1、2016-2017学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1命题：“x00，使2（x0a）1”，这个命题的否定是（）Ax0，使2x（xa）1Bx0，使2x（xa）1Cx0，使2x（xa）1Dx0，使2x（xa）12“cos=0”是“sin=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知直线（t为参数）上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|等于（）A|t1+t2|B|t1t2|C |t1t2|D4用数学归纳法证明12+22+（n1）2+n2+（n1）2+22+12时，由n=k的假设到证明n
2、=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A（k+1）2+2k2B（k+1）2+k2C（k+1）2D5直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A4B4C2D26若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点且AOB=120则r=（）A1B2CD7过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）Ae2BCeD8若函数y=x2+（2a1）x+1在区间（，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）A，+）B（，C，+）D（，9函数在R上不是单调增函数则b范围为（）A（1，2）B（，12，+）C1，2D（，1）（2，+）10设函数则使f（2x）f（x1）成立的x范围为
3、（）ABCD11已知双曲线（a0，b0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2若直线AB过原点，则k1k2的值为（）A2B3CD12设函数f（x）在R上存在导数f（x），对任意的xR，有f（x）+f（x）=x2，且x（0，+）时，f（x）x若f（2a）f（a）22a，则实数a的取值范围为（）A1，+）B（，1C（，2D2，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13化极坐标方程2cos=0为直角坐标方程为14定积分|sinxcosx|dx的值是15设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个
4、公共点，且满足|1+2|=|，则=16数列an的前n项和为Sn若数列an的各项按如下规则排列：，若存在正整数k，使Sk110，Sk10，则ak=三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围18已知，试用反证法证明：a，b，c中至少有一个不小于119给定直线l：y=2x16，抛物线G：y2=ax（a0）（1）当抛物线G的焦点在直线l上时，求a的值；（2）若ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线G上，且点A的纵坐标yA=8，ABC的重心恰是抛物线G的
5、焦点F，求直线BC的方程20已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2+1（）讨论函数f（x）的单调性；（）若对任意不相等的x1，x2（0，+），恒有|f（x1）f（x2）4|x1x2|成立，求非负实数a的取值范围21已知椭圆+=1（ab0），其右顶点为 A（2，0），上、下顶点分别为 B1，B2直线 A B2的斜率为，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于 M，N两点（ M，N均在y轴右侧）（）求椭圆的方程；（）设四边形 M N B1 B2面积为S，求S的取值范围22设函数f（x）=ax+（a，bR），若f（x）在点（1，f（x）处的切线斜率为1（）用a表示b；（）设g（x）=lnxf（x），若g（x
6、）1对定义域内的x恒成立，（）求实数a的取值范围；（）对任意的0，），证明：g（1sin）g（1+sin）2016-2017学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1命题：“x00，使2（x0a）1”，这个命题的否定是（）Ax0，使2x（xa）1Bx0，使2x（xa）1Cx0，使2x（xa）1Dx0，使2x（xa）1【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题的否定为x0，使2x（xa）1，故选：B2“cos=0”是“sin=1”的（）A充
7、分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由cos=0可得=k+（kZ），即可判断出结论【解答】解：cos=0可得=k+（kZ），sin=1，反之成立，“cos=0”是“sin=1”的必要不充分条件故选：B3已知直线（t为参数）上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|等于（）A|t1+t2|B|t1t2|C |t1t2|D【考点】参数方程化成普通方程【分析】设A（x0+at1，y0+bt1），B（x0+at2，y0+bt2），利用两点之间的距离公式即可得出【解答】解：设A（x0+at1，y0+bt1），B（x0+a
8、t2，y0+bt2），则|AB|=|t1t2|故选：C4用数学归纳法证明12+22+（n1）2+n2+（n1）2+22+12时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A（k+1）2+2k2B（k+1）2+k2C（k+1）2D【考点】数学归纳法【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+（k1）2+k2+（k1）2+22+12n=k+1时，左边=12+22+（k1）2+k2+（k+1）2+k2+（k1）2+22+12比较两式，从而等式左边应添
9、加的式子是（k+1）2+k2故选B5直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A4B4C2D2【考点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意首先求出第一象限的交点，然后利用定积分表示围成的图形的面积，然后计算即可【解答】解：先根据题意画出图形，两个图形在第一象限的交点为（2，8），所以曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是02（4xx3）dx，而02（4xx3）dx=（2x2x4）|02=84=4曲封闭图形的面积是4，故选B6若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点且AOB=120则r=（）A1B2CD【考点】直线与圆的位置关系【
10、分析】若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两点，AOB=120，则AOB为顶角为120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案【解答】解：若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB=120，则圆心（0，0）到直线3x4y+5=0的距离d=r，即=r，解得r=2，故选B7过原点作曲线y=lnx的切线，则切线斜率为（）Ae2BCeD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（
11、0，0），求切点坐标，切线的斜率【解答】解：解：设切点坐标为（a，lna），y=lnx，y=，切线的斜率是，切线的方程为ylna=（xa），将（0，0）代入可得lna=1，a=e，切线的斜率是=；故选：D8若函数y=x2+（2a1）x+1在区间（，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）A，+）B（，C，+）D（，【考点】函数单调性的性质【分析】由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案【解答】解：函数y=x2+（2a1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又函数在区间（，2上
12、是减函数，故2解得a故选B9函数在R上不是单调增函数则b范围为（）A（1，2）B（，12，+）C1，2D（，1）（2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】三次函数y=x3+bx2+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题【解答】解：y=x3+bx2+（b+2）x+3，y=x2+2bx+b+2，f（x）是R上的单调增函数，x2+2bx+b+20恒成立，0，即b2b20，则b的取值是1b2y=x3+bx2+（b+2）x+3在R上不是单调增函数，实数b取值范围是b1或b2，故选：D10设函数则使f（2x）f（x1）成立的x范围为（）ABCD【
13、考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|2x|x1|，解绝对值不等式即可【解答】解：函数，定义域为R，f（x）=f（x），函数f（x）为偶函数，当x0时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（2x）f（x1）成立，|2x|x1|，4x2（x1）2，（3x1）（x+1）0x的范围为，故选：A11已知双曲线（a0，b0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2若直线AB过原点，则k1k2的值为（）A2B3CD【考点】
14、直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质【分析】设出M、A、B，表示出k1k2，M、A、B代入双曲线方程并化简，代入双曲线的离心率乘积，求出k1k2的值【解答】解：因为过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2若直线AB过原点，所以A、B关于原点对称，设M（p，q），A（p，q），B（s，t），则有k1k2=，两式相等得：，即， =，k1k2=221=3故选B12设函数f（x）在R上存在导数f（x），对任意的xR，有f（x）+f（x）=x2，且x（0，+）时，f（x）x若f（2a）f（a）22a，则实数a的取值范围为（）A1，+）B（，1C（，2D2
15、，+）【考点】导数的运算【分析】令g（x）=f（x）x2，由g（x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2a）f（a）22a，即g（2a）g（a），可得 2aa，由此解得a的范围【解答】解：f（x）+f（x）=x2，f（x）x2 +f（x）x2 =0，令g（x）=f（x）x2，g（x）+g（x）=f（x）x2+f（x）x2=0，函数g（x）为奇函数x（0，+）时，f（x）xx（0，+）时，g（x）=f（x）x0，故函数g（x）在（0，+）上是增函数，故函数g（x）在（，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数f（2a）f（a）
16、22a，等价于f（2a）f（a），即g（2a）g（a），2aa，解得a1，故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13化极坐标方程2cos=0为直角坐标方程为x2+y2=0或x1=0【考点】点的极坐标和直角坐标的互化【分析】由极坐标方程2cos=0可得=0或cos1=0，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出【解答】解：由极坐标方程2cos=0可得=0或cos1=0，=0表示原点O（0，0）由cos1=0，化为x1=0综上可知：所求直角坐标方程为x2+y2=0或x1=014定积分|sinxcosx|dx的值是2【考点】定积分【分析】由题意可得|sinxcosx|dx=（co
17、sxsinx）dx+（sinxcosx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可【解答】解： |sinxcosx|dx=（cosxsinx）dx+（sinxcosx）dx，=（sinx+cosx）|+（cosxsinx）|，=（sin+cos）（sin0+cos0）（sin+cos（sin+cos），=（1）（1），=2，故答案为：215设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|1+2|=|，则=【考点】椭圆的标准方程【分析】设出椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，它们的半焦距，利用椭圆的和双曲线的定义可得焦半径，写出两个曲线的离心率，即可得到结果【
18、解答】解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距都是c并设|PF1|=m，|PF2|=n，mn，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，mn=2a2，解得m=a1+a2，n=a1a2设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c并设|PF1|=m，|PF2|=n，mn，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，mn=2a2，解得m=a1+a2，n=a1a2，|1+2|=|，即2|PO|=2|OF2|，故PF1F2 为直角三角形，PF1PF2，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2 ，可得（a1+a2）2+（a1a2）2=（2c）2，化简可得
19、a12+a22=2c2，+=2，=，故答案为：16数列an的前n项和为Sn若数列an的各项按如下规则排列：，若存在正整数k，使Sk110，Sk10，则ak=【考点】归纳推理【分析】把原数列划分，发现他们的个数是1，2，3，4，5构建新数列bn，很显然是个等差数列，利用等差数列的和知道T5=，T6=，所以ak定在，中，在根据Sk110，Sk10求出具体结果【解答】解：把原数列分组，分母相同的为一组，发现他们的个数是1，2，3，4，5构建新数列bn，表示数列中每一组的和，则bn=是个等差数列，记bn的前n项和为Tn，利用等差数列的和知道T5=，T6=，所以ak定在，中，又因为Sk110，Sk10，
20、而T5+=9+10，T5+=10+10，故第k项为ak=故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，进而可得实数m的取值范围【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，0m+13m，解得：1m1，若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（1，1）；若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式=4m24（2m+3）0，即m22m3
21、0，得1m3若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1m3综上，实数m的取值范围是1，3）18已知，试用反证法证明：a，b，c中至少有一个不小于1【考点】反证法与放缩法【分析】假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1则有a+b+c3，再结合配方法，引出矛盾，即可得出结论【解答】证明：假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1则有a+b+c3，而矛盾，所以原命题成立19给定直线l：y=2x16，抛物线G：y2=ax（a0）（1）当抛物线G的焦点在直线l上时，求a的值；（2）若ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线G上
22、，且点A的纵坐标yA=8，ABC的重心恰是抛物线G的焦点F，求直线BC的方程【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（1）由抛物线G：y2=ax（a0）的焦点在x轴上，且其坐标为，对方程y=2x16，令y=0得x=8，可得，解得a（2）由（1）知：抛物线G的方程是y2=32x，F（8，0）点A在抛物线G上，且yA=8，可得A（2，8）延长AF交BC于点D，则由点F是ABC的重心得：点D为线段BC的中点设点D（x，y），由，可得：D设B（x1，y1），C（x2，y2），由点B，C在抛物线y2=32x上得：代入抛物线方程相减得：，进而得出【解答】解：（1）抛物线G：y2=ax（a0）的焦点在x轴上，
23、且其坐标为，对方程y=2x16，令y=0得x=8，从而由已知得，a=32（2）由（1）知：抛物线G的方程是y2=32x，F（8，0）又点A在抛物线G上，且yA=8，A（2，8）延长AF交BC于点D，则由点F是ABC的重心得：点D为线段BC的中点设点D（x，y），则由得（82，08）=2（x8，y0），解之得：D（11，4）设B（x1，y1），C（x2，y2），则由点B，C在抛物线y2=32x上得：，两式相减得：，又由点D为线段BC的中点得y1+y2=8，kBC=4直线BC方程为y（4）=4（x11），即4x+y40=020已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2+1（）讨论函数f（x）的单调性
24、；（）若对任意不相等的x1，x2（0，+），恒有|f（x1）f（x2）4|x1x2|成立，求非负实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）先求函数的定义域，再求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性即可求函数的单调区间；（）不妨设x1x2，转化为（x1）4x1f（x2）4x2恒成立，构造函数，利用导数和函数的最值的关系即可求出a的取值范围【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），当a+10时，f（x）0恒成立，当a1时，y=f（x）在区间（0，+）单调递增，当a+10时，若x，f（x）0，若0x，f（x）0，当a1时，函数y=f（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+）
25、上单调递增，（）不妨设x1x2，又a0，y=f（x）在区间（0，+）上单调递增|f（x1）f（x2）|4|x1x2|恒成立，等价于f（x1）f（x2）4x14x2恒成立，即就是f（x1）4x1f（x2）4x2恒成立令g（x）=f（x）4x，x（0，+），则y=g（x）为单调递增函数即就是g（x）0恒成立，令h（x）=2x24x+a+1，x（0，+），h（x）min=h（1）=a1，a1，故a的取值范围为1，+）21已知椭圆+=1（ab0），其右顶点为 A（2，0），上、下顶点分别为 B1，B2直线 A B2的斜率为，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于 M，N两点（ M，N均在y轴右侧）（）求椭圆的
26、方程；（）设四边形 M N B1 B2面积为S，求S的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）因为a=2，所以b=1，可求得椭圆方程（）设M（x1，y1）N（x2，y2），直线MN方程为x=my+，将直线x=my+代入椭圆方程得（m2+4）y2+2my1=0，求得面积，利用均值不等式求得取值范围【解答】解：（）因为a=2，所以b=1，所以椭圆方程为；（）设M（x1，y1）N（x2，y2），直线MN方程为x=my+，将直线x=my+代入椭圆方程得（m2+4）y2+2my1=0，则y1+y2=，|y1y2|=x10，x20，；面积S=；令t=，则=，即S所以四边形MNB
27、1B2面积S的取值范围为S22设函数f（x）=ax+（a，bR），若f（x）在点（1，f（x）处的切线斜率为1（）用a表示b；（）设g（x）=lnxf（x），若g（x）1对定义域内的x恒成立，（）求实数a的取值范围；（）对任意的0，），证明：g（1sin）g（1+sin）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）由f（1）=1可得结果；（）（）g（x）1恒成立，等价于g（x）max1由g（1）+10可得a的范围，利用导数可求得函数的最大值，可验证此时满足要求，从而得到a的范围（ii）由（）知，g（x）1恒成立，实数a的取值范围为a1，令sin=t0，1），
28、构造函数p（t）=g（1+t）g（1t），只需证明p（t）0恒成立，利用导数进而转化为求函数p（t）的最小值问题，利用导数可求得；【解答】解：（）函数的导数为f（x）=a，因为f（x）在点（1，f（x）处的切线斜率为1，所以f（1）=ab=1，解得b=a1；（）因为g（x）=lnxf（x），所以g（x）=lnxf（x）=lnx（ax+），要使g（x）11恒成立则（）g（x）1恒成立，等价于g（x）max1g（x）1恒成立，则g（1）+1=aa+1+10a1当a1时， =0x=1，x=1+，1+0，x2g（x）0，则x（0，1），g（x）0，g（x）单调递增，当x（1，+），g（x）0，g（x）
29、 单调递减，则g（x）max=g（1）=12a1，符合题意，即g（x）1恒成立所以，实数a的取值范围为a1（）由（）知，g（x）1恒成立，实数a的取值范围为a1令sin=t0，1），考虑函数p（t）=g（1+t）g（1t）=ln（1+t）a（1+t）=ln（1+t）ln（1t）2at（a1），+=2a+（a1），下证明p（t）0，即证：2a+（a1）0，即证明，由，即证1a+（a1）0，又a10，只需证1+0，即证1+t2（1+t）2（1t）2t43t20t2（t23）0，显然成立故p（t）在t0，1）上单调递增，p（t）min=p（0）=0，则p（t）0，得g（1+t）g（1t）成立，则对任意的0，），g（1sin）g（1+sin）成立2017年3月11日