1、湖北省华中师范大学第一附属中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1.甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，满足甲乙相邻且甲不在最左边的站法有（ ）A. 9种B. 10种C. 11种D. 12种【答案】B【解析】【分析】根据甲乙相邻，可将甲乙视为一组，再和另外两人一同排列，要注意甲不在最左边，故还要分成甲在乙左或乙在甲左两种情况.【详解】将甲乙绑定，分甲在乙左或乙在甲左两种情况.若甲在乙左，则甲乙、丙、丁三组站成一排，甲乙不能站最左，故有两种选择，丙、
2、丁随意，故一共有种站法.若乙在甲左，则甲乙、丙、丁三组站成一排，甲乙、丙、丁三组随意站，故一共有种站法.故共有种站法.故选：【点睛】本题考查基本的分类加法计数原理，利用了捆绑法，属于基础题.2.对于给定的样本点所建立的回归模型和模型，它们的残差平方和分别是、，相关指数的值分别是、，下列说法正确的是（ ）A. 若，则，的拟合效果更好B. 若，则，的拟合效果更好C. 若，则，的拟合效果更好D. 若，则，的拟合效果更好【答案】A【解析】【分析】根据残差平方和以及相关指数的定义进行判断即得.【详解】比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数越大，该模型拟合的效果越好.若，则，的
3、拟合效果更好.故正确.故选：【点睛】本题考查残差平方和以及相关指数的定义，是基础题.3.圆的以为中点的弦所在直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由弦中点是，根据垂径定理可知垂直于此弦，再由的斜率可求得此弦斜率，利用点斜式即得方程.【详解】设以为中点的弦交圆于两点，由题意，由垂径定理知.而，故.则以为中点的弦所在直线方程为：，整理得：.故选：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题.4.设随机变量，若，则（ ）A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】D【解析】【分析】根据已知，利用，可得，即得.【详解】随机变量服从正态分布，且正态曲线的对称轴是
4、：，由，可得，则.故选：【点睛】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题.5.已知可导函数满足，则（ ）A. -3B. -2C. -1D. 2【答案】A【解析】【分析】等式两边求导得出的等量关系，可得的值，再计算即得的值.【详解】由题得，函数可导，可得，代入得：，则，那么，则.故选：【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.6.已知关于x的方程有实根，则（ ）A. 2B. 4C. 3D. 9【答案】B【解析】【分析】复数等于零，等价于实部和虚部都等于零.据此列出实部和虚部的两个方程，解出.【详解】方程有实根，存在实数使得等式成立.故，解得：，故.故选：【点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题.7
5、.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 22B. 42C. 2D. 4【答案】C【解析】【详解】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是，侧棱长，高是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是，高是，所以组合体的体积是，故选C.考点：几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成
6、的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题.8.设，且，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知，那么等价于，即，并且，则等价于，即，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得.【详解】由题得，故等价于，即.又，故等价于，即.若，因为，说明，且，故，故有.若，则，若，则自然有，则，故即.若，则，又因为，即.若，则与矛盾，故，若，则自然有，若，则由知，即.所以是充要条件.故选：【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.9.已知双曲线上存在
7、两点M，N关于直线对称，且线段MN中点在抛物线上，则实数m的值为（ ）A. -3B. 0或-3C. -4D. 0或1【答案】B【解析】【分析】根据两点在双曲线上，且关于直线对称，可由表示出的中点坐标，再由中点在抛物线上，计算即得.【详解】由题得，直线的斜率，设点的横坐标分别为，的中点在上，设直线：，由点在上，可得，则，由消元得，则有，即，故的中点，又线段中点在抛物线上，可得，解得或.故选：【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查对称性，以及抛物线的性质，解题关键是确定的中点的坐标.10.现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作
8、之一，每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）A. 234B. 152C. 126D. 108【答案】C【解析】【分析】分情况进行讨论，先计算“甲乙一起参加除了开车三项工作之一”有多少种情况，再计算“甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作”和“甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作”的情况，相加即得.【详解】由题，分情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种；甲乙不同时参加一项工作，又分为两种情况：甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有：种；甲或乙与丙、丁、
9、戌三人中的一人承担同一份工作：种.由分类计数原理，可得共有种.故选：【点睛】本题考查计数原理，考查学生的逻辑推理能力.11.如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为，M是它们的一个公共点，且，设它们的离心率分别为，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设椭圆的长半轴为，半焦距为，双曲线的实半轴为，半焦距为，利用余弦定理有，由椭圆和双曲线的定义可知，即得和，消去，再根据离心率公式和基本不等式计算即得.【详解】设椭圆的长半轴为，半焦距为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由余弦定理得，则有，消去，可得，则有，即，当且仅当
10、时取等号，故.故选：【点睛】本题主要考查双曲线和椭圆的性质，以及离心率，利用了余弦定理和基本不等式，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）12.2020年华中师大一附中将迎来70周年校庆，学校安排5位男老师和3为女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取4位老师主持晚会，若抽取的4位老师是两男两女，则称主持人为“快乐搭档”.在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，最后确定的主持人是“快乐搭档”的概率为_.【答案】【解析】【分析】已经抽取一位女老师，那么要组成“快乐搭档”还需从剩余位女老师中抽取位，从位男老师中抽取位，根据概率公式计算即得.【
11、详解】在已经抽取一位女老师担任主持人的条件下，还需抽取一位女老师和两位男老师才能形成“快乐搭档”，即需要从剩余位女老师中抽取位，从位男老师中抽取位，故所求概率.故答案为：【点睛】本题考查古典概型，是基础题.13.已知点，点B是圆上的动点，线段AB的垂直平分线交线段BC于点P，则动点P的轨迹方程是_.【答案】【解析】【分析】连接，根据题意可知，可得，利用椭圆的定义判断点的轨迹，是以为焦点的椭圆，求出的值，即得椭圆的方程.【详解】由题得，圆心，半径等于，连接，则，故点轨迹是：以为焦点的椭圆，即，又点在轴上，动点P的轨迹方程是.故答案为：【点睛】本题考查由椭圆的定义求动点的轨迹方程，是常考题型.14
12、.展开式中项的系数为_【答案】【解析】试题分析：的展开式的通项公式为，对于通项公式为，令得的展开式系数为考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用、二项展开式的系数问题，其中先把话为，得到其通项，则对得通项，可得或，即可得到的系数，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题15.已知，若曲线在点处的切线的斜率为-1，则_；当时，与曲线和曲线都相切的直线的方程是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求导可得，再由可得的值；当时，可得，设直线与曲线和曲线的切点分别为，根据切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，以及利用两个切点表示出切线
13、斜率，可得方程组，从而解出切点坐标，即得.【详解】由题得，函数的导数为，由曲线在点处的切线的斜率为，可得，解得.当时，所以 ，设直线与曲线和曲线的切点分别为，则切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，又，则有，解得，故切点为，切线斜率，可得切线方程为，即.故答案为：，【点睛】本题考查根据导数的几何意义求参数，以及求与两个曲线都相切的直线方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上）16.设集合的所有元素的和为z，且.（1）求的值；（2）设，求事件“”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出集合的所有元素和，再由，可解
14、得的值，再代入，根据复数的运算法则和求复数模的公式计算即得；（2）先计算从个元素中取出两个元素的方法，再确定其中乘积为实数的个数，计算即得.【详解】（1）由题得，又，则，可得，即，那么.（2）由（1）得，从个元素中取出两个元素的方法有种，其中乘积为实数的为，共有种情形，故.【点睛】本题考查共轭复数的概念，复数的四则运算和复数的模，以及古典概型，属于基础题.17.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工
15、作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m总计第一种生产方式第二种生产方式总计（2）根据（1）中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）见详解（2）有【解析】【分析】（1）根据茎叶图可知，排在中间的两个数据是和，可得中位数，进而填写列联表；（2）由公式和列联表数据计算，再查表得出结论.【详解】（1）这名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是和，计
16、算它们的中位数为，由此填写列联表如下：超过m不超过m总计第一种生产方式第二种生产方式总计（2）根据（1）中的列联表，可得的观测值：，故能有的把握认为两种生产方式的效率有差异.【点睛】本题考查中位数的定义，通过茎叶图完成列联表，以及独立性检验，是常考题型.18.已知点，C是抛物线上的动点.（1）求周长的最小值；（2）若C位于直线AB右下方，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）过作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，那么周长即为，为定值，则共线时周长最小，即得；（2）作与直线平行的直线，到直线的距离就是边上的高，且点在抛物线上，则当与抛物线相切时，面积的最大，设点
17、，由抛物线在点处的切线斜率与直线的斜率相同，可得，即得点坐标，利用点到直线的距离公式，以及边的长度，由公式计算即得.【详解】（1）过作抛物线准线的垂线，垂足为，如图1所示，抛物线焦点，又为常数，共线时，周长最小，周长最小值为.（2）作与直线平行的直线，如图所示，当与抛物线相切时，切点使得面积最大，此时到直线的距离就是边上的高，设切点，由得，即，切点的坐标为，点到的距离为，的最大值为，即面积最大值为.【点睛】本题考查抛物线的定义，以及直线和抛物线的位置关系，难度不大.19.已知的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为（1）求展开式中有理项的个数；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1
18、）；（2）或【解析】【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为，可得，解出，再由通项公式，分析即得；（2）根据各项系数的和均为，可得，解出或，再由通项公式分情况进行计算即得.先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为求出.【详解】（1）的二项展开式的各二项式系数的和为，各项系数的和为，由已知得，故此时展开式的通项为：，当时，该项为有理项，故有理项的个数为.（2）由，得或当时，展开式通项为，故二项式系数最大时系数最大，即第项系数最大，即系数最大的项为；当时，展开式系数最大的项是奇数项，其中，故展开式中系数最大的项为第项，即系数最大的项为.综上，展开式中系数最大的项为或.【
19、点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题.20.湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分
20、.具体转换分数区间如下表：等级ABCDE比例15%35%35%13%2%赋分区间而等比例转换法是通过公式计算：，其中、分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为、时，等级分分别为、，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表：考试科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间生物75分B等级设小明转换后的等级成绩为T，根据公式得：，所以（四舍五入取整），小明最终生物等级成绩为77分.已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：成绩90868
21、180797875人数1211211（1）从政治成绩获得A等级的学生中任取3名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；（2）从政治成绩获得A等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为，求的分布列和期望.【答案】（1）（2）见详解【解析】分析】（1）根据已知可得，等级的学生原始分区间的最低和最高分为和，等级分区间的最低和最高分为和，设政治成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，利用转换公式可得，由等级成绩不小于，可求出原始成绩，对照原始成绩表，再计算概率即得；（2）由（1）知等级成绩不小于分人数为人，获得等级的学生有人，可得的可能取值为，计算出对应的概率，可得分布列，
22、再由期望的计算公式，即得.【详解】（1）设政治成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得，即，则，解得.根据成绩统计表显示满足的同学只有人，获得等级的学生有人，故从政治成绩获得等级的学生中任取名，至少有名同学的成绩不小于分的概率为.（2）由题意，等级成绩不小于分人数为人，获得等级的学生有人，的可能取值为，则，所以的分布列为：则的期望为：.【点睛】本题综合考查概率和离散型随机变量的分布列，以及求期望，考查分析计算能力，属于中档题.21.已知圆的任意一条切线l与椭圆都有两个不同交点A，B（O是坐标原点）（1）求圆O半径r的取值范围；（2）是否存在圆O，使得恒成立？若存在，求出圆O的方程
23、及的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见详解【解析】【分析】（1）圆的中心是原点，椭圆的短半轴长为，根据圆和椭圆的位置关系分析即得；（2）当圆的切线的斜率存在时，设，圆的切线为，与联立，可得，根据韦达定理和，可得和的关系式，再由圆心到切线的距离等于半径，可得，解出，即得；当切线斜率不存在时，可得上述圆的切线，进而求出切点，验证满足即可，故使得恒成立的圆存在；当切线斜率存在且不等于时，则有，由韦达定理和基本不等式可得的最大值，当切线斜率不存在或等于时，可知的值，选两者中的最大值，再由，计算即得.【详解】（1）当时，圆在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭圆内部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，满足题意；当时，圆的切线和都和椭圆最多只有一个公共点，不满足题意；故的取值范围是.（2）当圆的切线的斜率存在时，设圆的切线为，设，由消去得：，则，则，由得，即，又由与圆相切得，即，解得，此时圆的方程为.当切线斜率不存在时，上述圆的切线为或，这两条切线与椭圆的交点为，或，也满足，故满足条件的圆存在，其方程为.当切线斜率存在且不等于时，因为，当且仅当时取等号；当切线斜率不存在或等于时，则，又，故，则.【点睛】本题通过圆和椭圆的位置关系综合考查直线和椭圆的位置关系，考查分析和计算能力，是一道综合性的题目，有一定难度.