1、江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（24）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1与=（1，2）共线的单位向量为_2设奇函数f（x）在（0，+）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是_3已知1x+y4且2xy3，则z=2x3y的取值范围是_（答案用区间表示）4设（，2），若，则的值为_5已知函数f（x）=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是_6已知等比数列an满足an0，n=1，2，且a5a2n5=22n（n3），则当n1时，log2a1+log2a3+log2a2n1=_7已知两个等差数列an、bn的前n项和分别为An和Bn，若，则使为整数的正整数的
2、个数是_8已知=（，2），=（3，2），如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_9在等比数列an中，若a1=，a4=4，则|a1|+|a2|+|a6|=_10在ABC所在的平面上有一点P，满足+=，则=_11如图，已知C为OAB边AB上一点，且=2，=m+n（m，nR），则mn=_12等比数列an中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（xa1）（xa2）（xa8），则f（0）=_13设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为_14定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x2）的图象关于（2，0）成中心对称，设s，t满足不等式f（s24s）f（4tt2），若2s2时，则3t+
3、s的范围是_二、解答题（共2小题，满分0分）15已知ABC中，记（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6mf（x）+1，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由16设数列an是首项为4，公差为1的等差数列；Sn为数列bn的前n项和，且Sn=n2+2n（1）求an及bn的通项公式an和bn；（2）f（n）=问是否存在kN+使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数n，不等式 0恒成立，求正数a的取值范围江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（24）一、填空题（共14小
4、题，每小题3分，满分42分）1与=（1，2）共线的单位向量为（，）考点：单位向量 专题：平面向量及应用分析：利用单位向量的定义写出与共线的单位向量并化简解答：解：与=（1，2）共线的单位向量为=（，）故答案为：（，）点评：本题考查了单位向量的概念与应用的问题，解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简2设奇函数f（x）在（0，+）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是（1，0）（0，1）考点：其他不等式的解法 专题：计算题；作图题；数形结合分析：由函数f（x）是奇函数，将原等式转化为f（x）x0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解解答：解：函
5、数f（x）是奇函数f（x）=f（x）不等式可转化为：f（x）x0根据条件可作一函数图象：不等式的解集是（1，0）（0，1）故答案为：（1，0）（0，1）点评：本题主要考查函数的奇偶性转化不等式及数形结合法解不等式问题3已知1x+y4且2xy3，则z=2x3y的取值范围是（3，8）（答案用区间表示）考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；压轴题；数形结合分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围解答：解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x3y，当直
6、线经过xy=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2331=3；当直线经过x+y=1与xy=3的交点B（1，2）时，目标函数有最大值z=21+32=8z=2x3y的取值范围是（3，8）故答案为：（3，8）点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解4设（，2），若，则的值为考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数 专题：三角函数的求值分析：利用两角和差的正切公式求得t
7、an=58，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2 和 cos2 的值，再由 =coscos2+sinsin2，运算求得结果解答：解：=，tan=58再由sin2=，cos2=，可得 =coscos2+sinsin2=，故答案为 点评：本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题5已知函数f（x）=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的单调性与特殊点 专题：计算题分析：此题可以采用补集思想，先求出f（x）在R上是单调函数时的范围，取其补集即可解答：解：当函数f（x）在R上为减函数时，有
8、3a10且0a1且（3a1）1+4aloga1解得当函数f（x）在R上为增函数时，有3a10且a1且（3a1）1+4aloga1解得a无解当函数f（x）在R上为单调函数时，有当函数f（x）在R上不是单调函数时，有a0且a1且a或a即0a或或a1故答案为：（0，）【，1）（1，+）点评：本题考查补集思想和分类讨论思想，对学生有一定的思维要求6已知等比数列an满足an0，n=1，2，且a5a2n5=22n（n3），则当n1时，log2a1+log2a3+log2a2n1=n2考点：等比数列的通项公式；对数的运算性质；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得an=2n，可得数列首项a1=
9、2，公比q=2，进而可得原式=log2，代入由对数的性质化简可得答案解答：解：由等比数列的性质可得=a5a2n5=22n，=（2n）2，an0，an=2n，故数列首项a1=2，公比q=2，故log2a1+log2a3+log2a2n1=log2a1a3a2n1=log2=n2，故答案为：n2点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题7已知两个等差数列an、bn的前n项和分别为An和Bn，若，则使为整数的正整数的个数是5个考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：先将通项之比转化为前n项和之比，进而再用验证法得解解答：解：=7+验证知，当n=1，2，3，5，11时为整数故答案
10、为：5点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式及性质的应用8已知=（，2），=（3，2），如果与的夹角为锐角，则的取值范围是或0且考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由题意可得0，去除向量同向的情形即可解答：解：与的夹角为锐角，=32+40，解得或0，当2=62时两向量共线，解得=0或=，已知当=时，向量同向，不满足题意，的取值范围为：或0且故答案为：或0且点评：本题考查平面向量的数量积与向量的夹角，属基础题9在等比数列an中，若a1=，a4=4，则|a1|+|a2|+|a6|=考点：数列的求和；等比数列的通项公式 专题：计算题分析：根据a1=，a4=4求出公比
11、q然后再根据等比数列的通项公式求出每一项再代入即可求出|a1|+|a2|+|a6|的值解答：解：设等比数列an的公比为qa1=，a4=4=4q=2a2=1，a3=2，a4=4，a5=8，a6=16|a1|+|a2|+|a6|=+1+2+4+8+16=故答案为点评：本题主要考查了数列的求和，属常考题，较易解题的关键是求出等比数列an的公比为q！10在ABC所在的平面上有一点P，满足+=，则=考点：平面向量的基本定理及其意义；三角形的面积公式 专题：平面向量及应用分析：，带入即可得到，所以三点P，A，C共线，所以可画出图形，根据三角形面积公式并结合图形即可求得解答：解：；P，A，C三点共线，如图所
12、示：；故答案为：点评：考查向量的减法运算，共线向量基本定理，以及三角形的面积公式11如图，已知C为OAB边AB上一点，且=2，=m+n（m，nR），则mn=考点：向量的共线定理 专题：计算题；压轴题；待定系数法分析：由题意可得 =+，结合条件可得m=，n=，从而求得结果解答：解：=2，=+再由 可得 m=，n=，故mn=，故答案为：点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，用待定系数法求出m=，n=，是解题的关键12等比数列an中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（xa1）（xa2）（xa8），则f（0）=4096考点：等比数列的通项公式；导数的运算 专题：计算题分析：通过f（
13、0）推出表达式，利用等比数列的性质求出表达式的值即可解答：解：因为函数f（x）=x（xa1）（xa2）（xa8），f（x）=（xa1）（xa2）（xa8）+x（xa1）（xa2）（xa8）则f（0）=a1a2a8=84=4096故答案为：4096点评：本题考查等比数列的性质，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力13设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为7考点：平均值不等式 专题：不等式的解法及应用分析：把式子中的1换成已知条件（x+y）+（y+z）=1，化简后再利用基本不等式即可解答：解：正实数x，y，z满足x+2y+z=1，=1+=7，当且仅当，x+y+y+z=1，即，
14、时，取等号则的最小值为7故答案为7点评：适当变形应用基本不等式是解题的关键14定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x2）的图象关于（2，0）成中心对称，设s，t满足不等式f（s24s）f（4tt2），若2s2时，则3t+s的范围是8，16考点：简单线性规划的应用；奇偶性与单调性的综合 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：先确定y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称，再利用函数是增函数，将不等式f（s24s）f（4tt2），化为具体不等式，利用可行域，即可求得3t+s的范围解答：解：y=f（x2）的图象相当于y=f（x）函数图象向右移了2个单位又由于y=f（
15、x2）图象关于（2，0）点对称，向左移2个单位，即表示y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称所以f（4tt2）=f（t24t）即不等式f（s24s）f（4tt2），等价于f（s24s）f（t24t）因为函数y=f（x）是增函数，所以s24st24t移项得：s24st2+4t0，即：（st）（s+t4）0得：st且s+t4或st且s+t4可行域如图所示，则当s=2，t=2时，3t+s有最小值是62=8当s=2，t=6时，3t+s有最大值是182=16故3t+s范围是8，16故答案为：8，16点评：本题考查函数的性质，考查不等式的化简，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、
16、解答题（共2小题，满分0分）15已知ABC中，记（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6mf（x）+1，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理 专题：计算题分析：（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值解答：解：（1）由正弦定理有：=（2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在
17、实数m符合题意，因为m0时，的值域为（1，m+1又g（x）的值域为，解得；存在实数，使函数f（x）的值域恰为点评：本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键16设数列an是首项为4，公差为1的等差数列；Sn为数列bn的前n项和，且Sn=n2+2n（1）求an及bn的通项公式an和bn；（2）f（n）=问是否存在kN+使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理
18、由；（3）若对任意的正整数n，不等式 0恒成立，求正数a的取值范围考点：数列的求和；数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由等差数列的通项公式能求出an=4+n1=n+3，由，能求出bn=2n+1（2）假设符合条件的k（kN*）存在，由于f（n）=，当k为正奇数时，k+27为正偶数，当k为正偶数时，k+27为正奇数，由此推导出符合条件的正整数k不存在（3）将不等式变形并把an+1=n+4，设g（n）=（1+）（1+）（1+）（1+），由此能求出正数a的取值范围解答：解：（1）数列an是首项为4，公差为1的等差数列，an=4+n1=n+3，Sn为数列bn的前n项和，且Sn=n2
19、+2n，当n=1时，b1=S1=3，当n2时，bn=SnSn1=n2+2n（n1）22（n1）=2n+1，当n=1时，上式成立，bn=2n+1，nN*（2）假设符合条件的k（kN*）存在，由于f（n）=，当k为正奇数时，k+27为正偶数，由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3），2k=43，k=（舍）当k为正偶数时，k+27为正奇数，由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1），即7k=26，k=（舍）因此，符合条件的正整数k不存在（3）将不等式变形并把an+1=n+4，代入得a（1+）（1+）（1+）（1+），设g（n）=（1+）（1+）（1+）（1+），=，又=2n+4，1，即g（n+1）g（n），g（n）随n的增大而增大，g（n）min=g（1）=，0a点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用