.菱形的对角线互相垂直且相等D.菱形的邻边相等2.2019河北 如图K24-1,菱形ABCD中,D=150,则1=()图K24-1A.30B.25C.20D.153.2019赤峰 如图K24-2,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是()图K24-2A.2.5B.3C.4D.54.2019泸州 一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之和为()A.8B.12C.16D.325.
2、2019临沂 如图K24-3,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上的两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是()图K24-3A.OM=12ACB.MB=MOC.BDACD.AMB=CND6.2019广州 如图K24-4,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为()图K24-4A.45B.43C.10D.87.2019深圳 如图K24-5,已知菱形ABCD的边长为4,BAD=120,E,F分别为AB,AD上的点,且BE=AF,EF与AC交于点G则下列结论正确的个数是()BECA
3、FC;ECF为等边三角形;AGE=AFC;若AF=1,则FGEG=13.图K24-5A.1B.2C.3D.48.2019徐州 如图K24-6,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为.图K24-69.2019仙桃 矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是.10.2019潍坊 如图K24-7,在矩形ABCD中,AD=2.将A向内翻折,点A落在BC上,记为A,折痕为DE.若将B沿EA向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B,则AB=.图K24-711.2019北京 在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).
4、对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;存在无数个四边形MNPQ是矩形;存在无数个四边形MNPQ是菱形;至少存在一个四边形MNPQ是正方形.所有正确结论的序号是.12.2019聊城 在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得AED=ABC,ABF=BPF.求证:(1)ABFDAE;(2)DE=BF+EF.图K24-813.2019青岛 如图K24-9,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.(1)求证:ABECDF.(2)当AB与AC满足
5、什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.图K24-914.2019贺州 如图K24-10,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF.(1)求证:ABECDF;(2)当ACEF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.图K24-10|拓展提升|15.2019河南 如图K24-11,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=35a.连接AE,将ABE沿AE折叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为.图K24-1116.2019梧州 如图K24-12,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到
6、菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是.图K24-1217.2019桂林 如图K24-13,在矩形ABCD中,AB=3,AD=3,点P是AD边上的一个动点,连接BP,作点A关于直线BP的对称点A1,连接A1C,设A1C的中点为Q,若点P从点A出发,沿边AD运动到点D时停止运动,则点Q的运动路径长为.图K24-13【参考答案】1.C2.D3.A解析四边形ABCD为菱形,CD=BC=204=5,且O为BD的中点,E为CD的中点,OE为BCD的中位线,OE=12CB=2.5,故选:A.4.C解析如图所示.四边形ABCD是菱形,AO=CO=12AC,DO=BO=12BD,ACBD
7、,菱形的面积为28,12ACBD=2ODAO=28,菱形的边长为6,OD2+OA2=36,由两式可得:(OD+AO)2=OD2+OA2+2ODAO=36+28=64.OD+AO=8(负值舍去),2(OD+AO)=16,即该菱形的两条对角线的长度之和为16.故选:C.5.A解析添加OM=12AC.四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,OB-BM=OD-DN,即OM=ON,四边形AMCN是平行四边形,OM=12AC,MN=AC,四边形AMCN是矩形,故选A.6.A解析连接AE,如图:EF是AC的垂直平分线,OA=OC,AE=CE,四边形ABCD
8、是矩形,B=90,ADBC,OAF=OCE,在AOF和COE中,AOF=COE,OA=OC,OAF=OCE,AOFCOE(ASA),AF=CE=5,AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,AB=AE2-BE2=52-32=4,AC=AB2+BC2=42+82=45.故选:A.7.D解析四边形ABCD是菱形,BAD=120,B=BAC=60,AC=BC,又BE=AF,BECAFC,故正确;BECAFC,FC=EC,FCA=ECB,ECF=ACB=60,ECF为等边三角形,故正确;AGE=180-BAC-AEG,AEG=ACF(易求),AFC=180-FAC-ACF,AGE=AFC,故正确;
9、AF=1=BE,AE=3,易得CFGCBE,GFBE=CFBC,又CEGCAE,EGAE=CEAC,CE=CF,AC=BC,GFBE=EGAE,GFEG=BEAE=13,故正确.故选D.8.16解析四边形ABCD是矩形,OA=OB=OC=OD,M,N分别为BC,OC的中点,OB=2MN=24=8,AC=2OB=16.9.100解析设矩形的一边长为x,则相邻的另一边长为20-x,矩形的面积为y,y=x(20-x)=-x2+20x=-(x-10)2+100,即当x=10时,y有最大值,为100,因此本题填100.10.3解析由翻折可得AED=AED=AEB=60,ADE=ADE=ADC=30.DA
10、平分EDC,ABDE,ACDC,AC=AB.AB=AB,AC=AB,BC=AD=2,AC=1.在RtADC中,tan30=ACDC=33,DC=3.AB=3.11.解析 如图,四边形ABCD是矩形,连接AC,BD交于O,过点O的直线MP和QN,分别交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,则四边形MNPQ是平行四边形,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形,故正确;如图,当PM=QN时,四边形MNPQ是矩形,存在无数个四边形MNPQ是矩形;故正确;如图,当PMQN时,存在无数个四边形MNPQ是菱形;故正确;当四边形MNPQ是正方形时,MQ=PQ,则AMQDQP,AM=QD,AQ=PD,易知PDQ
11、MBN,PD=BM,AB=AD,四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾,故错误.填.12.证明:(1)四边形ABCD是菱形,AB=AD,ADBC,BPA=DAE.在ABP和DAE中,又ABC=AED,BAF=ADE.ABF=BPF,BPA=DAE,ABF=DAE,又AB=DA,ABFDAE(ASA).(2)ABFDAE,AE=BF,DE=AF.AF=AE+EF=BF+EF,DE=BF+EF.13.解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABCD,OB=OD,OA=OC,ABE=CDF.点E,F分别为OB,OD的中点,BE=12OB,DF=12OD,BE=DF,在ABE和C
12、DF中,AB=CD,ABE=CDF,BE=DF,ABECDF(SAS).(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:AC=2OA,AC=2AB,AB=OA.E是OB的中点,AGOB,OEG=90,同理:CFOD,AGCF,EGCF,EG=AE,OA=OC,OE是ACG的中位线,OECG,EFCG,四边形EGCF是平行四边形,OEG=90,四边形EGCF是矩形.14.解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,B=D=90,AB=CD,在RtABE和RtCDF中,AE=CF,AB=CD,RtABERtCDF(HL).(2)当ACEF时,四边形AECF是菱形,理由如下:ABECDF,BE=D
13、F,BC=AD,CE=AF,CEAF,四边形AECF是平行四边形,又ACEF,四边形AECF是菱形.15.53或53解析 由折叠可得,AB=AB,B=B=90,BE=BE.由题意可得,点B的位置有以下两种情况:当点B落在矩形的边AD上时,则四边形ABEB为正方形,所以BE=AB=1,则35a=1,所以a=53;当点B落在边CD上时,则由已知可得BE=EB=35a,EC=25a,所以ECEB=23.易得,BDAECB,所以DBAB=ECEB=23,则DB=23.在RtADB中,由勾股定理可得AD=53,则a=53.综上所述,a的值为53或53.16.3-1解析连接BD交AC于O,如图所示.四边形
14、ABCD是菱形,CD=AB=2,BCD=BAD=60,ACD=BAC=12BAD=30,OA=OC,ACBD,OB=12AB=1,OA=3OB=3,AC=23.由旋转的性质得:AE=AB=2,EAG=BAD=60,CE=AC-AE=23-2,四边形AEFG是菱形,EFAG,CEP=EAG=60,CEP+ACD=90,CPE=90,PE=12CE=3-1,PC=3PE=3-3,DP=CD-PC=2-(3-3)=3-1.故答案为3-1.17.33解析如图,连接BA1,取BC的中点O,连接OQ,BD.四边形ABCD是矩形,BAD=90,tanABD=ADAB=3,ABD=60,A1Q=QC,BO=OC,OQ=12BA1=12AB=32,点Q的运动轨迹是以O为圆心,OQ为半径的圆弧,圆心角为120,点Q的运动路径长=12032180=33.故答案为33.