1、宁夏银川市第二中学2020届高三数学下学期统练试题（七）文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则集合中的元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】解分式不等式化简集合，即可得答案.【详解】.故选：C.【点睛】本题考查集合的描述法和列举法表示，考查运算求解能力，属于基础题.2.设复数，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法运算化简复数，即可得答案.【详解】，复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数虚部的概念，考查运算求解能力和对概念的理解，属于基础题.3.为了调查不同年龄段女
2、性的平均收入情况，研究人员利用分层抽样的方法随机调查了地岁的名女性，其中地各年龄段的女性比例如图所示.若年龄在岁的女性被抽取了40人，则年龄在岁的女性被抽取的人数为（ ）A. 50B. 10C. 25D. 40【答案】C【解析】【分析】根据比例关系求出的值，再利用比例关系，即可得答案.【详解】年龄在岁的女性被抽取了40人，年龄在岁的女性被抽取的人数为占，人数为（人）.故选：C.【点睛】本题考查统计中对图表数据的处理，考查基本运算求解能力，属于基础题.4.已知双曲线的焦距为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】【分析】对双曲线的焦点位置进行讨论，利用焦距为
3、8，得到关于的方程，在双曲线方程中右边的1为0，即可得答案.【详解】（1）双曲线的焦点在轴上时，双曲线方程为，其渐近线方程为：；（2）双曲线的焦点在轴上时，双曲线方程为，其渐近线方程为：；故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程、焦距的概念、渐近线的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意对焦点的位置的讨论.5.运行如图所示的程序框图，若输出的值为35，则判断框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据程序框图一步一步执行，即可得到答案.【详解】，进入判断框，执行循环体；，进入判断框，执行循环体；，进入判断框，执行循环体；，进入
4、判断框，执行循环体；，进入判断框，终止循环，输出的值；判断框中可以填.故选：B.【点睛】本题考查补全程序框图中的条件，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.6.欧拉三角形定义如下：的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为的欧拉三角形.如图，在中，的垂心为的中点分别为即为的欧拉三角形，则向中随机投掷一点，该点落在内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算三角形阴影部分的面积，再利用几何概型计算概率，即可得答案.【详解】如图所示，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，的方程为，的方程为，当时，得，.故选：D.【点睛】本题考查几何概型的概率求法
5、，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用坐标法进行求解.7.如图，网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据根据几何体的三视图可以还原几何体的直观图为：正方体削去一个三棱柱和一个的圆柱，在计算几何体的表面积，即可得答案.【详解】几何体的上下底面面积为：，几何体的上下底面面积为：，该几何体的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、并进行表面积的求解，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意割补思想的应用.8.某抽奖箱中
6、放有2个红球，2个蓝球，1个黑球，则从该抽奖箱中随机取3个球，有3种颜色的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算该抽奖箱中随机取3个球的等可能结果，同时计算有3种颜色的等可能结果，再利用古典概型的概率计算公式，即可得答案.【详解】从该抽奖箱中随机取3个球共有种等可能结果，有3种颜色共有种等可能结果，.故选：C.【点睛】本题考查古典概型概率计算公式，考查基本运算求解能力，属于基础题.9.已知抛物线的焦点，过点作斜率为1的直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则（ ）A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】B【解析】分析】利用抛物线的弦长公式得，
7、再利用，求出点，进而利用点差法可得关于的方程，解方程即可得到答案.【详解】由题意得直线的倾斜角为，设直线与直线的交点为，则为等腰直角三角形，设，.故选：B.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、点差法的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10.已知函数，则（ ）A. 函数的图像关于对称B. 函数的图像关于对称C. 函数的图像关于对称D. 函数的图像关于对称【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，易得函数过原点，从而根据选项进行一一验证，即可得答案.【详解】函数过点，对A，若函数的图像关于对称，则，显然不成立，故A错误；对B，若函数的图像关于对称，则，
8、显然不成立，故B错误；对D，若函数的图像关于对称，则，显然不成立，故D错误；利用排除法可得C正确；故选：C.【点睛】本题考查函数的对称性应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用排除法进行解题.11.已知函数的部分图像如图所示，其中为图像上两点，将函数图像的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图像得到，在于图像的平移得到，将带入正弦函数的递减区间，即可得答案.【详解】由图像得，图像过点，即，解得：，函数的单调递增区间为.故选：C.【点睛】本题考查
9、三角函数的图像和性质、平移变换、单调区间、诱导公式等知识的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12.已知函数仅有唯一极值点，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】转化为方程在仅有一个变号根，进一步将问题转化为方程在不存在变号根，由得在单调递增，利用导数即可得答案.【详解】，在仅有一个变号根，显然为一个变号根，恒大于等于0或恒小于等于0，当时，在恒成立，在单调递增时，且，在恒成立，故满足题意.当时，在单调递减，在单调递增，且，在恒大于等于0或恒小于等于0均不成立，不合题意；综上所述：.故选：C.【点睛】本题考查导数的应用、利
10、用导数研究函数的单调性、极值、恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离的应用.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，则_.【答案】【解析】【分析】直接根据向量的坐标运算，求向量的数量积，即可得答案.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.14.设实数满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】分析】作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，根据直线截距的几何意义，即可得答案.【详解】作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，当直线过点B和过点C时，分别取到最小值
11、和最大值，此时，故答案为：【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查数形结合思想和运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的应用.15.已知三棱锥外接球的体积为，在中，则三棱锥体积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】作出三棱锥的直观图，当三棱锥体积的最大时，面，设为外接球的球心，且半径为，利用球的体积求得的值，再利用勾股定理求得三棱锥的高，即可得答案.【详解】由题意得中，取的中点，连结，当三棱锥体积的最大时，面，设为外接球的球心，且半径为，.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、三棱锥体积的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力，求解
12、时注意球心位置的确定.16.若面积为2的中，则的最小值为_.【答案】6【解析】【分析】要据三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理，将表示成关于的三角函数，再利用导数求最小值，即可得答案.【详解】，的面积为，显然的最小值时，只需考虑时，令，则，当得，此时，在存在唯一的极值点，.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、导数在解三角形中的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用导数求函数的最值.三、解答题（共70分）17.已知首项为1的数列满足：当时，.（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）
13、利用累加法可求得数列的通项公式；（2）利用等比数列前项和公式，可求得.【详解】（1），整理得：，当时，也符合上式，.（2），数列是首项为，公比为的等比数列，.【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式、等比数列前项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18.人们随着生活水平的提高，健康意识逐步加强，健身开始走进人们生活，在健身方面投入越来越多，为了调查参与健身的年轻人一年健身的花费情况，研究人员在地区随机抽取了参加健身的青年男性、女性各50名，将其花费统计情况如下表所示：分组（花费）频数622253584男性女性合计健身花费不超过2400元23健身花费超过24
14、00元20合计（1）完善二联表中的数据；（2）根据表中的数据情况，判断是否有99%的把握认为健身的花费超过2400元与性别有关；（3）求这100名被调查者一年健身的平均花费（同一组数据用该区间的中点值代替）.附：P(K2k)0.100.050.0250.01k2.7063.8415.0246.635【答案】（1）见解析;（2）没有99%的把握;（3）元.【解析】【分析】（1）根据频数表提取数据，并填入列联表中；（2）将数据代入卡方系数计算公式中，并与6.635进行比较，即可得答案；（3）根据题意直接计算样本数据的平均值，即可得答案.【详解】（1）男性女性合计健身花费不超过2400元233053
15、健身花费超过2400元272047合计5050100（2），没有99%把握认为健身的花费超过2400元与性别有关.（3）平均费用为，则.这100名被调查者一年健身的平均花费元.【点睛】本题考查独立性检验、平均数的计算，考查数据处理能力，求解时注意运算的准确性.19.如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，点在线段上，且平面.（1）求证：平面；（2）若点是线段上靠近的三等分点，点在线段上，且平面，求的值.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】【分析】（1）证明AS垂直面SBC内的两条相交直线BC、BE，即可证得结论；（2）取N，O分别为AB，AS的三等分点，且NOSB，连结ON，OM，利用面面平行证
16、得线面平行，再利用勾股定理，即可得答案.【详解】（1）平面SAB平面ABCD，面SAB面ABCDAB，BCAB，BC面ABCD，BC面SAB，又AS面SAB，ASBC.BE面SAC，AS面SAC，ASBE，又BCBEB，AS面SBC.（2）取N，O分别为AB，AS的三等分点，且NOSB，连结ON，OM，ONSB，ON面SBC，SB面SBC，ON面SBC，同理OM面SBC，OM，ON面OMN，OMONO，面OMN面SBC，MN面OMN，MN面SBC.由（1）得：OMON，在直角三角形OMN中，ON1，OM4，.【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面平行性质定理、线面平行判定定理的应用，考查转化与
17、化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20.已知点在圆上运动，轴，垂足为，点满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于两点，记的面积为，求的最大值.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据相关点代入求轨迹方程；（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程中得，得，再利用一元二次函数的性质求最大值.【详解】（1）设，为的中点，即.点的轨迹的方程.（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程中得，.设，令，则，时，的最大值.【点睛】本题考查相关点带的话求椭圆的轨迹方程、直线与椭圆位置关系中三角形的面积最值，考查函数与方程思想、转化
18、与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意一元二次函数的性质求最值.21.已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性；（2）记函数的极小值为，若成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在单调递增，在单调递减;（2）.【解析】【分析】（1）对函数进行求导得到，在解不等式即可得到单调区间；（2）利用导数求出函数的极小值为，从而得到恒成立，再利用导数研究的单调性，从而求得答案.【详解】（1），在区间单调递增，在区间单调递减.（2），或，在单调递减，单调递增，令，在恒成立，单调递减，且，时，成立，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查
19、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）;（2）.【解析】分析】（1）消参即可得到直线的普通方程，再利用可得直线的极坐标方程；进一步可得曲线的普通方程；（2）利用参数方程中参数的几何意义，可求得弦长.【详解】（
20、1）；，直线的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程化简为标准式为（t为参数），代入x2+4y24，得到：3t24t40，所以，则：|PQ|.【点睛】本题考查普通方程、参数方程、极坐标方程之间的互化、参数方程中参数几何意义的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）m3或m1.【解析】【分析】（1）利用零点分段法进行求解，即可得答案；（2）由题意可得|xm|+2|x1|2恒成立，设g（x）|xm|+2|x1|，由题意可得只需g（x）m
21、in2，运用绝对值不等式的性质和绝对值的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求范围.【详解】（1）若，不等式当时，不等式等价于，；当时，不等式等价于，；当时，不等式等价于，；综上所述，不等式的解集为.（2）关于x的不等式|x1|1恒成立，即为|xm|+2|x1|2恒成立，设g（x）|xm|+2|x1|，由题意可得只需g（x）min2，而g（x）|xm|+|x1|+|x1|xmx+1|+0|1m|，当且仅当x1取得等号，则g（x）的最小值为|1m|，由|1m|2，解得m3或m1【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式、绝对值函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.