1、2016-2017学年江西省南昌实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号用2B铅笔填涂在答卷的相应表格内）1抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A（0，1）B（1，0）C（0，2）D（2，0）2双曲线=1的渐近线方程是（）Ay=xBy=xCy=xDy=x3直线2x3y4=0的截距式方程为（）A=1B +=1C=1D +=14过圆x2+y2=25上一点P（3，4）的切线方程为（）A3x+4y+25=0B3x4y+25=0C3x+4y25=0D3x4y25=05椭圆+=1上一点P到一个焦点的距
2、离为1，那么它到另一个焦点的距离为（）A2B3C4D56过点A（5，2），且在坐标轴上截距的绝对值相同的直线l的方程为（）Axy3=0B2x5y=0Cxy3=0或2x5y=0Dxy3=0或2x5y=0或x+y7=07过两直线3x+y1=0与x+2y7=0的交点，且与第二条直线垂直的直线方程为（）A2xy+6=0B2x+y6=0Cx3y+13=0Dx3y+7=08如果实数x，y满足（x2）2+y2=3，那么的取值范围为（）A（）BCD（）9圆x2+y22x4y20=0过点（1，1）的最大弦长为m，最小弦长为n，则m+n=（）A17B18C19D2010直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且
3、线段AB的中点为（1，1），则l的方程为（）A2xy1=0B2x+y3=0Cx2y+1=0Dx+2y3=011F1，F2为双曲线的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过双曲线的中心，且与双曲线相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该双曲线的离心率e为（）A +1B +2C +2D +112已知双曲线：=1（a0，b0）的上焦点F（0，c）（c0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线的渐近线方程为（）A4xy=0Bx4y=0C2xy=0Dx2y=013椭圆4x2+y2=2上的点到直线2xy8=0 的距离的最小值为（）ABC3
4、D6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填空在答卷上）14已知A（1，4），B（5，4），则以AB为直径的圆的标准方程是15已知函数f（x）=，且abc0，则，的大小关系为16已知双曲线mx2+5y2=5m的离心率e=2，则m=17已知椭圆+=1，P（1，1）为椭圆内一点，F1为椭圆的左焦点，M为椭圆上一动点：（理）则|MP|+|MF1|的最小值为；（文）则|MP|+|MF1|的取值范围为三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18求过点M（1，1），且圆心与已知圆C：x2+y2+2x+4y11=0相同的圆的方程19已知圆C的方程
5、为x2+y2=9（1）求过点P（2，）的圆的切线方程；（2）求过点Q（3，5）的圆的切线方程20（1）已知双曲线的渐近线为3x+4y=0且经过点（8，3），求双曲线的方程；（2）若（1）中的双曲线被点A（8，3）平分的弦为MN，求MN所在的直线方程21已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于MN两点，当|MN|=时，求直线l的方程22某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，此车能否通过此隧道？请说明理由23如图，已知椭圆： +=1的左右焦点分别为F1，F2，过点F1
6、，F2分别作两条平行直线AB，CD交椭圆于点A、B、C、D（）求证：|AB|=|CD|；（）求四边形ABCD面积的最大值24（文科）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2，在x轴上，长轴A1A2的长为4，x轴上一点M（），=（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点F1且斜率为1的直线l与椭圆相交于C、D两点，求OCD的面积2016-2017学年江西省南昌实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号用2B铅笔填涂在答卷的相应表格内）1抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A（0
7、，1）B（1，0）C（0，2）D（2，0）【考点】抛物线的简单性质【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2=1抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）故选B2双曲线=1的渐近线方程是（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得故选：A3直线2x3y4=0的截距式方程为（）A=1B +=1C=1D +=1【考点】直线的截距式方程【分析】由令x=0，得y=，令y=0，可得x=2，从而得到答案【解答】解：
8、令x=0，得y=，令y=0，可得x=2，直线2x3y4=0的截距式方程为=1故选D4过圆x2+y2=25上一点P（3，4）的切线方程为（）A3x+4y+25=0B3x4y+25=0C3x+4y25=0D3x4y25=0【考点】圆的切线方程【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后求出P与圆心的距离判断出P在圆上即P为切点，根据圆的切线垂直于过切点的直径，由圆心和M的坐标求出OP确定直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为1，求出切线的斜率，根据P坐标和求出的斜率写出切线方程即可【解答】解：由圆x2+y2=25，得到圆心A的坐标为（0，0），圆的半径r=5，而|AP|=5=r，所以P在圆上
9、，则过P作圆的切线与AP所在的直线垂直，又P（3，4），得到AP所在直线的斜率为，所以切线的斜率为，则切线方程为：y4=（x3）即3x+4y25=0故选C5椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为1，那么它到另一个焦点的距离为（）A2B3C4D5【考点】椭圆的简单性质【分析】直接利用椭圆的定义求解即可【解答】解：由椭圆+=1，得a=3，2a=6，由椭圆的定义可知：椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为1，则P到另一个焦点的距离为：5故选：D6过点A（5，2），且在坐标轴上截距的绝对值相同的直线l的方程为（）Axy3=0B2x5y=0Cxy3=0或2x5y=0Dxy3=0或2x5y=0或x+y7=0【
10、考点】直线的截距式方程【分析】当直线经过原点时，斜率为，可得要求的直线方程；当直线不经过原点时，设要求的直线方程为xy=k，再把点（4，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=，要求的直线方程为y=x，即当直线不经过原点时，设要求的直线方程为xy=k，再把点（5，2）代入可得5+2=k，或52=k，求得k=7，或k=3，故要求的直线方程为x+y7=0，或xy3=0综上可得，要求的直线方程为2x5y=0或x+y7=0，或xy3=0，故选：D7过两直线3x+y1=0与x+2y7=0的交点，且与第二条直线垂直的直线方程为（）A2xy+6=0B2x+y
11、6=0Cx3y+13=0Dx3y+7=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】联立已知的两条直线方程求出交点的坐标，设与x+2y7=0垂直的直线方程为2xy+c=0，代入求出c，即可得到直线方程【解答】解：联立已知的两直线方程得：，解得：，所以两直线的交点坐标为（1，4），设与x+2y7=0垂直的直线方程为2xy+c=0，可得24+c=0，c=6，所求直线方程为2xy+6=0故选A8如果实数x，y满足（x2）2+y2=3，那么的取值范围为（）A（）BCD（）【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程【分析】设过原点的圆的切线方程为y=kx，再根据圆心（2，0）到切线的距离等于半径，求得
12、k的值，可得的取值范围【解答】解：由题意可得，表示圆（x2）2+y2=3上的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，设为k，故此圆的切线方程为y=kx，再根据圆心（2，0）到切线的距离等于半径，可得r=，平方得k2=3，求得k=，故的取值范围是，故选C9圆x2+y22x4y20=0过点（1，1）的最大弦长为m，最小弦长为n，则m+n=（）A17B18C19D20【考点】直线与圆相交的性质【分析】过点（1，1）的最大弦长为直径，最短的弦为过（1，1）与直径垂直的弦，根据两点间的距离公式求出弦心距，结合半径根据勾股定理可得【解答】解：圆x2+y22x4y20=0，可化为圆（x1）2+（y2）2=2
13、5，圆的圆心（1，2），过点（1，1）的最大弦长为直径，所以m=10；根据两点间的距离公式求出弦心距：2（1）=3，所以最小弦长为n=2=8，所以m+n=10+8=18，故选：B10直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且线段AB的中点为（1，1），则l的方程为（）A2xy1=0B2x+y3=0Cx2y+1=0Dx+2y3=0【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】设点作差，利用线段AB的中点坐标，即可求出直线l的斜率然后求解直线方程【解答】解：设A（x1，y 1），B（x2，y 2），A，B在曲线上，y12=4x1，y22=4x2，两式相减可得（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2），线
14、段AB的中点M（ 1，1），2（y1y2）=4（x1x2），=2则l的方程为：y1=2（x1），即2xy1=0故选：A11F1，F2为双曲线的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过双曲线的中心，且与双曲线相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该双曲线的离心率e为（）A +1B +2C +2D +1【考点】双曲线的简单性质【分析】分析知F1MF2是直角，又由MF2的长度为半径c，在直角三角形F1MF2中勾股定理建立相应的方程变形求e【解答】解：易知圆F2的半径为c，又直线MF1恰与圆F2相切，F1MF2是直角，|F1F2|=2c，|MF2|=c，|F1M|=2a+c，在直角三角形F1MF
15、2中有（2a+c）2+c2=4c2，即e2+2e2=0，e1，e=+1选选D12已知双曲线：=1（a0，b0）的上焦点F（0，c）（c0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线的渐近线方程为（）A4xy=0Bx4y=0C2xy=0Dx2y=0【考点】双曲线的简单性质【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出D的坐标，由题意列式求出D的坐标，结|MF|=3|DF|，求得M的坐标，再把M的坐标代入双曲线方程求得答案【解答】解：由x2+y2y+=0，得x2+（y）2=，则该圆的圆心坐标为（0，），半径为设切点D（x0，y0）（y00），则由x2
16、+y2y+=0与（x0，y0c）（x0，y0）=0，解得：x0=，y0=D（，），由|MF|=3|DF|，得=3，得M（，），代入 双曲线：=1（a0，b0）整理得b=2a，双曲线的渐近线方程为y=x故选：D13椭圆4x2+y2=2上的点到直线2xy8=0 的距离的最小值为（）ABC3D6【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】设P（ cos， sin），02，求出P到直线2xy8=0 的距离d，由此能求出点P到直线的距离的最小值【解答】解：椭圆4x2+y2=2，P为椭圆上一点，设P（ cos， sin），02，P到直线2xy8=0 的距离：d=，当且仅当cos（）=1时取得最小值点P到直线2xy
17、8=0的距离的最小值为dmin=故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填空在答卷上）14已知A（1，4），B（5，4），则以AB为直径的圆的标准方程是（x+2）2+y2=25【考点】圆的标准方程【分析】因为线段AB为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心C与点A之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可【解答】解：A（1，4），B（5，4），设圆心为C，圆心C的坐标为C（2，0）；|AC|=5，即圆的半径r=5，则以线段AB为直径的圆的方程是（x+2）2+y2=25故
18、答案为：（x+2）2+y2=2515已知函数f（x）=，且abc0，则，的大小关系为【考点】指数函数的单调性与特殊点【分析】由题意可以转化为f（x）上的点与原点连线的斜率，由此利用数形结合思想即可比较【解答】解：由题意可以转化为f（x）上的点与原点连线的斜率，根据函数f（x）=，设A（a，f（a），B（b，f（b），C（c，f（c），观察图象知kOAkOBkOC，故答案为：16已知双曲线mx2+5y2=5m的离心率e=2，则m=15【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线mx2+5y2=5m，化为标准方程，利用离心率e=2，即可求出m的值，【解答】解：双曲线mx2+5y2=5m即：，e2=1=
19、4，m=15故答案为：1517已知椭圆+=1，P（1，1）为椭圆内一点，F1为椭圆的左焦点，M为椭圆上一动点：（理）则|MP|+|MF1|的最小值为；（文）则|MP|+|MF1|的取值范围为（6，6+）【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系【分析】（理）由椭圆的第二定义，得d=，从而|MP|+|MF1|=|MA|+|MP|，当M、P、A三点共线时，|MP|+|MF1|取最小值，由此能求出结果（文）由椭圆定义得|PF1|=2a|PF2|=6|PF2|，由|PA|PF2|AF2|，由此能求出|MP|+|MF1|的取值范围【解答】解：（理）由椭圆的第二定义，得： =e，d=，由椭圆的方程+=1
20、，得e=，右准线方程为：x=，|MP|+|MF1|=|MA|+|MP|，当M、P、A三点共线时，|MP|+|MF1|取最小值，最小值为：1+=故答案为：（文）椭圆+=1，a=3，b=，c=2，F1（2，0），F2（2，0），由椭圆定义得|PF1|=2a|PF2|=6|PF2|，由|PA|PF2|AF2|=，知，|MP|+|MF1|的取值范围为故答案为：（6，6+）三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18求过点M（1，1），且圆心与已知圆C：x2+y2+2x+4y11=0相同的圆的方程【考点】圆的一般方程【分析】根据圆心C（1，2），要求的圆的半径MC
21、的值，可得要求的圆的方程【解答】解：圆C：x2+y2+2x+4y11=0的圆心C（1，2），要求的圆的半径为MC=，故要求的圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=1319已知圆C的方程为x2+y2=9（1）求过点P（2，）的圆的切线方程；（2）求过点Q（3，5）的圆的切线方程【考点】圆的切线方程【分析】（1）P在圆上，过点P（2，）的圆的切线方程为2xy=9，可得结论；（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论【解答】解：（1）P在圆上，过点P（2，）的圆的切线方程为2xy=9，即；（2）斜率不存在时，显然满足题意，斜率存在时，设直线方程为y5=k（x3），即kxy3k+5=0
22、圆心到直线的距离d=3，k=，切线方程为8x15y+51=0综上所述，过点Q（3，5）的圆的切线方程为x=3或8x15y+51=020（1）已知双曲线的渐近线为3x+4y=0且经过点（8，3），求双曲线的方程；（2）若（1）中的双曲线被点A（8，3）平分的弦为MN，求MN所在的直线方程【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）由题意可知：设双曲线方程为9x216y2=，将点（8，3）代入，即可求得的值，即可求得双曲线的方程；（2）设直线MN的方程为y3=k（x8），代入双曲线方程，由韦达定理可知x1+x2=，由中点坐标公式可知： =8，即可求得k的值，即可求得直线MN的方程【解答】解：（1）渐近线
23、方程为3x+4y=0，设双曲线方程为9x216y2=，将（8，3）代入9x216y2=，解得：=144，双曲线的方程；（2）由题意可知：设直线MN的方程为y3=k（x8），M（x1，y1），N（x2，y2），整理得：（916k2）x232k（38k）x16（38k）2=144，由韦达定理可知：x1+x2=，弦为MN的中点A（8，3），由中点坐标公式可知： =8，则=16，解得：k=，MN所在的直线方程3x2y18=021已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于MN两点，当|MN|=时，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线
24、的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题【分析】（）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C（）直线l：y=kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论【解答】解：（）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：kPAkPB=，化简，整理得故P点的轨迹方程是，（x）（）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由得，（1+2k2）x2+4kx=0x1+x2=，x1 x2=0，|MN|=，整理得，k4+k22=0，解得k2=1，或k2=2（舍）k=1，经检验符合题意直线l的方程是y=x+1，即：xy+1=0或x+y1=022
25、某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，此车能否通过此隧道？请说明理由【考点】抛物线的应用【分析】取抛物线顶点为原点，水平向右为x轴正方向建立直角坐标系，设抛物线方程，把x=3代入抛物线方程求得y，取抛物线与矩形的结合点代入抛物线方程求得p，抛物线方程可求取x=求得y，进而与隧道的高度进行比较，结果发现而者的差大于车与箱的高，判断出卡车可以通过此隧道【解答】解：取抛物线顶点为原点，水平向右为x轴正方向建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p0），当x=3时，y=3，即取抛物线与矩形的结合点（3，3），代入x2=2py，得9=6p，则
26、，故抛物线方程为x2=3y已知集装箱的宽为3m，取，则而隧道高为5m， =所以，卡车可以通过此隧道23如图，已知椭圆： +=1的左右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作两条平行直线AB，CD交椭圆于点A、B、C、D（）求证：|AB|=|CD|；（）求四边形ABCD面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）设AB方程为x=my1，则CD方程为x=my+1，分别与椭圆方程联立得出A，B，C，D坐标的关系，利用弦长公式即可得出|AB|=|CD|；（II）求出SAOB的面积的最大值，即可得出四边形ABCD面积的最大值【解答】解：（I）F1（1，0），F2（1，0），设A（x1，y1），B（
27、x2，y2），直线AB的方程为x=my1联立方程组，消元得（3m2+4）y26my9=0，y1+y2=，y1y2=设C（x3，y3），D（x4，y4），直线CD的方程为x=my+1联立方程组，消元得（3m2+4）y2+6my9=0y3+y4=，y3y4=y1+y2=（y3+y4），y1y2=y3y4，|y1y2|=|y3y4|，|AB|=|y1y2|，|CD|=|y3y4|，|AB|=|CD|（II）四边形ABCD是平行四边形，SABCD=4SAOB，又SAOB=|OF1|y1y2|=6=6设m2+1=t，f（t）=9t+，则t1，f（t）=90，f（t）在1，+）上为增函数，f（t）f（1）
28、=10SAOB6=，四边形ABCD面积的最大值为4=624（文科）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2，在x轴上，长轴A1A2的长为4，x轴上一点M（），=（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点F1且斜率为1的直线l与椭圆相交于C、D两点，求OCD的面积【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）利用长轴A1A2的长为4，x轴上一点M（），=，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆的方程；（2）把直线l的方程代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系，求出|y1y2|的值，即可求OCD的面积【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（ab0），则|=a，|=ac，由题意，a=2，b=，c=1，椭圆方程为=1；（2）由题意，直线l的方程为xy+1=0，设C（x1，y1 ），D（x2，y2），直线方程代入椭圆方程整理得7y26y9=0，y1+y2=，y1y2=，|y1y2|=，SOCD=2016年12月17日