1、一填空题（共 3 小题）01-初二数学：全等模型（一）1如图所示，在平面坐标系中 B（3，1），AB=OB，ABO=90，则点 A 的坐标是 2把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，如图，已知直角 顶点 H 的坐标为（0，2），另一个顶点 G 的坐标为（6，6），则点 K 的坐标为 3如图，在ABC 中，分别以 AC、BC 为边作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE， 连接 AE、BD 交于点 O，则AOB 的度数为 二解答题（共 5 小题）4如图，已知 CA=CB，点 E，F 在射线 CD 上，满足BEC=CFA，且BEC+ECB+ACF=180（1）求证：BCECAF；（
2、2）试判断线段 EF，BE，AF 的数量关系，并说明理由5如图（1），AB=4cm，ACAB，BDAB，AC=BD=3cm点 P 在线段 AB 上以1cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动它 们运动的时间为 t（s）（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t=1 时，ACP 与BPQ 是 否全等，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“ACAB，BDAB”为改“CAB=DBA=60”，其 他条件不变设点 Q 的运动速度为 x cm/s，是否存在实数 x，使得ACP
3、 与BPQ 全等？若存在，求出相应的 x、t 的值；若不存在，请说明理由6如图，BAD=CAE=90，AB=AD，AE=AC，AFCB，垂足为 F（1）求证：ABCADE；（2）求FAE 的度数；（3）求证：CD=2BF+DE7如图，BAD=CAE=90，AB=AD，AE=AC（1）证明：BC=DE；（2）若 AC=12，CE 经过点 D，求四边形 ABCD 的面积8如图，点 M 为锐角三角形 ABC 内任意一点，连接 AM、BM、CM以 AB为一边向外作等边三角形ABE，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN（1）求证：AMBENB；（2）若 AM+BM+CM 的值最小，
4、则称点 M 为ABC 的费尔马点若点 M 为ABC的费尔马点，试求此时AMB、BMC、CMA 的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图， 分别以ABC 的 AB、AC 为一边向外作等边ABE 和等边ACF，连接 CE、BF， 设交点为 M，则点 M 即为ABC 的费尔马点试说明这种作法的依据一填空题（共 3 小题）答案版1如图所示，在平面坐标系中 B（3，1），AB=OB，ABO=90，则点 A 的坐标是 （2，4） 【分析】过点 A 作 ACx 轴，过点 B 作 BDy 轴，两条直线相交于点 E，根据ASA 定理得出ABEBOD，故可得出 AC 及 DE 的
5、长，由此可得出结论【解答】解：如图，过点 A 作 ACx 轴，过点 B 作 BDy 轴，两条直线相交于 点 E，B（3，1），OD=3，BD=1DOB+OBD=90，OBD+ABE=90，BAE+ABE=90，BOD=ABE，OBD=BAE 在ABE 与BOD 中，ABEBOD（ASA），AE=BD=1，BE=OD=3，AC=ODAD=31=2，DE=BD+BE=1+3=4，A（2，4） 故答案为：（2，4）2把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，如图，已知直角顶点 H 的坐标为（0，2），另一个顶点 G 的坐标为（6，6），则点 K 的坐标为 （4，4） 【分析】根据余角的性质
6、，可得GHP=HKQ，根据全等三角形的判定与性质， 可得 KQ，HQ，根据线段的和差，可得 OQ，可得答案【解答】解：作 GPy 轴，KQy 轴，如图，GPH=KQH=90GH=KH，GHK=90，GHP+KHQ=90 又HKQ+KHQ=90GHP=HKQ 在GPH 和HQK 中，RtGPHRtKHQ（AAS），KQ=PH=62=4；HQ=GP=6QO=QHHO=62=4，K（4，4） 故答案为：（4，4）3如图，在ABC 中，分别以 AC、BC 为边作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE、BD 交于点 O，则AOB 的度数为 120 【分析】先证明DCBACE，再利用“8 字
7、型”证明AOH=DCH=60即可解 决问题【解答】解：如图：AC 与 BD 交于点 HACD，BCE 都是等边三角形，CD=CA，CB=CE，ACD=BCE=60，DCB=ACE， 在DCB 和ACE 中，DCBACE，CAE=CDB，DCH+CHD+BDC=180，AOH+AHO+CAE=180，DHC=OHA，AOH=DCH=60，AOB=180AOH=120 故答案为 120二解答题（共 5 小题）4如图，已知 CA=CB，点 E，F 在射线 CD 上，满足BEC=CFA，且BEC+ECB+ACF=180（1）求证：BCECAF；（2）试判断线段 EF，BE，AF 的数量关系，并说明理由
8、【分析】根据题意，结合图形可以证明BCECAF，即可解决问题【解答】证明：（1）BEC=CFA，BEC+ECB+ACF=180CFA+ACF+FAC=180，BCF=FAC， 在BCE 与CAF 中BCECAF（AAS）；（2）AF+EF=BE，理由如下：BCECAF，AF=CE，CF=BE，CE+EF=CF，AF+EF=BE5如图（1），AB=4cm，ACAB，BDAB，AC=BD=3cm点 P 在线段 AB 上以1cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动它 们运动的时间为 t（s）（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当
9、 t=1 时，ACP 与BPQ 是 否全等，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“ACAB，BDAB”为改“CAB=DBA=60”，其他条件不变设点 Q 的运动速度为 x cm/s，是否存在实数 x，使得ACP 与BPQ全等？若存在，求出相应的 x、t 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用 SAS 证得ACPBPQ，得出ACP=BPQ，进一步得出APC+BPQ=APC+ACP=90得出结论即可；（2）由ACPBPQ，分两种情况：AC=BP，AP=BQ，AC=BQ，AP=BP，建 立方程组求得答案即可【解答】解：（1）当 t=1
10、 时，AP=BQ=1，BP=AC=3， 又A=B=90，在ACP 和BPQ 中，ACPBPQ（SAS）ACP=BPQ，APC+BPQ=APC+ACP=90CPQ=90，即线段 PC 与线段 PQ 垂直（2）若ACPBPQ， 则 AC=BP，AP=BQ，则， 解得；若ACPBQP， 则 AC=BQ，AP=BP， 则，解得：；综上所述，存在或，使得ACP 与BPQ 全等6如图，BAD=CAE=90，AB=AD，AE=AC，AFCB，垂足为 F（1）求证：ABCADE；（2）求FAE 的度数；（3）求证：CD=2BF+DE【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出ABCADE 的条件；（2）根据（
11、1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到FAE 的度数；（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立【解答】证明：（1）BAD=CAE=90，BAC+CAD=90，CAD+DAE=90，BAC=DAE， 在BAC 和DAE 中，BACDAE（SAS）；（2）CAE=90，AC=AE，E=45， 由（1）知BACDAE，BCA=E=45，AFBC，CFA=90，CAF=45，FAE=FAC+CAE=45+90=135；（3）延长 BF 到 G，使得 FG=FB，AFBG，AFG=AFB=90， 在AFB 和AFG 中，AFBAFG（SAS），AB=AG，ABF=G，BAC
12、DAE，AB=AD，CBA=EDA，CB=ED，AG=AD，ABF=CDA，G=CDA，GCA=DCA=45， 在CGA 和CDA 中，CG=CD，CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，CD=2BF+DE7如图，BAD=CAE=90，AB=AD，AE=AC（1）证明：BC=DE；（2）若 AC=12，CE 经过点 D，求四边形 ABCD 的面积【分析】（1）求出BAC=EAD，根据 SAS 推出ABCADE，利用全等三角 形的性质证明即可；（2）由ABCADE，推出四边形 ABCD 的面积=三角形 ACE 的面积，即可得 出答案；【解答】（1）解：BAD=CAE=90，BAC+C
13、AD=EAD+CAD，BAC=EAD 在ABC 和ADE 中，ABCADE（SAS）BC=DE（2）ABCADE，SABC=SADE，S 四边形 ABCD=SABC+SACD=SADE+SACD=SACE=122=728如图，点 M 为锐角三角形 ABC 内任意一点，连接 AM、BM、CM以 AB为一边向外作等边三角形ABE，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN（1）求证：AMBENB；（2）若 AM+BM+CM 的值最小，则称点 M 为ABC 的费尔马点若点 M 为ABC的费尔马点，试求此时AMB、BMC、CMA 的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马
14、点的简便方法：如图，分别以ABC 的 AB、AC 为一边向外作等边ABE 和等边ACF，连接 CE、BF， 设交点为 M，则点 M 即为ABC 的费尔马点试说明这种作法的依据【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据 SAS 可证AMBENB；（2）连接 MN，由（1）的结论证明BMN 为等边三角形，所以 BM=MN，即 AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当 E、N、M、C 四点共线时，AM+BM+CM 的值 最小，从而可求此时AMB、BMC、CMA 的度数；（3）根据（2）中费尔马点的定义，又ABC 的费尔马点在线段 EC 上，同理也 在线段 BF 上因此线段 EC 与 BF 的交点即为ABC 的费尔马点【解答】解：（1）证明：ABE 为等边三角形，AB=BE，ABE=60 而MBN=60，ABM=EBN 在AMB 与ENB 中，AMBENB（SAS）（2）连接 MN由（1）知，AM=ENMBN=60，BM=BN，BMN 为等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM当 E、N、M、C 四点共线时，AM+BM+CM 的值最小 此时，BMC=180NMB=120；AMB=ENB=180BNM=120；AMC=360BMCAMB=120（3）由（2）知，ABC 的费尔马点在线段 EC 上，同理也在线段 BF 上 因此线段 EC 与 BF 的交点即为ABC 的费尔马点
