1、2021年甘肃省天水五中高考数学三模试卷（理科）一、选择题1已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则（）AABx|x0BABRCABx|x1DAB2若z（1i）2i，则在复平面内z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是（）AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx24众所周知，人类通常有4种血型：O、A、B、AB，又已知，4种血型O、A、B、AB的人数所占比分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，某一血型的人能输血给什么血型的人，是有严格规定的，而这条输血法则是生物学的
2、一大成就这些规则可以归结为4条：XX；OX；XAB；不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的（X代表O、A、B、AB任一种血型）按照规则，在不知道双方血型的情况下，一位供血者能为一位受血者正确输血的概率为（）A0.5625B0.4375C0.4127D0.58735在长方形ABCD中，AB2，AD1，点M在边CD上运动，则的最小值为（）A1B0C1D6已知等比数列an的各项均为正数，公比q1，设P（），Q，则P与Q的大小关系是（）APQBPQCPQDPQ7设双曲线的右焦点为F，以OF为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A（O为坐标原点），且|OA|2|AF|，则双曲线C的离心率e为（）ABC
3、D28已知函数f（x）x2lnx+1f（1）x，则函数f（x）的图象在点（e，f（e）处的切线斜率为（）ABC3eD3e9设an为等比数列，bn为等差数列，且Sn为数列bn的前n项和若a21，a1016且a6b6，则S11（）A20B30C44D8810某同学5次考试的数学成绩x与物理成绩y的统计数据如表，已知该同学的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，根据数据可得回归方程的的值为0.5，则当该生的物理成绩y达到90分时，可以估计他的数学成绩为（） 数学x103137112128120物理y7188768481A140B142C145D14811已知P为圆（x+1）2+y21上任一点，A，B为
4、直线3x+4y70上的两个动点，且|AB|3，则PAB面积的最大值为（）A9BC3D12若函数f（x）在区间A上，对a，b，cA，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”已知函数f（x）xlnx+m在区间，e上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（2x+a）9的展开式中，各项系数之和为1，则实数a .（用数字填写答案）14一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次X表示抽到的二等品件数，则DX 15黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比
5、值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一数值也可以近似地用m2sin18表示，则 16已知下列四个命题：p1：直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；p2：若f（x）2x2x，则xR，f（x）f（x）；p3：若，则x0（0，+），f（x0）1；p4：在ABC中，若AB，则sinAsinB其中真命题的个数 .（请用数字作答）三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者
6、（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小（只需写出结论）18已知函数（1）求函数yf（x）单调递增区间；（2）在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足，求SABC的值19已知椭圆C：+1（a0，b0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），OAB的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴
7、交于点N，求证：|AN|BM|为定值20如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值21已知函数f（x）3x（1）当b4时，求函数f（x）的极小值；（2）若x1，e上，使得4x成立，求b的取值范围请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：2cos（1）求C
8、2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|3x1|+|3x+a|，g（x）xf（x），h（x）x25x3（1）若f（x）3恒成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a（其中a1），使得x，都有不等式g（x）h（x）恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题1已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则（）AABx|x0BABRCABx|x1DAB解：集合Ax|x1，Bx|3x1x|x0，ABx|x0，故A正确，D错误；ABx|x1，故B和C都错误故选：A2若z（1
9、i）2i，则在复平面内z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：由z（1i）2i，得z，复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），所在象限为第二象限故选：B3命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是（）AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2解：“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是“xR，nN*，使得nx2“故选：D4众所周知，人类通常有4种血型：O、A、B、AB，又已知，4种血型O、A、B、AB的人数所占比分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，某一血型的人能输血给什么血型的人，是有严格规定的
10、，而这条输血法则是生物学的一大成就这些规则可以归结为4条：XX；OX；XAB；不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的（X代表O、A、B、AB任一种血型）按照规则，在不知道双方血型的情况下，一位供血者能为一位受血者正确输血的概率为（）A0.5625B0.4375C0.4127D0.5873解：当供血者血型为O型时，受血者为O、A、B、AB均可，故概率为P10.41，当供血者血型为A型时，受血者为A、AB均可，故概率为P20.28（0.28+0.07）0.098，当供血者血型为B型时，受血者为B、AB均可，故概率为P30.24（0.24+0.07）0.0744，当供血者血型为AB型时，受血者为A
11、B，故概率为P40.0070.070.0049，故正确的输血概率为PP1+P2+P3+P40.5873，故选：D5在长方形ABCD中，AB2，AD1，点M在边CD上运动，则的最小值为（）A1B0C1D解：如图，以A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则：A（0，0），B（2，0），又M点在CD上，设M（x，1），x0，2，则，当x1时，取最小值0故选：B6已知等比数列an的各项均为正数，公比q1，设P（），Q，则P与Q的大小关系是（）APQBPQCPQDPQ解：等比数列an的各项均为正数，公比q1，P（），QPQ故选：D7设双曲线的右焦点为F，以OF为直径的
12、圆交双曲线的一条渐近线于另一点A（O为坐标原点），且|OA|2|AF|，则双曲线C的离心率e为（）ABCD2解：以OF为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A，可得OAAF，可设渐近线OA的方程为yx，其斜率为，由tanAOF，即，所以双曲线的离心率e故选：B8已知函数f（x）x2lnx+1f（1）x，则函数f（x）的图象在点（e，f（e）处的切线斜率为（）ABC3eD3e解：由f（x）x2lnx+1f（1）x，可得f（x）2xlnx+xf（1），可令x1可得f（1）1f（1），解得f（1），则f（x）2xlnx+x，f（x）2xlnx+x，所以函数f（x）的图象在点（e，f（e）处的切线斜率
13、为kf（e）2elne+e3e，故选：C9设an为等比数列，bn为等差数列，且Sn为数列bn的前n项和若a21，a1016且a6b6，则S11（）A20B30C44D88解：设等比数列an的公比为q，由a21，a1016，得，得q22，即a6b64，又Sn为等差数列bn的前n项和，故选：C10某同学5次考试的数学成绩x与物理成绩y的统计数据如表，已知该同学的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，根据数据可得回归方程的的值为0.5，则当该生的物理成绩y达到90分时，可以估计他的数学成绩为（） 数学x103137112128120物理y7188768481A140B142C145D148解：计算平均
14、数为（103+137+112+128+120）120，（71+88+76+84+81）80代入回归方程中，得800.5120+，解得20，所以线性回归方程为0.5x+20，当该生的物理成绩y达到90分时，900.5x+20解得x140故选：A11已知P为圆（x+1）2+y21上任一点，A，B为直线3x+4y70上的两个动点，且|AB|3，则PAB面积的最大值为（）A9BC3D解：根据圆的方程，圆心（1，0）到直线3x+4y70的距离d，所以圆上的点P到直线的最大距离dmax2+13，所以故选：B12若函数f（x）在区间A上，对a，b，cA，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称
15、函数f（x）为“三角形函数”已知函数f（x）xlnx+m在区间，e上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）ABCD解：若f（x）为“区域D上的三角形函数”则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M2m，函数f（x）xlnx+m在区间，e上是“三角形函数”，f（x）lnx+1，当x，）时，f（x）0，函数f（x）递减；当x（，e时，f（x）0，函数f（x）递增；故当x时，函数f（x）取最小值+m，又由f（e）e+m，f（）+m，故当xe时，函数f（x）取最大值e+m，0e+m2（+m），解得：m，故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（2x+a）9的展开式中，各
16、项系数之和为1，则实数a1.（用数字填写答案）解：令x1，得各项系数之和为（2+a）91，解得a1故答案为：114一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次X表示抽到的二等品件数，则DX1.96解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p0.02，n100，则DXnpqnp（1p）1000.020.981.96故答案为：1.9615黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一数值也可以近似地用m2sin18表示，则2解：由题意可得， 2，故答案为：216已知下列四个
17、命题：p1：直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；p2：若f（x）2x2x，则xR，f（x）f（x）；p3：若，则x0（0，+），f（x0）1；p4：在ABC中，若AB，则sinAsinB其中真命题的个数 2.（请用数字作答）解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面内两条相交的直线垂直，则l，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（x）2x2xf（x），故xR，f（x）f（x），故正确；p3：因为（x+1）+11，且当x0时，等号成立，故不存在x0（0，+），f （x0）1，故错误；p4：在ABC中，根据大边对大角可知，若AB，则ab，由正弦定理可知
18、，sin Asin B，故正确故填2三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小（只需写出结论）解：（1）由图知：在
19、50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数的可能取值为0，1，2，P（0），P（1），P（2），的分布列如下： 0 1 2 P 答：E（）1（3）答：由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大18已知函数（1）求函数yf（x）单调递增区间；（2）在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足，求SABC的值解：（1）函数f（x）sinx+sin（x+）sinx
20、+sinx+cosx（sinx+cosx）sin（x+），令2kx+2k+，可得2kx2k+，kZ，又x0，可得k0，1时，可得函数单调递增区间为：0，和，（2）f（A），可得：sin（A+）1，又A（0，），A+（，），可得A+，可得A，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得25b2+c2bc（b+c）23bc493bc，可得b8，SABCbcsinA219已知椭圆C：+1（a0，b0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），OAB的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|BM|为定值解：（1）由
21、题意可得e，c2a2b2，解得a23，b22，所以椭圆的方程为+1；（2）由（1）可得A（，0），B（0，），设P（x0，y0，），则+1；直线PA的方程为y（x），令x0，可得y，所以M（0，），直线PB的方程为yx，令y0，可得x，所以N（，0），所以|AN|BM|+|+|+|+|+|+|2，所以|AN|BM|为定值220如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，N为PC的中
22、点，NGBC，且NG，又AM，BC4，且ADBC，AMBC，且AMBC，则NGAM，且NGAM，四边形AMNG为平行四边形，则NMAG，AG平面PAB，NM平面PAB，MN平面PAB；法二、在PAC中，过N作NEAC，垂足为E，连接ME，在ABC中，由已知ABAC3，BC4，得cosACB，ADBC，cos，则sinEAM，在EAM中，AM，AE，由余弦定理得：EM，cosAEM，而在ABC中，cosBAC，cosAEMcosBAC，即AEMBAC，ABEM，则EM平面PAB由PA底面ABCD，得PAAC，又NEAC，NEPA，则NE平面PABNEEME，平面NEM平面PAB，则MN平面PAB
23、；（2）解：在AMC中，由AM2，AC3，cosMAC，得CM2AC2+AM22ACAMcosMACAM2+MC2AC2，则AMMC，PA底面ABCD，PA平面PAD，平面ABCD平面PAD，且平面ABCD平面PADAD，CM平面PAD，则平面PNM平面PAD在平面PAD内，过A作AFPM，交PM于F，连接NF，则ANF为直线AN与平面PMN所成角在RtPAC中，由N是PC的中点，得AN，在RtPAM中，由PAAMPMAF，得AF，sin直线AN与平面PMN所成角的正弦值为21已知函数f（x）3x（1）当b4时，求函数f（x）的极小值；（2）若x1，e上，使得4x成立，求b的取值范围解：（1）
24、b4时，f（x）3x4lnx，（x0），f（x）3+0，令f（x）0，解得：x或x1，故f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+）递增，故f（x）极小值f（1）2；（2）由已知，存在x1，e，使得4xf（x），故4xf（x）+0，故4x3x+blnx+0，即xblnx+0，设h（x）xblnx+，则只需要函数h（x）在1，e上的最小值小于0，又h（x），令h（x）0，解得：x1（舍）或x1+b，当1+be，即be1时，h（x）在1，e递减，故h（x）在1，e上的最小值是h（e），由h（e）e+b0，解得：b，e1，b，1+b1即b0时，h（x）在1，e递增，故h（x）在1，e上的最小
25、值是h（1），由h（1）2+b0，解得：b2（满足b0），11+be即0be1时，h（x）在（1，1+b）递减，在（1+b，e）递增，故h（x）在1，e上的最小值是h（1+b）2+bbln（1+b），0ln（1+b）1，故0bln（1+b）b，故2+bbln（1+b）2，即h（1+b）2，不满足题意，舍去，综上，b2或b，故实数b的范围是（，2）（，+）请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：2cos（1
26、）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解：（I）由曲线C2：2sin，化为22sin，x2+y22y同理由C3：2cos可得直角坐标方程：，联立，解得，C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（2）曲线C1：（t为参数，t0），化为普通方程：yxtan，其中0，；时，为x0（y0）其极坐标方程为：（R，0），A，B都在C1上，A（2sin，），B|AB|4，当时，|AB|取得最大值4选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|3x1|+|3x+a|，g（x）xf（x），h（x）x25x3（1）若f（x）3恒成立，求实数a的取值范围；（
27、2）是否存在这样的实数a（其中a1），使得x，都有不等式g（x）h（x）恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1）f（x）|3x1|+|3x+a|，所以f（x）|（3x1）（3x+a）|a+1|，当且仅当（3x1）（3x+a）0时，取得等号所以原不等式等价为|a+1|3，解得a2或a4，故a的取值范围是（，42，+）（2）因为a1，所以，因为x，所以f（x）|3x1|+|3x+a|a+1，g（x）（a+1）x，假设存在这样的实数a（其中a1），使得x，都有不等式g（x）h（x）恒成立所以原不等式恒成立（a+1）xx25x3x2（a+6）x30，在x，上恒成立，可令u（x）x2（a+6）x3，u（）a2+2a30，可得a，且u（）a0，可得a，又a1，可得1a，故实数a的取值范围为（1，