1、高三数学一、选择题: 本题共8小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 已知复数, 则A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足,则在上的投影向量的坐标为A. B. C. D. 4. 在中,“ ”是“为钝角三角形”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知等比数列的各项均为正数,且,则的最大值为A. 9B. 8C. 3D. 276. 已知双曲线的左、右焦点分别为,过作直线与的左、右两支分别交于两点,且是以为顶角的等腰直角三角形,若的离心率为,则A.
2、 B. C. D. 7. 某商场去年一年中各月份的收人、支出情况如图所示, 则A. 月支出最大值与支出最小值的比是 8:1B. 4月至6月份的月平均收人为50万元C. 利润最高的月份是2月份D. 2月至3月份的收入的变化率与11月至12月份的收入的变化率相同8. 若不等式对恒成立,其中,则的最大值为A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。9. 在长方体中,则A. 平面平面B. 直线与所成的角为D. 直线与所成的角为10. 已知函数,则A. 的
3、图象关于点对称B. 的图象关于直线对称C. 是奇函数D. 有4个零点11. 某不透明的袋子中装有5个质地、大小均相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回的随机取两次，每次取1个球，事件=“第一次取出的球的数字是1”，事件=“第二次取出的球的数字是2”，事件=“两次取出的球的数字之和是7”，事件=“两次取出的球的数字之和是6”，则A. 与相互独立B. 与相互独立C. 与相互独立D. 与相互独立12. 已知抛物线的焦点为,过的直线与抛物线相交于两点,分别过两点 作的切线,且相交于点,则A. B. 点在直线上C. 为直角三角形D. 面积的最小值为 16三、填空题: 本题共4小题,每小题5
4、分,共20分。13. 已知圆,则过原点且与相切的直线方程为_.14. 五位同学站成一排合影,张三站在最右边,李四、王五相邻,则不同的站法种数为_.15. 在三棱锥中,三条棱两两垂直,且,则平面截该三棱锥的外接球所得截面圆的面积为_.16. 已知是定义域为的函数,为奇函数,为偶函数,则_.四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (本小题满分 10 分)已知等差数列的前项的和为.(1) 求的通项公式;(2)求数列的前项和.并证明.18. (本小题满分 12 分)已知的角的对边分别为 ,且, (1)求角;(2)若平分交线段于点,且,求的周长.19.
5、 (本小题满分 12 分) 某校为了缓解高三学子复习压力，举行“趣味数学”闯关活动，规定每人从10道题中至少随机抽3道回答，至少答对 2题即可闯过第一关, 某班有5位同学参加闯关活动, 假设每位同学都能答对10道題中的6道题,且每位同学能否闯过第一关相互独立.(1)求同学闯过第一关的概率;(2)求这5位同学闯过第一关的人数的分布列和数学期望.20. (本小题满分 12 分)如图 1,四边形是梯形,是的中点,将沿折起至,如图 2,点在线段上.(1) 若是的中点,求证:平面平面;(2)若, 平面与平面夹角的余弦值为,求.21. (本小题满分 12 分)已知,直线的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.(
6、1) 求的方程;(2) 直线与曲线交于两点,为坐标原点,若直线的斜率之积为, 证明: 的面积为定值.22. (本小题满分 12 分)已知函数.(1) 当时,求的单调区间;(2) 当时,恒成立,求实数的取值范围.高三数学参考答案题号123456789101112答案BABCDCDAABBDBCBCD13.或14. 1215.16. 017. 解: (1)设 的公差为,由题意得 解得所以.(2) 令，则所以18. （1）由余弦定理得所以可化为再由正弦定理,得,所以.因为, 所以(2) 因为平分,所以.由,得.作于,则.由解得由余弦定理,得,所以故的周长为19. 解: (1)同学闯过第一关的情况有答
7、对2题和答对3题,故同学闯过第一关的概率 (2) 由题意可知的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,且服从二项分布,即.,故的分布列为所以或.20. (1) 证明: 取中点,连接,易证平面,所以.又因为,所以,而,所以平面,又平面, 所以平面平面.(2) 解: 易求得, 又, 所以, 可得,而.以为坐标原点, 分别以所在直线为轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则.设,则,得,所以.设平面的一个法向量为,由令,则;易得平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为,则,即,解得,或(舍去).所以.21. (1) 解:设,则直线的斜率,直线的斜率 .由题意,化简得 .(2) 证明: 当直线的斜率存在时
8、,可设其方程为,联立化简得设,则,所以 化简得则,又到的距离,所以,为定值.当直线的斜率不存在时,可设 ,则,且,解得,此时.综上,的面积为定值.22. 解: (1)当时,其定义域为,令,得或;令,得.所以的单调递增区间为和;单调递减区间为(2),令,则当时,恒成立. 若,则在上恒成立,在上单调递增,所以当时,恒成立,所以符合题意. 若,由,得或;由,得,所以的单调递增区间为和的单调递减区间为.(i) 当,即时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以对,要使恒成立,只需而成立,所以符合题意;(ii) 当,即时,则在上单调递减,在上单调递增.所以对,要使恒成立,只需即可,而成立, 所以符合题意;(iii) 当,即时,在上单调递增,所以对,要使恒成立恒成立,只需,可见,符合题意.综上,实数的取值范围是学科网（北京）股份有限公司
