1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年江西省南昌三中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求把答案填写在答题卡上）1（理科做）方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A1k1Bk0Ck0Dk1或k12设函数f（x）在x=x0处可导，则（）A与x0，h都有关B仅与x0有关而与h无关C仅与h有关而与x0无关D与x0、h均无关3已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=4用反证法证明命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列正
2、确的是（）Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数Da、b、c中至少有两个偶数5用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n12（2n1）（nN+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A2k+1B2k+3C2（2k+1）D2（2k+3）6已知f（n）=1+（nN*），计算得f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），由此推算：当n2时，有（）Af（2n）（nN*）Bf（2n）（nN*）Cf（2n）（nN*）Df（2n）（nN*）7已知两个不重合的平面，和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）A若mn，n，m
3、，则B若，n，m，则mnC若mn，n，m，则D若，n，m，则mn8一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）ABCD9已知直线x+yk=0（k0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）ABCD10已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）ABCD11已知双曲线两个焦点为分别为F1（1，0），F2（1，0），过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M，N两
4、点，且F1MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形，则a2为（）ABCD12已知f（x）=logax（a1）的导函数是f（x），记A=f（a），B=f（a+1）f（a），C=f（a+1）则（）AABCBACBCBACDCBA二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设曲线y=xn+1（nN*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为15如图，F1，F2是双曲线C1：x2=1与椭圆C2的公共
5、焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是16已知点P在曲线y=ex（e为自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是三、解答题：共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知曲线，求曲线在点（2，4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积18已知双曲线C： =1（a0，b0）的离心率为，实轴长为2；（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值19已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图
6、为直角梯形（）求证：B1NCN；（）设M为AB中点，在棱BC上是否存在一点P，使MP平面B1CN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由20已知数列an满足an+1an=1，a1=1，试比较与的大小并证明21如图，在四边形ABCD中，ABC是边长为2的等边三角形，AD丄DC，AD=DC，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，且DF=1（I）若AE丄CF，求BE的值； （）求当BE为何值时，二面角EACF的大小是6022椭圆C的方程为=1（ab0），F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=（）求椭圆C的方程；（）设椭圆的左、右顶点分
7、别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求的值；（）过点Q（1，0）任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，与l交于R点， 求证：4x+4y+5=02015-2016学年江西省南昌三中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求把答案填写在答题卡上）1（理科做）方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A1k1Bk0Ck0Dk1或k1【考点】双曲线的标准方程【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需k+1与1k只需异号即
8、可，则解不等式（k+1）（1k）0即可求解【解答】解：由题意知（k+1）（1k）0，即（k+1）（k1）0解得k1或k1故选D2设函数f（x）在x=x0处可导，则（）A与x0，h都有关B仅与x0有关而与h无关C仅与h有关而与x0无关D与x0、h均无关【考点】极限及其运算【分析】利用导数与极限的关系和导数的定义可知f（x0）=，由此进行判断【解答】解：函数f（x）在x=x0处可导，可得f（x0）=，此极限仅与x0有关而与h无关，故选B3已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=【考点】双曲线的简单性质【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而
9、渐近线方程为y=x，代入可得答案【解答】解：由双曲线C：（a0，b0），则离心率e=，即4b2=a2，故渐近线方程为y=x=x，故选：D4用反证法证明命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列正确的是（）Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数Da、b、c中至少有两个偶数【考点】反证法与放缩法【分析】由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”，从而得出结论【解答】解：由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”，故选 C5用数
10、学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n12（2n1）（nN+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A2k+1B2k+3C2（2k+1）D2（2k+3）【考点】数学归纳法【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求【解答】解：当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）（k+k）=（k+1）（k+2）（2k），当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C6已知f（n）=1+（nN*）
11、，计算得f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），由此推算：当n2时，有（）Af（2n）（nN*）Bf（2n）（nN*）Cf（2n）（nN*）Df（2n）（nN*）【考点】归纳推理【分析】根据已知中的等式f（2）=，f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案【解答】解：观察已知的等式：f（2）=，f（4）2，即f（22）f（8），即f（23），f（16）3，即f（24），归纳可得：f（2n），nN*）故选：D7已知两个不重合的平面，和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）A若mn，n，m，则B若
12、，n，m，则mnC若mn，n，m，则D若，n，m，则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】A利用面面垂直的判定定理进行判断B利用面面平行和线面平行的性质进行判断C利用面面垂直的定义和性质进行判断D利用面面平行和线面平行的性质进行判断【解答】解：A若n，mn，则m或m，又m，不成立，A错误B若，n，则n，又m，mn成立，B正确C当时，也满足若mn，n，m，C错误D若，n，m，则mn或m，n为异面直线，D错误故选：B8一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图
13、形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）ABCD【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析【解答】解：中线段为虚线，正确，中线段为实线，正确，故选：D9已知直线x+yk=0（k0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）ABCD【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论【解答】解：设AB中点为D，则ODAB，直线x+yk=0（k0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，44k0，故选C10已知三棱锥SA
14、BC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABCCO1=，OO1=，高SD=2OO1=，ABC是边长为1的正三角形，SABC=，V三棱锥SABC=故选：C11已知双曲线两个焦点为分别为F1（1，0），F2（1，0），过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M，
15、N两点，且F1MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形，则a2为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】设|AF1|=|AB|=m，计算出|AF2|=（1）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e2的值，即可得出结论【解答】解：由题意，设|MF1|=|MN|=m，则|NF1|=m，|MF2|=m2a，|NF2|=m2a，|MN|=|MF2|+|NF2|=m，m2a+m2a=m，4a=m，|MF2|=（1）m，MF1F2为Rt三角形，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|24c2=（）m2，4a=m，4c2=（）8a2，e2=52c=1，a2=故选：D12已知f（x）=logax（
16、a1）的导函数是f（x），记A=f（a），B=f（a+1）f（a），C=f（a+1）则（）AABCBACBCBACDCBA【考点】导数的运算；直线的斜率【分析】设M坐标为（a，f（a），N坐标为（a+1，f（a+1），利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率，直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案【解答】解：记M（a，f（a），N（a+1，f（a+1），则由于，表示直线MN的斜率；A=f（a）表示函数f（x）=logax在点M处的切线斜率；C=f（a+1）表示函数f（x）=logax在点N处的切线斜率所以，ABC故选A二填空题：本
17、大题共4小题，每小题5分，共20分13设曲线y=xn+1（nN*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为【考点】归纳推理；简单复合函数的导数；直线的点斜式方程【分析】本题考查的主要知识点是导数的应用，由曲线y=xn+1（nN*），求导后，不难得到曲线y=xn+1（nN*）在点（1，1）处的切线方程，及与x轴的交点的横坐标为xn，分析其特点，易得x1x2xn的值【解答】解：对y=xn+1（nN*）求导得y=（n+1）xn，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y1=k（xn1）=（n+1）（xn1），不妨设y=0，xn=则x
18、1x2xn=故答案为：14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A【考点】进行简单的合情推理【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A故答案为：A15如图，F1，F2是双曲线C1：x2=1与椭圆C2的公共焦点，点A
19、是C1，C2在第一象限的公共点若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是【考点】抛物线的简单性质【分析】利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出【解答】解：由双曲线C1：x2=1可得a1=1，b1=，c=2设椭圆C2的方程为=1，（ab0）则|F1A|F2A|=2a1=2，|F1A|+|F2A|=2a，2|F1A|=2a+2|F1F2|=|F1A|=2c=4，24=2a+2，解得a=3则C2的离心率=故答案为：16已知点P在曲线y=ex（e为自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；反函数【分析】考虑到两曲线关于直线y=x
20、对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离【解答】解：曲线y=ex（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，故可先求点P到直线y=x的最近距离d设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b，y=ex，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1d=丨PQ丨的最小值为2d=故答案为三、解答题：共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知曲线，求曲线在点（2，4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数的几何意义求出曲
21、线y的切线斜率，写出切线方程，求出切线与坐标轴的交点，计算出切线与坐标轴围成的三角形面积【解答】解：曲线，y=x2切线的斜率为k=f（2）=22=4，切线的方程为：y4=4（x2）4xy4=0切线与坐标轴的交点为A（1，0），B（0，4），切线与坐标轴围成的三角形面积为SOAB=14=218已知双曲线C： =1（a0，b0）的离心率为，实轴长为2；（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）依题意得2a=2，由此能求出双曲线方程（2）设点A（x1，y1），B
22、（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），由，得x22mxm22=0，由此能求出实数m的值【解答】解：（1）依题意得2a=2，a=1，b2=c2a2=2，双曲线方程为：（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），由得x22mxm22=0，点M在圆上，m2+（2m）2=5，m=119已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（）求证：B1NCN；（）设M为AB中点，在棱BC上是否存在一点P，使MP平面B1CN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【考点】由三视图求面积、体积【分析】（）由三视图可知AN=4，BB1=8
23、在直角梯形ANB1B中，取BB1的中点H，连结NH，证明B1N平面BCN，即可证明：B1NCN；（）在直角梯形ANB1B中，取BH中点Q，由题意得四边形ANB1H是平行四边形，利用面面平行，确定线面平行即可得出结论【解答】（）证明：由三视图可知AN=4，BB1=8在直角梯形ANB1B中，取BB1的中点H，连结NH可得NHBB1，则ABHN是正方形所以BN=4，NH=BH=HB1=4，NB1=4可得=，所以BNNB1因为BNBC=B，所以B1N平面BCN，则B1NCN（）解：在直角梯形ANB1B中，取BH中点Q，由题意得四边形ANB1H是平行四边形所以AHB1NMQ因为NB1平面CNB1，MQ平
24、面CNB1，所以MQ平面CNB1又因为MP平面CNB1，MPMQ=M，所以平面MPQ平面CNB1且平面MPQ平面BCC1B1=PQ，平面CNB1平面BCC1B1=CB1，所以PQCB1所以=20已知数列an满足an+1an=1，a1=1，试比较与的大小并证明【考点】数列与不等式的综合【分析】由已知求出数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明【解答】解：证明如下：由an+1an=1，a1=1，知数列an为首项是1，公差为1的等差数列，通项公式为an=n要证，只要证：1+，下面用数学归纳证明：n=1时，1+=，结论成立，当n=2时，左边=1+=，结论成立；假设n=k时结论成立，即1+，那么：n=k+
25、1时，1+=，即n=k+1时，结论也成立综上所述，nN，结论成立21如图，在四边形ABCD中，ABC是边长为2的等边三角形，AD丄DC，AD=DC，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，且DF=1（I）若AE丄CF，求BE的值； （）求当BE为何值时，二面角EACF的大小是60【考点】二面角的平面角及求法【分析】（）连结BD，设BDAC=G由已知证得BADBCD，得AG=CG，再由线面垂直的判定证明AC平面EBDF，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系Gxyz，设出BE，结合求得BE；（）由（）可知EGF是二面角EACF的平面角
26、，然后利用余弦定理求得使二面角EACF的大小是60时的BE【解答】解：（）连结BD，设BDAC=G由已知得BADBCD，AG=CG，G为AC的中点，则BDAC，BEAC，且BDBE=B，AC平面EBDF，如图，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系Gxyz，令BE=x，由已知可得B（，0，0），A（0，1，0），E（，0，x），F（1，0，1），C（0，1，0），由得，x=1+；（）由（）可知EGF是二面角EACF的平面角，即EGF=60，则，FG=，EF=，cosEGF=，解得22椭圆C的方程为=1（ab0），F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1
27、），且离心率e=（）求椭圆C的方程；（）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求的值；（）过点Q（1，0）任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，与l交于R点， 求证：4x+4y+5=0【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）利用已知条件求出b，a，然后求椭圆C的方程；（）设P（x0，y0），推出直线PA、PB的方程，求得D，E两点的坐标求出向量，利用点P（x0，y0）在椭圆C上，即可求的值；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），R（4，t），利用，得到：（1），代入椭圆
28、方程，化简，由得（4+y）2+9t2=9（1+y）2，然后消去t，即可得到4x+4y+5=0【解答】解：（）椭圆C的方程为=1（ab0），F1、F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=，所以b=1，解得a=3，所求椭圆方程为：4分（）设P（x0，y0），则直线PA、PB的方程分别为，将x=4分别代入可求得D，E两点的坐标分别为，由（），所以，又点P（x0，y0）在椭圆C上，8分（）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），R（4，t），由得（x14，y1t）=x（1x1，y1）所以（1），代入椭圆方程得 （4+x）2+9t2=9（1+x）2同理由得（4+y）2+9t2=9（1+y）2消去t，得，所以4x+4y+5=013分2016年10月25日高考资源网版权所有，侵权必究！
