1、1.1.1 命题 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系1理解什么是命题，会判断一个命题的真假2分清命题的条件和结论，会判断命题的真假，能将明确给出条件与结论的命题写成“若 p，则q”的形式本节重点：了解命题的定义，会判断命题的真假，正确区分命题的条件与结论本节难点：判定一个句子是不是命题以及命题真假的判断1命题及其概念(1)判断一个语句是不是命题，首先应明确它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”两个条件，只有能判断真假的陈述句才是命题一个命题要么是真的，要么是假的，不能既是真命题又是假命题，也不能模棱两可，无法判断其真假(2)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理
2、，因为命题有真假之分，而定理是真命题2命题的结构形式(1)数学中的命题大多是：“若 p，则 q”的形式，其中 p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论而数学中的有些命题从形式上看，不是“若 p，则 q”的形式，但是将它的表述作适当改变，也可以写成“若 p，则 q”的形式，因此，在研究命题时，不要受其形式的影响(2)“若 p，则 q”形式的命题中，p 和 q 本身也可为一个简单命题(3)并非所有的命题都可写成“若 p，则 q”型，如“13是有理数”，“53”3命题真假的判断(1)一个命题的真假与命题所在环境有关对其进行判断时，要注意命题的前提条件，如“若 ac，bc，则 ab”在平面几何中是真命题，
3、而在立体几何中却是假命题(2)关于“若 p，则 q”型的命题许多命题都可写成“若 p，则 q”的形式其中 p 为条件，q 为结论，p 和 q 本身也可为一个简单命题，这种命题形式明确、简洁，是我们研究命题的主要形式之一很多命题表面上不是“若 p，则 q”型的，但是，可以改写成“若 p，则 q”型，当一个命题改写成“若p 则 q”的形式之后，判断这种命题的真假的办法：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若 p，则 q”是真；确定“若 p，则 q”为假，则只需举一个反例说明即可从集合的观点看，我们建立集合 A、B 与命题中的 p、q之间的一种联系：设集合 Ax|p(x)成立，Bx|q(x)
4、成立，就是说，A 是能使条件 p 成立的全体对象 x 所构成的集合，B 是能使条件 q 成立的全体对象 x 所构成的集合，此时，命题“若 p，则 q”为真，当且仅当 AB 时满足1一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫做命题2判断为真的语句叫_，判断为假的语句叫_3命题常写成“_”的形式，其中命题中的p 叫做命题的_，q 叫做命题的_判断真假真命题假命题若 p，则 q条件结论4下列语句不是命题的是()A地球是太阳系的行星B等腰三角形的两底角相等C今天会下雪吗？D正方形的四个内角均为直角答案 C解析 疑问句不是命题，故选 C.5已知下列语句：一束美丽的花；x3；2是一个偶数；若
5、 x2，则 x25x60.其中是命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案 B解析 不能判断真假，不是命题；含变量 x，无法判定其真假，不是命题；、都是真命题6若下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并判断是真命题还是假命题(1)面积相等的两个三角形全等；(2)实数的平方是非负数解析(1)若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等，是假命题(2)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题例 1 判断下列语句是否是命题，并说明理由(1)求证：3是无理数；(2)x24x40；(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果题目类型一、命题概念的理解分析 由题目可获取以下主要信息：给定一个语句，
6、判定其是否为命题并说明理由解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念解析(1)祈使句，不是命题(2)x24x4(x2)20，它包括 x24x40，或 x24x40，对于 xR，可以判断真假，它是命题(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人点评 判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：(1)必须是陈述语句祈使句、疑问句、感叹句都不是命题(2)其结论可以判定真或假含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题另外，并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)若
7、x2，则 x1；(2)x22x10；(3)存在实数 x，使得不等式 x23x10 成立 解析(1)是命题因为由 x2 不能推出 x1，可以作出判断(2)不是命题因为字母的性质不明确，所以不是命题(3)是命题因为根据不等式的解法我们可以求得不等式x23x11，则方程 x22xm0 无实根；直线 xy0 的倾斜角是4；题目类型二、命题真假的判断若 34，则 sin 22；若 xA，则 x(AB)分析 运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断解析 是真命题；是假命题如 x1 时，log2x20，而 2log2x2log2(1)无意义；是真命题若 m1，则 44mb，则 a2b2；(3)若 x
8、3，则 x2x60；(4)若 a，b 是无理数，则 ab 也是无理数其中的真命题有_个答案 1解析(1)是真命题(2)设 a1b2，ab，但 a23，但 x2x6140，假命题(4)设 a(2)2，b 2，则 ab(2)22 是有理数，假命题.题目类型三、命题结构分析例 3 指出下列命题的条件与结论(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等分析 由题目可获取以下主要信息：给出了命题的一般简略形式找出命题的条件和结论解答本题的关键是正确改变命题的表述形式解析(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”(2)可表述为：“若一个
9、四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”条件为：“一个四边形是正方形”；结论为：“这个四边形的四条边相等”点评 一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变，写成“若 p，则 q”的形式，其中 p 为条件，q 为结论写出下列命题的条件与结论(1)质数是奇数；(2)矩形是两条对角线相等的四边形解析(1)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”条件为：“一个自然数是质数”；结论为：“这个自然数是奇数”(2)可表述为：“若一个四边形是矩形，则它的两条对角线相等”条件为：“若一个四边形是矩形”；结论为：“这个四边形的两条对角线相等”.例 4
10、 将下面的命题写成“若 p，则 q”的形式当 a0 时，函数 yaxb 的值随 x 的增加而增加辨析 原命题有两个条件：a0 和 x 增加，其中 a0是大前提，x 增加是条件正解“若 p，则 q”的形式为：当 a0 时，若 x 的值增加，则函数 yaxb 的值也增加错解“若 p，则 q”的形式为：如果 a0，则函数yaxb 的值随 x 的增加而增加一、选择题1下列命题中，是真命题的是()AxR|x210不是空集BxN|x1|3是无限集C空集是任何集合的真子集Dx25x0 的根是自然数答案 D解析 对选项 A，集合是空集，对选项 B 中的集合为1,0,1,2,3，是有限集，对于 C，空集不是它本身的真子集，对于 D，x25x0 的根为 0 和 5，它们都是自然数，故选 D.2下列语句为命题的是()A对角线相等的四边形BabCx2Dx22x10答案 D解析 对任意 xR，x22x1(x1)20 恒成立，x22x10 是假命题二、填空题3下列命题：方程 x22x0 的根是自然数；0 不是自然数；xN|0 x12是无限集；如果 ab0，那么 a0 或 b0.其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案 解析 由 x22x0 得 x0 或 2，故真；xN|0 xbc2，则 ab.其中真命题的序号是_答案 解析、是真命题；平行四边形不是梯形再 见