1、专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。【重点知识梳理】知识点一 函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x
2、0为极小值点知识点四 函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条
3、件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【典型题分析】高频考点一 求函数的单调区间例1.【2019天津卷】设函数为的导函数，求的单调区间。【解析】由已知，有因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增所以，的单调递增区间为的单调递减区间为【答案】的单调递增区间为的单调递减区间为.【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)0或f(x)0求出单调区间(2)当方程f(x)0可解时，解出方程的实
4、根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定单调区间(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间【变式探究】【2019浙江卷】已知实数，设函数，当时，求函数的单调区间。【解析】当时，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）。【答案】的单调递增区间是,单调递减区间是；高频考点二 判断函数的单调性例2【2020全国卷】已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x3+1，求a的取值范围.【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2x，则=ex+
5、2x1故当x（，0）时，0所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增（2）等价于.设函数，则.（i）若2a+10，即，则当x（0，2）时，0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x（0，2）时，g（x）1，不合题意.（ii）若02a+12，即，则当x(0，2a+1)(2，+)时，g(x)0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)1当且仅当g(2)=(74a)e21，即a.所以当时，g(x)1.（iii）若2a+12，即，则g(x).由于，故由（ii）可得1.故当时，g(x)1.综上，a的取值范围
6、是.【举一反三】【2019全国卷】已知函数，讨论的单调性；【解析】令，得x=0或.若a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a0).当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x.高频考点五 已知函数的极(最)值求参数的取值范围例5. (2018北京卷)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围.【解析】因为f(x)ax2
7、(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是.【方法技巧】 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
8、【变式探究】(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1【解析】f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0，所以x1是函数f(x)的极小值点，则f(x)极小值为f(1)1.【答案】A高频考点六 利用导数研究函数的最值例6. (2018全国卷)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_【解析】f(x)2cos x2cos 2x2co
9、s x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当cos x时，f(x)0，f(x)单调递减；当cos x时，f(x)0，f(x)单调递增当cos x，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当sin x时，f(x)有最小值，即f(x)min2.【答案】【方法技巧】求函数f(x)在闭区间a，b内的最值的思路(1)若所给的闭区间a，b不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f(x)0在区间a，b内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最
10、小的一个是最小值(2)若所给的闭区间a，b含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值【变式探究】(2020广东湛江一中模拟)已知函数f(x)axln x，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数.f(x)maxf(1)1.当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1.(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10，不合题意.若a0得a0，结合x(0，e，解得0x；令f(x)0得a0，结合x(0，e，解得xe.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，f(x)maxf1ln.令1ln3，得ln2，即ae2.e20，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，当t(2，8)时，V(t)0，从而V(t)在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V(0)8 640，V(8)3 520，所以当t8时，V(t)有最小值3 520，此时金箍棒的底面半径为4 cm。