1、1.1.2 余弦定理 第一章 解三角形 目标定位【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题【重、难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.学习目标和重难点知识链接1.三角形全等的判定条件有哪些？2.为什么“角角边”与“角边角”都能证明三角形全等，而“边边角”不能？答：角角边，角边角，边角边，边边边.答：“角角边”与“角边角”是“两角任一边”的题型，它们的解是唯一的，因而可以作为三角形全等的判定条件；“边边角”即“两边一对角”的题型，这种题型可能有两组解，即它不能唯
2、一确定三角形，因而不是三角形全等的判定条件.自主探究（一）要点识记余弦定理:三角形中任何一边的_等于其他两边的_减去这两边与它们的_的积的两倍.即2=2+2 2cos；2=2+2 2cos；2=2+2 2cos平方平方的和余弦余弦定理的推论：cos=_；cos=_；cos=_.2+2 222+2 222+2 22自主探究答：若已知三角形的两条边及其夹角，可求第三条边，该题型简记为“两边一夹角”若已知三角形的三条边，可求任意一个角，该题型简记为“三边都已知”（二）深层探究1.余弦定理可以解决哪几种解三角形的问题？自主探究答：（1）能判定是钝角三角形；（2）不能判定是锐角三角形，只能说明是锐角.（
3、二）深层探究2.在中.（1）若2+2 2，能否判定是锐角三角形？自主探究分析：由于涉及边长问题，可以考虑“坐标法（解析法）”和“三角法（主要指相似、全等和勾股定理）”.（三）拓展探究1.教材中用_法证明了余弦定理，你还有其它证明方法吗？向量法自主探究（三）拓展探究方法1（坐标法）如图，以为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点的坐标为(,0)，点的坐标为_，根据两点间距离公式，有=cos 2+(sin)2，即2=cos 2+(sin)2，整理得2=2+2 2cos.同理可得其它两个结论.(cos,sin)自主探究（二）余弦定理的其他证法方法2（三角法）（1）当三角形是锐角三角形时，如
4、图，=sin,=cos在中，根据勾股定理，有2=2+2=sin 2+(2bcos)2,整理可得2=cos 2+(sin)2.同理可得其它两个结论.（2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.自主探究（三）拓展探究问题3.从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？答：有关联.当三角形的两边夹角为90时，余弦定理即为勾股定理，而且自主探究（三）深层探究(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边 所对的角是锐角；(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；(
5、3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.因而余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例自主探究（三）深层探究3.你能用余弦定理解释为什么“边角边”与“边边边”可以判定三角形全等吗？答：“边角边”是解三角形中的“两边一夹角”的题型，“边边边”则是“三边已知”的题型，这两种题型的解都是唯一的，即它们都能唯一确定三角形，因而可以为判定三角形全等的条件.典例突破（一）“两边一夹角”型三角形例1.在中，若=2，=2 2，=15，解此三角形【解析】方法1）cos=cos15=6+24，sin=sin15=6 24 由余弦定理得2=2+2 2cos=4+8 2 2
6、6+2=8 4 3 =6 2典例突破（一）“两边一夹角”型三角形 又 为锐角又 由正弦定理得 sin=sin=26 2 6 24=12 =30 =180 =135典例突破（一）“两边一夹角”型三角形方法2）cos=cos15=6+24，sin=sin15=6 24 由余弦定理得2=2+2 2cos=4+8 2 2 6+2=8 4 3 =6 2 cos=2+222=32又 0 180 =30 =180 =135典例突破（一）“两边一夹角”型三角形【解题反思】在已知三边和一角的情况下，求解另一角既可以应用“余弦定理的推论”，也可以应用“正弦定理”.二者的区别是什么？答：若应用“余弦定理的推论”，虽
7、可根据“所求角”的余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算复杂.若应用“正弦定理”，则需先现根据边的大小确定角的大小.所以，通常采取“选择正弦定理去计算较小的边所对的角，既简便，又避免了进一步的讨论”.典例突破（二）“三边都已知”型三角形例2在中，已知三边长为3，4，37求三角形的最大内角【解析】设边长为 3，4，37 的三条边所对的角分别为,，则 .由余弦定理得cos=2+222=12又 0 180 =120，即三角形的最大角为120典例突破（二）“三边都已知”型三角形变式2.在边长为5，7，8 的三角形中，最大角与最小角之和为_【解析】设边长为5，7，8的三条边所对的角分别为,，则 ，由余弦定理得cos=2+222=12又 0 180 =60 +=120，即最大角与最小角之和为120典例突破（三）判断三角形形状例3.已知 的三条边分别为2，3，4，则该三角形的形状是_.【解析】中，对大边 4 所对角的余弦值为22+3242223=14 2+2 2 12+22 2 0,解得 5 3 的取值范围是5，35，3同学们，再见！
