1、2016-2017学年江西省南昌二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的1已知两直线xkyk=0与y=k（x1）平行，则k的值为（）A1B1C1或1D22抛物线y=x2的准线方程是（）Ay=1By=2Cx=1Dx=23椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）ABC2D44如果实数x、y满足x2+y26x+8=0，那么最大值是（）ABC1D5设P是圆（x3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A6B4C3D26若直线l：ax+by=0与
2、圆C：（x2）2+（y+2）2=8相交，则直线l的倾斜角不等于（）ABCD7直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）AB1b1或CD8已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若PF1F2的面积为9，则b的值为（）A3B2C4D99已知直线l1：axy+1=0与l2：x+ay+1=0，给出如下结论：不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（1，0）；不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）其中正确的结论有（）ABCD10已知F是椭圆+=
3、1（ab0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PFx轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）ABCD11如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l作垂线，垂直为B，若|AB|=|BF|，则抛物线的标准方程是（）Ay2=xBy2=xCy2=2xDy2=4x12已知F1，F2分别是椭圆+=1（ab0）的左，右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点过椭圆的右焦点F2的直线交椭圆于C，D两点F1CD的周长为8，且直线AC，BC的斜率之积为则椭圆的方程为（）A +y2=1B +=1C +y2=1D +=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知过点P（4，
4、3）的光线，经x轴上一点A反射后的光线过点Q（0，5）则点A的坐标为14过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为15抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0的距离的最小值是16已知F是椭圆C： +=1的右焦点，P是C上一点，A（2，1），当APF周长最小时，其面积为三、解答题：本大题共6题，共70分17已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方（）求圆C的方程；（）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，求直线l1的方程18已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的
5、直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8（）求抛物线C的方程；（）设直线l为抛物线C的切线且lMN，求直线l的方程19已知F1，F2是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若椭圆的离心率等于（1）求直线AO的方程（O为坐标原点）；（2）直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程20已知经过点A（4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p0）相交于B、C，当直线l的斜率是时，（）求抛物线G的方程；（）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围21已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，椭圆C的一个短轴端点与抛物线x2=4y的
6、焦点重合（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程22已知椭圆C方程为+=1，已知P（2，3）、Q（2，3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点（1）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（2）当A、B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由2016-2017学年江西省南昌二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的1已知两直线xkyk=0与y=k（x1）平行，则k的值为（）A
7、1B1C1或1D2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】直线xkyk=0即 y=x1，k0，再根据两直线的斜率相等，但在y轴上的截距不相等，求出k的值【解答】解：由于直线xkyk=0与直线y=k（x1）的斜率都存在，直线xkyk=0即 y=x1，k0，由两直线平行的性质可得，k2=1，且 k1解得 k=1，故选B2抛物线y=x2的准线方程是（）Ay=1By=2Cx=1Dx=2【考点】抛物线的简单性质【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，=1，准线方程 y=1故选
8、：A3椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）ABC2D4【考点】椭圆的简单性质【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，故选 A4如果实数x、y满足x2+y26x+8=0，那么最大值是（）ABC1D【考点】直线和圆的方程的应用【分析】将圆的方程化为标准方程为：（x3）2+y2=1，的几何意义是圆上点（x，y）与（1，0）连线的斜率，利用相切位置直线的斜率，即可得到结论【解答】解：将圆的方程化为标准方程为：（x3）2+y2=1的几何意义是圆上点（x，
9、y）与（1，0）连线的斜率由于圆的半径为1，所以过点（1，0）的直线与圆相切时，直线的倾斜角为30或150，此时直线的斜率为或根据图形可知最大值是故选B5设P是圆（x3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A6B4C3D2【考点】直线与圆的位置关系【分析】过圆心A作AQ直线x=3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由此能求出|PQ|的最小值【解答】解：过圆心A作AQ直线x=3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A（3，1），半径r=2，则|PQ|=|AQ|r=62=4故选：B6若直线l：ax+by=0与圆C：（x2）2+（y+2）2=8相交，
10、则直线l的倾斜角不等于（）ABCD【考点】直线与圆的位置关系【分析】因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，利用圆心到该直线的距离小于圆的半径得到关于a和b的关系式，即可得出结论【解答】解：由圆x2+y24x+4y=0得到圆心坐标为（2，2），半径为2，因为直线与圆相交，所以圆心到该直线的距离d=2，两边平方得出a2+b2+2ab0，（a+b）20，所以ab因为k=，所以k1，所以直线l的倾斜角不等于故选：C7直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）AB1b1或CD【考点】直线与圆相交的性质【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且
11、仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1），分别求出b，则b的范围可得【解答】解：化简得x2+y2=1注意到x0 所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一四象限这样很容易画出图来，这样因为直线与其只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1）分别算出三个情况的B值是：，1，1因为B就是直线在Y轴上的截距了，所以看图很容易得到B的范围是：1b1或b=故选B8已知F1，F2是椭圆C：的两个焦
12、点，P为椭圆C上的一点，且，若PF1F2的面积为9，则b的值为（）A3B2C4D9【考点】椭圆的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由椭圆的定义知+=2a，依题意， +=4c2，对式两端平方后与联立可得，再由PF1F2的面积为9，即可求得b的值【解答】解：+=2a，+2=4a2；又，+=4c2，得：2=4（a2c2）=4b2，=b2，PF1F2的面积为9，=b2=9，b0，b=3故选A9已知直线l1：axy+1=0与l2：x+ay+1=0，给出如下结论：不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（1，0）；不论a为何值时，l1与l2都
13、关于直线x+y=0对称；当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）其中正确的结论有（）ABCD【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】l1与l2垂直时，利用两直线垂直的充要条件可判断；对于直线l1与l2分别令x=0，y=0，即可知直线恒过定点；在l1上任取点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（ax1，x），代入l2：x+ay+1=0的左边，可得不为0，故可判断；联立方程，消去参数，由方程可确定l1与l2的交点轨迹【解答】解：a11a=0恒成立，l1与l2垂直恒成立，故正确；直线l1：axy+1=0，当a变化时，x=0，y=1恒成立，所以l1经过定点
14、A（0，1）；l2：x+ay+1=0，当a变化时，y=0，x=1恒成立，所以l2经过定点B（1，0），故正确在l1上任取点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（ax1，x），代入l2：x+ay+1=0的左边，显然不为0，故不正确；联立直线l1：axy+1=0与l2：x+ay+1=0，消去参数a可得：x2+x+y2y=0（x0，y0），当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点），故正确故选：B10已知F是椭圆+=1（ab0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PFx轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】令x=
15、c，代入椭圆方程，解得|PF|，再由|AF|=a+c，列出方程，再由离心率公式，即可得到【解答】解：由于PFx轴，则令x=c，代入椭圆方程，解得，y2=b2（1）=，y=，又|PF|=|AF|，即=（a+c），即有4（a2c2）=a2+ac，即有（3a4c）（a+c）=0，则e=故选B11如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l作垂线，垂直为B，若|AB|=|BF|，则抛物线的标准方程是（）Ay2=xBy2=xCy2=2xDy2=4x【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的基本概念与正三角形的性质，利用解直角三角形算出|BF|=2p，由ABy轴，可得3+=
16、2p，求出p，即可求出抛物线的标准方程【解答】解：由题意，ABF为等边三角形，设直线l交x轴于点C，ABl，lx轴，ABx轴，可得BFC=ABF=60，RtBCF中，|CF|=|BF|cos60=p，解得|BF|=2p，由ABy轴，可得3+=2p，p=2，抛物线的标准方程是y2=4x故选：D12已知F1，F2分别是椭圆+=1（ab0）的左，右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点过椭圆的右焦点F2的直线交椭圆于C，D两点F1CD的周长为8，且直线AC，BC的斜率之积为则椭圆的方程为（）A +y2=1B +=1C +y2=1D +=1【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【分析】由F1CD的周长为8
17、，可得4a=8，解得a=2设C（x1，y1），可得，由于直线AC，BC的斜率之积为，可得=，代入化简可得b2即可得出【解答】解：F1CD的周长为8，4a=8，解得a=2设C（x1，y1），则，直线AC，BC的斜率之积为，=，+=0，化为： +=0，可得b2=1椭圆的标准方程为： +y2=1故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知过点P（4，3）的光线，经x轴上一点A反射后的光线过点Q（0，5）则点A的坐标为（，0）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】根据反射光线的性质可知P（4，3）在直线AQ上，利用两点式求出直线AQ的方程，即可得出A点坐标【解答】解：由光线的反射角
18、与入射角相等可知，点P（4，3）关于x轴对称点P（4，3）在直线AQ上，直线AQ的方程为 =，即2x+y5=0，令y=0，解得x=，点A的坐标为（，0），故答案为：（，0）14过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为2x+y3=0【考点】圆的切线方程【分析】求出以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程【解答】解：圆（x1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程为（x2）2+（y）2=，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+y3=0，故答案为：2x+y3=01
19、5抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0的距离的最小值是【考点】抛物线的简单性质【分析】先对y=x2求导得到与直线4x+3y8=0平行的切线的切点坐标，再由点到线的距离公式可得答案【解答】解：先对y=x2求导得y=2x令y=2x=易得x0=即切点P（，）利用点到直线的距离公式得d=故答案为：16已知F是椭圆C： +=1的右焦点，P是C上一点，A（2，1），当APF周长最小时，其面积为4【考点】椭圆的简单性质【分析】利用椭圆的定义，确定APF周长最小时，P的坐标，即可求出APF周长最小时，该三角形的面积【解答】解：椭圆C： +=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F（4，0），右焦点为F（
20、4，0）APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a|PF|）=|AF|+|AP|PF|+2a|AF|AF|+2a，当且仅当A，P，F三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小此时直线AF的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），故SAPF=SPFFSAFF=2818=4故答案为：4三、解答题：本大题共6题，共70分17已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方（）求圆C的方程；（）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，求直线l1的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）设圆心C
21、（a，0），（a），由题意结合点到直线的距离公式列式求得a值，则圆的方程可求；（）由垂径定理可得圆心C到直线l1 的距离，然后分直线l1 的斜率存在与不存在分类求解得答案【解答】解：（）设圆心C（a，0），（a），则，解得a=0或a=5（舍），圆C：x2+y2=4；（）由题意可知圆心C到直线l1 的距离为，若直线l1 斜率不存在，则直线l1：x=1，圆心C到直线l1的距离为1；若直线l1斜率存在，设直线l1：y1=k（x1），即kxy+1k=0，则，解得k=0，直线l1：y=1综上直线l1 的方程为x=1或y=118已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线
22、相交于M，N两点，且|MN|=8（）求抛物线C的方程；（）设直线l为抛物线C的切线且lMN，求直线l的方程【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）由题可知直线MN的方程为：y=x，代入y2=2px 化简，利用韦达定理以及抛物线的定义、|MN|=8求得p的值，可得抛物线的方程（2）设l方程为y=x+b，代入y2=4x 化简，再利用判别式=0，解得b的值，可得l的方程【解答】解：（1）由题可知F（，0），则该直线MN的方程为：y=x，代入y2=2px，化简可得x23px+=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1=x2=3p|MN|=8，有x1+x2+p=8，解得p=2，抛物线的方程为：y2
23、=4x（2）设l方程为y=x+b，代入y2=4x，可得x2+（2b4）x+b2=0，因为l为抛物线C的切线，=0，解得b=1，l的方程为：y=x+119已知F1，F2是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若椭圆的离心率等于（1）求直线AO的方程（O为坐标原点）；（2）直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程【考点】椭圆的简单性质；直线的一般式方程；椭圆的标准方程【分析】（1）根据椭圆的离心率e=，即，可得，因此设椭圆方程为x2+2y2=a2再设点A（x0，y0），因为向量、的数量积为0，得到AF2、F1F2互相垂直，所以x0=c，将A（c，
24、y0），代入椭圆方程，化简可得，得到A的坐标，从而得到直线AO的斜率为，最后根据直线AO过原点，得直线AO的方程为y=x；（2）连接AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知：SABF1=SABF2=SAF1F2，可用AF1F2的面积列式，解之得a2=16，c2=a2=8，所以b2=a2c2=8，最终得到椭圆方程为【解答】解：（1），AF2F1F2，又椭圆的离心率e=，可得，设椭圆方程为x2+2y2=a2，设A（x0，y0），由AF2F1F2，得x0=cA（c，y0），代入椭圆方程，化简可得（舍负）A（，），可得直线AO的斜率因为直线AO过原点，故直线AO的方程为y=x（2）连接AF1
25、，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知：SABF1=SABF2=SAF1F2，SAF1F2=2cyA=4，即ac=4又a2=4，解之得a2=16，c2=a2=8，b2=a2c2=8，故椭圆方程为20已知经过点A（4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p0）相交于B、C，当直线l的斜率是时，（）求抛物线G的方程；（）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，由根据求得y2=4y1，最后联立方程求得y1，y2和p，则抛物线的方
26、程可得（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2，进而求得x0，利用直线方程求得y0，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围【解答】解：（）直线l的斜率是时，直线BC的方程为：x=2y4，设B（x1，y1），C（x2，y2），整理得：2y2（8+p）y+8=0，由韦达定理可知：y1+y2=，y1y2=4，由则y1=4y2，由p0，解得：y1=1，y2=4，p=2，抛物线G：x2=4y；（）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0，y0）由，整理得：x24kx16k=0，由韦达定理可
27、知：x1+x2=2k，则x0=2k则y0=k（x0+4）=2k2+4k，BC的中垂线方程为y（2k2+4k）=（x2k），BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2，对于方程由=16k2+64k0，解得：k0或k4b的取值范围（2，+）21已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，椭圆C的一个短轴端点与抛物线x2=4y的焦点重合（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），则b=1，根据离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆的标准方程；（2
28、）椭圆右焦点为由若直线AB的斜率不存在，代入不成立，当斜率存在，直线AB的方程为代入抛物线方程，由韦达定理及向量数量积的坐标表示，即可求得k的值，求得直线直线l方程【解答】解：（1）由题意：椭圆C： =1（ab0）焦点在x轴上，由抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），椭圆的离心率e=1，解得：a=2，椭圆方程为；（2）由（1）知a2=4，b2=1，则，椭圆右焦点为以AB为直径的圆过原点，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为直线AB交椭圆于两点，不合题意若直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：由于直线AB过椭圆右焦点，可知0由
29、韦达定理可知：，由，即，可得直线l方程为22已知椭圆C方程为+=1，已知P（2，3）、Q（2，3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点（1）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（2）当A、B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入+=1中整理得到二次方程，运用韦达定理，再由四边形APBQ的面积S=|PQ|x1x2|，即可得到最大值；（2）当APQ=BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，将PA、P
30、B的直线方程分别代入椭圆方程，然后运用韦达定理，求出x1，x2，再由而kAB=化简即可得到定值【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入+=1中整理得x2+tx+t212=0，04t4，x1+x2=t，x1x2=t212，则四边形APBQ的面积S=|PQ|x1x2|=6|x1x2|=3，故当t=0时Smax=12；（2）当APQ=BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，PA的直线方程为y3=k（x2），代入+=1中整理得（3+4k2）x2+8（32k）kx+4（32k）248=0，2+x1=，同理2+x2=，x1+x2=，x1x2=，从而kAB=，即直线AB的斜率为定值2017年1月15日
