1、专题3.1 导数的概念及运算、定积分 （精讲）【考情分析】1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数；5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；6.了解微积分基本定理的含义。【重点知识梳理】知识点1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li li 为函数yf(x)在xx0处的导数，记
2、作f(x0)或yxx0，即f(x0)li li 。【特别提醒】函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。(2)导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)。【特别提醒】曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线。(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)
3、li 为f(x)的导函数。(4)f(x)是一个函数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值(常数)，f(x0)0。知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)知识点3.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).知识点4复合函数的导
4、数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。知识点5.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1，2，n)，作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.(2)定积
5、分的几何意义f(x)f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a，b上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积知识点6.定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数).(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb).知识点7.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)
6、.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式.可以把F(b)F(a)记为F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a).【特别提醒】函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx0.【典型题分析】高频考点一 导数的运算【例1】 (2018天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_.【解析】由题意得f(x)exln xex，则f(1)e.【答案】e【方法技巧】1求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导2常见形式及具体求导6种方法连乘形式先展开化为多项式形式，
7、再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元【变式探究】（2020福建省漳州市第一中学模拟）设，则( )ABCD【答案】C【解析】，因此，故，故C。高频考点二 导数的几何意义及其应用例2. （2020新课标）函数的图像在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，因此，所求切线的方程为，即.【举一反三】【2019全国卷】曲线在点处的切线方程为_【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方
8、程为，即【答案】【方法技巧】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上。【变式探究】 【2019全国卷】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（ ）A Ba=e，b=1C D，【答案】D【解析】切线的斜率，将代入，得.故选D。高频考点三 定积分的计算例3. （2020安
9、徽省定远中学模拟）计算为( )ABCD【答案】A【解析】，故选A。【方法技巧】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.【变式探究】（2020江苏省如皋市第一中学模拟）已知函数,则的值等于（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】由题意，函数，根据定积分的运算性质，可得，故选C。高频考点四 定积分的几何意义例4. （2020浙江省湖州市菱湖中学模拟）由抛物线y22x与直线yx4围成的平面图形的面积为_.【解析】如
10、图所示，解方程组得两交点为(2，2)，(8，4).法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S2dx(x4)dx18.法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积Sdy18.【答案】18【方法技巧】1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).【变式探究】（2020黑龙江省大庆市第四中学模拟）（）ABCD【答案】A【解析】令，画出图像，由定积分的几何意义可得：所求
11、即为右上圆的面积，故所求定积分的值为。高频考点五 定积分在物理中的应用例5. （2020辽宁省本溪市第二中学模拟）物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt.所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25.整理得(t5)(t21)0，解得t5.【方法技巧】(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的位移sv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx.【变式探究】（2020山西省忻州第一中学模拟）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.125ln 5 B.825ln C.425ln 5 D.450ln 2【答案】C【解析】令v(t)0，得t4或t(舍去)，汽车行驶距离sdt282425ln 5425ln 5(m).