1、河北省新乐市第一中学伏羲校区2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，12个小题共60分）1.经过点，圆心在直线上的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据，求得直线AB垂直平分线的方程，与联立解得圆心坐标，再求得半径即可.【详解】因为，所以直线AB的斜率为0，所以直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为与联立解得：，所以圆心坐标为，所求圆半径为，所以所求圆的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.以、为顶点的三角形外接圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【
2、解析】【分析】根据题意可知是以为直角的直角三角形，可得出其外接圆圆心为线段的中点，可求得圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】由题意可知，是以为直角的直角三角形，则的外接圆圆心为线段的中点，且圆的半径为，因此，的外接圆方程为，即.故选：B.【点睛】本题考查三角形外接圆方程的计算，一般将外接圆方程设为一般形式求解，也可找出圆心的位置，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.3.已知方程表示一个圆，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆一般方程的特征，得到，求出实数的取值范围【详解】由题意可得， 所以，解得.故选：B【点睛】本题考查二元二次方程表示
3、圆的条件，本题是基础题4.过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x4y+1=0的交点，且面积最小的圆方程为（ ）A. (x+)2+(y+)2=B. (x)2+(y)2=C. (x)2+(y+)2=D. (x+)2+(y)2=【答案】D【解析】【分析】过直线与圆两交点面积最小的圆是以相交弦为直径的圆，由垂径定理求出相交弦长，以及相交弦的中点坐标，即可求解.【详解】圆x2+y2+2x4y+1=0即 (x+1)2+(y2)2=4，表示以C(1，2)为圆心，半径等于2的圆.圆心到直线2x+y+4=0的距离为d=，故弦长为2=2，故当面积最小的圆的半径为.过点C且与2x+y+4=0垂直的直线为，由求得
4、 ，即所求圆的圆心为(，)，故所求的圆方程为:(x+)2+(y)2=.故选:D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题.5.圆与直线切于，且过点，则该圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设圆圆心坐标为，半径为，由已知得，由此能求出该圆的方程【详解】解：因为点，点，在圆上，设圆圆心坐标为，半径为，所以有，即即而直线切圆于点，设过且垂直于的直线方程为所以，解得，故直线方程为；所以， ，且圆心在直线，即由可得，由解得代入得，故圆的方程为整理得故选：A【点睛】本题考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的合理运用6.方
5、程与表示的曲线是（ ）A. 都表示一条直线和一个圆B. 都表示两个点C. 前者是两个点，后者是一直线和一个圆D. 前者是一条直线和一个圆，后者是两个点【答案】D【解析】试题分析：化简为或，表示直线和圆；化简得，表示两个点考点：动点轨迹方程7.命题“若，则”的逆否命题是（ ）A. 若，则，或B. 若，则C. 若，或，则D. 若或，则【答案】D【解析】【分析】根据原命题为：若，则，则逆否命题为：若，则；由此即可得到结果.【详解】命题“若，则”逆否命题是“若或，则”.故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的逆否命题的应用，属于基础题.8.命题，命题或，则命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要
6、不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】命题，命题或，反之不成立，例如所以非p是非q的必要不充分条件，因此命题是命题的充分不必要条件故选A9.方程有两个不等实根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：方程有两个不等实根等价于函数的图像（上半圆）与函数:的图像（过定点A（2，3）的动直线）有两个不同的交点（如下图）显然当直线在直线a、b之间时，两图像有两个交点，不包含直线a(直线a为圆的一条切线).由圆心到直线a的距离等于半径可得，.而直线a的斜率为,所以的取值范围是故选D考点：直线与圆的综合问题【方法点睛】方程解的个数问题解
7、法：研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题（1）已知含参数方程有解，求参数范围问题一般可作为代数问题求解，即对进行参变分离，得到的形式，则所求a的范围就是的值域（2）当研究程的实根个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解.（3）将方程化为形如,常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值（本题中直线a、b位置是临界位置，其对应的斜率是临界值），然后总结答案即可（本题即为该法）10.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分
8、条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用菱形对角线的性质，直接根据充分条件与必要条件的定义判断，即可得到结果.【详解】若“四边形为菱形”那么菱形的对角线垂直，即“四边形为菱形” “”，但是“”推不出“四边形为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形；所以“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化
9、为包含关系来处理.11.已知命题p：，总有，则为( )A. ，使得B. ，使得C. ，总有D. ，使得【答案】B【解析】【分析】利用全称命题的否定进行求解，改变量词，否定结论.【详解】因为命题p：，总有，所以：，使得.故选：B.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，改变量词，否定结论是这类问题求解的常用方法.侧重考查逻辑推理的核心素养.12.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（ ）A. 1.8米B. 3米C. 3.6米D. 4米【答案】C【解析】【分析】如图所示，半圆的方程为由，可设，代入半圆的方程解
10、得即可详解】解：如图所示半圆的方程为，设，代入半圆的方程得，解得因此这辆卡车的平顶车蓬距离地面的高度不得超过故选：C【点睛】本题考查圆的应用，正确理解点与圆的方程之间的关系和熟练掌握圆的方程是解题的关键，属于基础题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.圆上到直线4x-3y=2的距离为的点数共有_ 个【答案】4【解析】解：圆x2+2x+y2+4y-3=0的圆心（-1，-2），半径是，圆心到直线4x-3y=2的距离是0，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有4个14.已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是_【答案】【解析】【详解】【分析】：圆
11、心，半径；：圆心，半径设，由切线长相等得，化简得，所以轨迹方程为：15.设集合，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据集合表示圆及其内部且，利用圆心距与半径之间的关系求解即可.【详解】表示以原点为圆心，为半径的圆及其内部点构成的集合，表示以为圆心，为半径的圆及其内部点构成的集合，因为，所以,即以为圆心，3为半径的圆内含或内切于以原点为圆心，5为半径的圆，所以圆心距,即，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了集合的描述法，集合的并集，集合的包含关系，两圆的位置关系，属于中档题.16.直线xy20截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角是_【答案】60【解析】【分析】运用垂径定理求出弦心
12、距，取弦AB的中点为M,求CM，然后在直角三角形ACM中求ACM，从而得出圆心角【详解】如图，设圆心为C，取弦AB的中点为M,CM垂直于AB,可得C到直线xy20的距离为，RtAMC中，半径AC2，可得cosACM,所以ACM，圆心角ACB2ACM60，劣弧所对的圆心角是60故答案为60【点睛】本题考查运用垂径定理解决直线与圆相交所成的圆心角大小问题，属于基础题三.解答题17.已知圆C经过点，和直线相切，且圆心在直线，求圆C的方程.【答案】【解析】试题分析：设出圆心坐标，利用圆C经过点，和直线相切，建立方程组，可求圆C的方程.试题解析：由题意求得圆心和半径即可，设圆心的坐标为，则得，圆C的方程
13、为考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式18.已知直线与曲线有两个公共点，求的取值范围.【答案】.【解析】【分析】曲线C表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，根据图形得出直线l与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线l与圆相切时；一是直线l过（1，0）时，分别求出c的值，即可确定出c的范围【详解】曲线，整理得，直线可变形为.如图，要使直线与曲线有两个公共点，则直线过点(1，0)时，有最大值；直线在轴右侧和圆相切时，有最小值；而直线过点(1，0)时，；直线在轴右侧和圆相切时，解得，或(舍去)，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题一般直线
14、和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.19.一束光线自发出，射到轴上，被轴反射到圆：上（1）求反射线通过圆心时，光线的方程；（2）求在轴上，反射点的范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意,利用物理的光学知识可知入射光线上的任意一点关于轴对称的点必在其反射线上,由于反射线过圆心,有光线的可逆性知,反射线上的任意点圆心关于轴对称的点也必在入射光线上,然后由入射光线上已知两点写出所求的直线方程;（2）由
15、题意和（1）可知反射线必过定点(次点是点A关于x轴对称的点),利用几何知识知当反射线与已知圆相切时恰好为范围的临界状态.【详解】C：(x2)2(y2)21（1）C关于x轴的对称点C(2，2)，过A，C的方程：xy0为光线的方程（2）A关于x轴的对称点A(3，3)，设过A的直线为y3k(x3)，当该直线与C相切时，有或过A，C的两条切线为令y0，得反射点M在x轴上的活动范围是.【点睛】解析几何中的对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求
16、解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.20.如图所示,一座圆拱（圆的一部分）桥,当水面在图位置m时,拱顶离水面2 m,水面宽 12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少米? 【答案】【解析】【分析】先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降1米后可设的坐标为，根据点在圆上，可求得的值，从而得到问题的结果.【详解】以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B,则由已知得A(6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r)
17、,即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将点A的坐标为(6,-2)代入方程,解得r=10.圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1米后,可设点A的坐标为(x0,-3)(x03),将A的坐标(x0,-3)代入方程,求得.水面下降1米后,水面宽为【点睛】本题考查了圆的方程的综合应用，以及点在圆上的条件的转化，圆的对称性的体现，是个中档题.21.已知且，设命题函数在区间内单调递减；曲线与轴有两个不同的交点，如果为真命题，那么的取值集合是怎样的呢？并写出求解过程.【答案】或；答案见解析.【解析】【分析】分别求出，成立的的范围，根据复合命题的真假，求出的范围即可【详解】解：由在区间上单调递减
18、知，曲线与轴交于两个不同的点，解之得或.真对应集合，真对应集合或.由于真，即中至少有一个为真命题.因此适合题数目要求的的取值集合是：或.【点睛】本题以函数的单调性和二次函数零点的问题为载体，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题22.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分离出，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，即可求出范围；（2）分析讨论二次不等式对应方程的两个根的大小，写出解集A, 是 的充分不必要条件得出,求出的范围.【详解】（1）命题：“，都有不等式成立”真命题，得在时恒成立，得，即.（2）不等式，当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，此时；当，即时，解集，满足题设条件；当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，此时.综上可得【点睛】本题主要考查了含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，以及充分必要条件的理解转化，集合的交集运算等，属于中档题.解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，常从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论.