1、2015-2016学年甘肃省嘉峪关一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，总共60分）1已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A10m/sB9m/sC4m/sD3m/s2用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数3设f（x）是可导函数，且=（）AB1C0D24已知M（2，0）、N（2，0），|PM|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A双曲线B双曲线左边一支C一条射线D双曲线右边一支5命题甲：x2或y3；命题乙
2、：x+y5，则甲是乙的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件6下列命题正确的是（）A“x2”是“x23x+20”的必要不充分条件B命题“若x23x+2=0，则x=1”的否命题为“若x23x+2=0，则x1”C若pq为假命题，则p，q均为假命题D对于命题p：xR，使得x2+x10，则p：xR，均有x2+x107如图是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象，给出下列命题：2是函数y=f（x）的极值点；1是函数y=f（x）的最小值点；y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；y=f（x）=在区间（2，2）上单调递增则正确命题的序号是（）ABCD8在y=2x2上有一点P
3、，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（）A（2，1）B（1，2）C（2，1）D（1，2）9函数f（x）=（2x3）ex的单调递增区间是（）A（，）B（2，+）C（0，）D（，+）10已知函数f（x）=xlnx，若直线l过点（0，1），并且与曲线y=f（x）相切，则直线l的方程为（）Ax+y1=0Bxy1=0Cx+y+1=0Dxy+1=011以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（）ABC2D12已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2
4、）C2，+）D（2，+）二、填空题（每小题5分，共20分）13已知条件p：xa，条件q：x2+x20，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是14已知函数y=+2，则y=15（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=x+8，则f（5）+f（5）=16过椭圆+=1（ab0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2=60，则椭圆的离心率为三、解答题（共70分）17若双曲线与椭圆有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线方程18已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m2）x+1=0无实根；又pq为真，q为真，求实数m的取
5、值范围19已知函数f（x）=4x+m在区间（，+）上有极大值（1）求实常数m的值（2）求函数f（x）在区间（，+）上的极小值20已知抛物线C：y2=2px（p0）过点P（1，2）（）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（）过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，求OAB的面积21已知函数f（x）=x2+2x+alnx（aR）（1）当时a=4时，求f（x）的最小值；（2）若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围22已知椭圆E的两个焦点分别为（1，0）和（1，0），离心率e=（）求椭圆E的方程；（）若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆E交于不同的两点A、B，且线段AB
6、的垂直平分线过定点P（，0），求实数k的取值范围2015-2016学年甘肃省嘉峪关一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，总共60分）1已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A10m/sB9m/sC4m/sD3m/s【考点】导数的运算【专题】计算题【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s=1+t2将t=3代入得s（3）=4；故选C【点评】本题考查导数在物理中的应用：位移的导数值为瞬时速度2用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰
7、有一个偶数”正确的反设为（）Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【考点】反证法【专题】反证法【分析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是： a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数即可得出【解答】解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数故选：D【点评】本题考查了反证法，属于基础题3设f（x）是可导函数，且=（）AB1C0D2【考点】极限及其运算【专题】计算题【分析】由题意可得=2=2f（x0），结合已知可求【解答】解：=2=2f（x0）=2f（x
8、0）=1故选B【点评】本题主要考查了函数的导数的求解，解题的关键是导数定义的灵活应用4已知M（2，0）、N（2，0），|PM|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A双曲线B双曲线左边一支C一条射线D双曲线右边一支【考点】双曲线的定义【专题】数形结合【分析】由于动点P满足|PM|PN|=4|=|MN|，那么不符合双曲线的定义（定义要求|PM|PN|MN|），则利用几何性质易得答案【解答】解：因为|MN|=4，且|PM|PN|=4，所以动点P的轨迹是一条射线故选C【点评】本题考查双曲线定义5命题甲：x2或y3；命题乙：x+y5，则甲是乙的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分又不必要
9、条件【考点】充要条件【分析】我们可先判断x2或y3时，x+y5是否成立，再判断x+y5时，x2或y3是否成立，再根据充要条件的定义即可得到结论【解答】解：若x2或y3时，如x=1，y=4，则x+y=5，即x+y5不成立，故命题甲：x2或y3命题乙：x+y5为假命题；若x=2，y=3成立，则x+y=5一定成立，即x=2，y=3x+y=5为真命题根据互为逆否命题真假性相同故命题乙：x+y5命题甲：x2或y3也为真命题故甲是乙的必要非充分条件故选：B【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，我们先判断pq与qp的真假，再根据充要条件的定义给出结论是解答本题的关键6下列命题正确的是（）A“x2”是“x
10、23x+20”的必要不充分条件B命题“若x23x+2=0，则x=1”的否命题为“若x23x+2=0，则x1”C若pq为假命题，则p，q均为假命题D对于命题p：xR，使得x2+x10，则p：xR，均有x2+x10【考点】命题的真假判断与应用【专题】阅读型；简易逻辑【分析】可通过充分必要条件的定义来判断A；可通过原命题的否命题形式来判断B；可通过复合命题的真值表来判断C；根据存在性命题的否定方法，求出原命题的否定，可判断D【解答】解：A由x2可推出x23x+20，但x23x+20不能推出x2，故“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件，故A错；B命题“若x23x+2=0，则x=1”的否命题是“
11、若x23x+20，则x1”，故B错；C若pq为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故C错；D由特称命题的否定是全称命题，故D正确故选：D【点评】本题考查简易逻辑的有关知识：充分必要条件和复合命题的真假，以及命题的否定和原命题的否命题，要注意区别，本题是一道基础题7如图是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象，给出下列命题：2是函数y=f（x）的极值点；1是函数y=f（x）的最小值点；y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；y=f（x）=在区间（2，2）上单调递增则正确命题的序号是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的
12、单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：根据导函数y=f（x）的图象可得，y=f（x）在（，2）上大于零，在（2，2）、（2，+）上大于零，且f（2）=0，故函数f（x）在（，2）上为减函数，在（2，+）、（2，+）上为增函数故2是函数y=f（x）的极小值点，故正确；故1不是函数y=f（x）的最小值点，故不正确；根据函数（2，+）上为增函数，故y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故正确；根据y=f（x）=在区间（2，2）上的导数大于或等于零，故f（x）在区间（2，2）上单调递增，故正确，故选：A【点评】本题主要考查命题真假的判断，利用导数研究函数的单调性和极值，属于
13、中档题8在y=2x2上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（）A（2，1）B（1，2）C（2，1）D（1，2）【考点】抛物线的应用【专题】计算题【分析】把抛物线y=2x2中，准线方程为L：y=过点A作准线的垂线，垂足为B，设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1点M的坐标为（1，2）在抛物线y=2x2上任取一点P，过P作准线的垂线，垂足为Q，过P作AB的垂线，垂足为H，|PA|+|PF|AB|抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|此时点P与点M重合，其坐标为P（1，2）【解答】解：把抛
14、物线的解析式y=2x2变为x2=y，与标准形式x2=2py 对照，知：2p=p=抛物线x2=y的准线方程为L：y=由抛物线定义知：抛物线上任意一点到准线距离等于到焦点距离点P到焦点的距离等于点P到准线的距离分析点A与已知抛物线y=2x2的位置关系：在y=2x2中，当x=1时，y=2，而点A（1，3）在抛物线内过点A作准线的垂线，垂足为B，设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，AB准线y=，而点A的纵坐标为3，AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1把x=1代入y=2x2得y=2，点M的纵坐标为2点M的坐标为（1，2）下面分析“距离之和最小”问题：在抛物线y=2x2上任取一点P，过P
15、作准线的垂线，垂足为Q，过P作AB的垂线，垂足为H，在RtPAH中，斜边大于直角边，则|PA|AH|在矩形PQBH中，|PQ|=|HB|，|PA|+|PF|（这里设抛物线的焦点为F） =|PA|+|PQ|AH|+|HB|=|AB|即：抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|此时点P与点M重合，其坐标为P（1，2）故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用作为选择题，可以用数形结合的方法，对明显不符合的选项进行排除，可不用按部就班的计算出每一步骤，节省时间9函数f（x）=（2x3）ex的单调递增区间是（）A（，）B（2，+）C（0，）D（，+）【考点】利用导数研究函数的单调
16、性【专题】导数的概念及应用【分析】令f（x）0，解得即可【解答】解：f（x）=（2x1）ex，令f（x）0，解得x函数f（x）=（x3）ex的单调递增区间是（，+）故选D【点评】练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键10已知函数f（x）=xlnx，若直线l过点（0，1），并且与曲线y=f（x）相切，则直线l的方程为（）Ax+y1=0Bxy1=0Cx+y+1=0Dxy+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论【解答】解：f（x）=xlnx，函数的导数为f（x）=1+lnx，设切点坐标为（x0，x0l
17、nx0），f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为yx0lnx0=（lnx0+1）（xx0），切线l过点（0，1），1x0lnx0=（lnx0+1）（x0），解得x0=1，直线l的方程为：y=x1即直线方程为xy1=0，故选：B【点评】本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键11以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（）ABC2D【考点】椭圆的应用【专题】计算题【分析】由题设条件可知bc=1，由此可以求出椭圆长轴的最小值【解答】解：由题意知bc=1，故选D【点评】本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要熟练掌握公式的灵活运用12
18、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2）C2，+）D（2，+）【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2=，e2，故选C【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件二、填空题（每
19、小题5分，共20分）13已知条件p：xa，条件q：x2+x20，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是1，+）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】解不等式x2+x20可得x2或x1，原命题等价于x|xa是x|x2或x1的真子集，结合数轴可得【解答】解：不等式x2+x20可化为（x1）（x+2）0，解得x2或x1，p是q的充分不必要条件，x|xa是x|x2或x1的真子集，a1，即a的取值范围是1，+）故答案为：1，+）【点评】本题考查充要条件，涉及一元二次不等式的解法，属基础题14已知函数y=+2，则y=【考点】导数的运算【专题】计算题；函数思想；数学模型法
20、；导数的概念及应用【分析】直接利用基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求解【解答】解：y=+2，y=，故答案为：【点评】本题考查导数的运算，考查了基本初等函数的求导公式，考查了导数的运算法则，是基础题15（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=x+8，则f（5）+f（5）=2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论【解答】解：由题意，f（5）=5+8=3，f（5）=1f（5）+f（5）=2故答案为：2【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题16过椭圆+=1（ab0）的左
21、焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2=60，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】把x=c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据F1PF2=60推断出 =整理得 e2+2e=0，进而求得椭圆的离心率e【解答】解：由题意知点P的坐标为（c，）或（c，），F1PF2=60，=，即2ac=b2=（a2c2）e2+2e=0，e=或e=（舍去）故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题三、解答题（共70分）17若双曲线与椭圆有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线方程【考点】双曲线的标准方程；双
22、曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出双曲线的方程，利用双曲线与椭圆有相同的焦点，求出参数，即可得出结论【解答】解：依题意可设所求的双曲线的方程为（3分）即（5分）又双曲线与椭圆有相同的焦点+2=2516=9（9分）解得=3（11分）双曲线的方程为（13分）【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，属于中档题18已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m2）x+1=0无实根；又pq为真，q为真，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】计算题【分析】分别求出命题p，q为真时的m的范围，然后结合复合命题pq为真，q为真
23、判断出命题p，q的真假即可求解m的范围【解答】解：方程是焦点在y轴上的双曲线，即m2故命题p：m2； （3分）方程4x2+4（m2）x+1=0无实根，=4（m2）24410，即m24m+30，1m3故命题q：1m3（6分）又pq为真，q为真，p真q假（8分）即，此时m3；（11分） 综上所述：m|m3（12分）【点评】本题以复合命题的真假关系判断为载体，主要考查了双曲线的简单性质及方程的根的分布问题的应用19已知函数f（x）=4x+m在区间（，+）上有极大值（1）求实常数m的值（2）求函数f（x）在区间（，+）上的极小值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合
24、应用【分析】（1）由f（x）=x24=（x+2）（x2），令f（x）=0，解得x=2，或x=2，列表讨论，能求出m=4（2）由m=4，得f（x）=，由此能求出函数f（x）在区间（，+）上的极小值【解答】解：（1）f（x）=4x+m，f（x）=x24=（x+2）（x2），令f（x）=0，解得x=2，或x=2，列表讨论，得： x （，2）2 （2，2） 2（2，+） f（x）+ 00+ f（x） 极大值 极小值当x=2时，f（x）取极大值，函数f（x）=4x+m在区间（，+）上有极大值，解得m=4（2）由m=4，得f（x）=，当x=2时，f（x）取极小值f（2）=【点评】本题考查函数的极大值和极小
25、值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用20已知抛物线C：y2=2px（p0）过点P（1，2）（）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（）过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，求OAB的面积【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过点的坐标适合方程求抛物线C的方程，并求其准线方程；（）过焦点F且斜率为2的直线l，设出直线方程，利用过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，联立方程组，利用韦达定理弦长公式以及点到直线的距离求出OAB的面积【解答】（本小题满分（13分），（）小问（
26、5分），（）小问8分）解：（）由题意：4=2p，解得：p=2，从而抛物线的方程为y2=4x，准线方程为x=1（5分）（）抛物线焦点坐标为F（1，0），依题意可设直线y=2x2（6分）设点A（x1，y1），B（x2，y2）联立得：4x212x+4=0，即x23x+1=0（8分）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理有：x1+x2=3，x1x2=1（9分）则弦长（11分）而原点O（0，0）到直线l的距离（12分）故（13分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法以及性质的应用，考查计算能力21已知函数f（x）=x2+2x+alnx（aR）（1）当时a=4时，
27、求f（x）的最小值；（2）若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系【专题】综合题【分析】（1）当a=时，f（x）=x2+2x4lnx，x0.，由此能求出f（x）的极小值（2）由f（x）=x2+2x+alnx（aR），知，设g（x）=2x2+2x+a，由函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，能求出实数a的取值范围【解答】解：（1）当a=4时，f（x）=x2+2x4lnx，x0，令f（x）=0，得x=2（舍），或x=1，列表，得 x（0，1）1 （1，+） f（x） 0+ f（x） 极小值f（x）的极小值f（1
28、）=1+24ln1=3，f（x）=x2+2x4lnx，x0只有一个极小值，当x=1时，函数f（x）取最小值3（2）f（x）=x2+2x+alnx（aR），（x0），设g（x）=2x2+2x+a，函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，g（0）0，或g（1）0，a0，或2+2+a0，实数a的取值范围是a|a0，或a4【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想对数学思维的要求比较高，有一定的探索性综合性强，难度大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答22已知椭圆E的两个焦点分别为（1，0）和（1，0），离心率e=（）求椭圆E的方程；（）
29、若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆E交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线过定点P（，0），求实数k的取值范围【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由条件知椭圆的焦点在x轴上，c=1，由离心率e=，求出a，再根据b2=a2c2，求出b，从而写出椭圆方程；（）联立直线l和椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用判别式大于0，韦达定理得到m21+2k2，x1+x2=，再根据l经过中点D，求出D的坐标，设出中垂线方程，代入D的坐标，再结合m21+2k2，解不等式即可得到k的取值范围【解答】解：（）由已知椭圆的焦点x轴上，c=1，a
30、=，b2=a2c2=1，椭圆E的方程为：；（），消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，直线l与椭圆有两个交点，16k2m24（1+2k2）（2m22）0，可得m21+2k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，AB中点的横坐标为x0=，AB中点的纵坐标为y0=kx0+m=，AB的中点D（，），设AB中垂线l的方程为：y=（x），D在l上，D点坐标代入l的方程可得，m=，将m21+2k2代入解得，k或k，实数k的取值范围是（）（）【点评】本题主要考查椭圆的简单性质：离心率，同时考查直线与椭圆相交的位置关系，注意联立方程，消去一个未知数，运用二次方程的韦达定理，注意判别式必须大于0
