1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第9课时 随机变量的期望与方差 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求它的期望、方差2离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要意义，因此求期望、方差是应用题的命题方向第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意期望与方差是随机变量最重要的两个特征数，它们所表示的意义具有很大的实用价值，是高考的热点之一高考的主要题型有两种：一是求期望值和方差；二是有关的应用题第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页
2、高考调研 高三总复习 数学（理）期望与方差若离散型随机变量 的概率分布为x1x2xn Pp1p2pn 则称 E()x1p1x2p2xnpn为 的数学期望称 D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn为 的方差，D（）叫做随机变量 的标准差，记作()第7页高考调研 高三总复习 数学（理）离散型随机变量的期望与方差具有下列性质(1)离散型随机变量 的期望 E()与方差 D()是一个数值，它们是随机变量 本身所固有的一个数字特征，它们不具有随机性(2)若离散型随机变量的一切值位于区间a，b内，E()的取值范围是 aE()b(3)离散型随机变量的期望反映随机变量可能取值的平均水平，而
3、方差反映随机变量取值偏离于均值的平均程度第8页高考调研 高三总复习 数学（理）(4)若 ab，其中 是离散型随机变量，a，b 为常数，则 E()aE()b，D()a2D()(5)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望 E()的值既可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值(6)D（）E（2）（E（）2第9页高考调研 高三总复习 数学（理）常见离散型随机变量 的期望与方差(1)两点分布：若随机变量 满足 P(1)p，P(0)1p，则 E()p，D()p(1p)(2)二项分布：若随机变量 B(n，p)，则 E()np，D()np(1p)第10页高考调研 高三总复习 数学（理）1判断下面结论是
4、否正确(打“”或“”)(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小(4)在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分如果某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是 0.7.第11页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)(2)(3)(4)第12页高考调研 高三总复习 数学（理）2已知 的分布列101P121316则在下列式中：E()13；D()2327；P(0)13.正确的个数是()A0 B1
5、C2 D3第13页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 E()(1)1211613，故正确 D()(113)212(013)213(113)21659，故不正确 由分布列知正确第14页高考调研 高三总复习 数学（理）3设随机变量 B(n，p)，且 E()1，6，D()1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45答案 A解析 由 E()np1.6，D()np(1p)1.28，检验可知 n8，p0.2 符合第15页高考调研 高三总复习 数学（理）4(2014陕西理)设样本数据 x1，x2，x10 的均值和方差分别为 1 和 4，若 yixia(a
6、 为非零常数，i1，2，10)，则 y1，y2，y10 的均值和方差分别为()A1a，4 B1a，4aC1，4 D1，4a第16页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 A解析 利用样本的均值、方差公式求解 x1x2x10101，yixia，所以 y1，y2，y10 的均值为 1a，方差不变仍为 4.故选 A.第17页高考调研 高三总复习 数学（理）5(2016上海黄浦二模)某个不透明的袋中装有除颜色外其他特征完全相同的8个乒乓球(其中3 个是白色球，5 个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球用随机变量 表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的
7、摸球次数，则随机变量 的数学期望值 E()_第18页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 32解析 的分布列为 1234P581556556156E()158215563 5564 15632.第19页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第20页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 期望、方差的性质例 1(1)设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)16(k1，2，3，4，5，6)，求 E(X)，E(2X3)和 D(X)(2)设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)1n(k1，2，3，n)，求 E(X)和 D(X)(3)一次英语测验由 50 道选择题构成，每道有 4 个选项，其中有且仅有一
8、个是正确的，每个选对得 3 分，选错或不选均不得分，满分 150 分，某学生选对每一道题的概率为 0.7，求该生在这次测试中的成绩的均值与方差第21页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)E(X)x1p1x2p2x3p3x6p63.5，E(2X3)2E(X)310.D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(x6E(X)2p6 16(13.5)2(23.5)2(63.5)2 17.5163512.第22页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)E(X)1n(12n)n12，D(X)1n(1n12)2(2n12)2(nn12)2 1n(122232n2)(n12)2 112(n21)
9、第23页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)设 X 为该生选对试题个数，Y 为成绩 则 XB(50，0.7)，Y3X.E(X)500.735，D(X)500.70.310.5.故 E(Y)E(3X)3E(X)105，D(Y)D(3X)9D(X)94.5.【答案】(1)3.5，10，3512(2)n12，112(n21)(3)105，94.5第24页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1 若 是随机变量，则 f()一般仍是随机变量，在求 的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求 的分布列带来的繁琐运算第25页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1(1)随机变量 X 的分布列
10、为X01m P15n310且 E(X)1.1，则 D(X)_第26页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】由15n 3101，得 n12，因为 E(X)1.1，015112m 3101.1，得 m2，所以 D(X)(01.1)215(11.1)212(21.1)2 3100.49.【答案】0.49第27页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)设随机变量 具有分布 P(k)15，k1，2，3，4，5，求 E(32)，D(21)，(1)【思路】利用性质 E(ab)aE()b，D(ab)a2D()第28页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】E()115215315415515155 3，E(3
11、2)3E()211.D()(13)215(23)215(33)215(43)215(53)21515(41014)2.D(21)4D()8，(1)D（1）D（）2.【答案】11，8，2第29页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 期望与方差的计算例 2(2015四川理)某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生，2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生，4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的
12、6 名队员中随机抽取 4 人参赛设X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列和数学期望第30页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)由题意，参加集训的男、女生各有 6 名 代表队中的学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为C33C43C63C63 1100.因此，A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 110099100.(2)根据题意，X 的可能取值为 1，2，3.P(X1)C31C33C64 15，P(X2)C32C32C64 35，第31页高考调研 高三总复习 数学（理）P(X3)C33C31C64 15.所以 X 的分布列为 X123 P15
13、3515 因此，X 的数学期望为 E(X)1P(X1)2P(X2)3P(X3)1132353152.【答案】(1)99100(2)E(X)2第32页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2 求离散型随机变量 X 的均值与方差的方法：(1)写出 X 的分布列；(2)由均值的定义求 E(X)；(3)由方差的定义求 D(X)第33页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2(2015重庆理)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取 3 个(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；(2)设 X 表示取到的豆
14、沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望第34页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率计算公式有 P(A)C21C31C51C10314.(2)X 的所有可能取值为 0，1，2，且 P(X0)C83C103 715，P(X1)C21C82C103 715，P(X2)C22C81C103 115.第35页高考调研 高三总复习 数学（理）综上可知，X 的分布列为 X012 P715715115 故 E(X)0 7151 7152 11535(个)【答案】(1)14(2)E(X)35第36页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 二项
15、分布的均值与方差例 3(2016皖南十校联考)某校设计了一个实验学科的考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中 2 题的便可通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力第37页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题目个数分别为，则 的可能取值为 1，2，3，P(1)C41C22C63 15，P
16、(2)C42C21C63 35，P(3)C43C20C63 15，第38页高考调研 高三总复习 数学（理）考生甲正确完成题数的分布列为 123P153515 E()1152353152.又 B3，23，其分布列为 P(k)C3k23k133k，k0，1，2，3.第39页高考调研 高三总复习 数学（理）E()np3232.(2)D()(12)215(22)235(32)21525，D()npq3231323，D()P(2)从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成 2 题的概率考查，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强【答案】(1)E()甲
17、2，E()乙2(2)甲的实验操作能力较强第41页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3(1)求随机变量 的期望与方差时，可首先 分析 是否服从二项分布，若 B(n，p)，则用公式 E()np，D()np(1p)求解，可大大减少计算量(2)有些随机变量虽不服从二项分布但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(ab)aE()b 以及 E()np 求出 E(ab)，同样还可求出 D(ab)第42页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 3(2016高考调研原创题)为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，衡水市气象局通过对最近 50 多年的气象数据资料的统计分析，发
18、现 8 月份是该市雷电天气高峰期，在 31 天中平均发生雷电 14.57 天(如图)如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立第43页高考调研 高三总复习 数学（理）(1)求在该市运动会开幕(8 月 12 日)后的前 3 天比赛中，恰好有 2 天发生雷电天气的概率(精确到 0.01)；(2)设运动会期间(8 月 12 日至 23 日，共 12 天)，发生雷电天气的天数为 X，求 X 的数学期望和方差第44页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)设 8 月份一天中发生雷电天气的概率为 p，由已知，得 p14.5731 0.47.因为每一天发生雷电天气的概率均
19、相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前 3 天比赛中，恰好有 2 天发 生 雷 电 天 气 的 概 率 P C32 0.472 (1 0.47)0.351 2310.35.(2)由题意，知 XB(12，0.47)所以 X 的数学期望 E(X)120.475.64，X 的方差 D(X)120.47(10.47)2.989 2.【答案】(1)0.35(2)5.64，2.989 2第45页高考调研 高三总复习 数学（理）1离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简明的描写期望表示在随机试验中随机变量取值的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散程度，即取值的稳定性把握离散型
20、随机变量的数学期望与方差的含义，是处理有关应用题的重要环节 第46页高考调研 高三总复习 数学（理）2期望与方差的常用性质，掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)若 B(n，p)，则 E()np，D()np(1p)第47页高考调研 高三总复习 数学（理）自 助 餐 第48页高考调研 高三总复习 数学（理）1随机变量 的分布列如下：101Pabc其中 a，b，c 成等差数列，若 E()13，则 D()的值是_第49页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 59解析 a，b，c 成等差数列，2bac.又abc1，E()1a1c
21、ca13.a16，b13，c12.D()(113)216(013)213(113)21259.第50页高考调研 高三总复习 数学（理）2(2016衡水调研卷)某地消防大队紧急抽调 1，2，3，4，5号五辆消防车，分配到附近的 A，B，C，D 四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车若这五辆消防车中去A 村的辆数为随机变量，则 E()的值为()A.14 B.34C1 D.54第51页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 由题意知，随机变量 的取值是 1，2，“2”是指“有两辆消防车同时去 A 村”，则 P(2)C52A33C52A4414.所以 P(1)34.所以 E()1
22、3421454.第52页高考调研 高三总复习 数学（理）3(2016河南豫北六校联考)设 是服从二项分布 B(n，p)的随机变量，又 E()15，D()454，则 n 与 p 的值分别为()A60，34B60，14C50，34D50，14第53页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 由已知得np15，npq454，解得q34，p14.n60，故选 B.第54页高考调研 高三总复习 数学（理）4(2014浙江)随机变量 的取值为 0，1，2.若 P(0)15，E()1，则 D()_第55页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 25解析 设出 1，2 时的概率，利用分布列中概率之和为 1
23、及期望的公式求解 设 P(1)a，P(2)b，则15ab1，a2b1，解得a35，b15，所以 D()1535015125.第56页高考调研 高三总复习 数学（理）5(2016山西四校联考)在一次数学考试中，第 22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设 5 名考生选做这三题的任意一题的可能性均为13，每位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第 23 题的人数为，求 的分布列及数学期望第57页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)13(2)53解析(1)设事件 A1 表示甲选第 22 题，A
24、2 表示甲选第 23 题，A3 表示甲选第 24 题，B1 表示乙选第 22 题，B2 表示乙选第 23 题，B3 表示乙选第24 题，则甲、乙两人选做同一题的事件为 A1B1A2B2A3B3，且A1 与 B1，A2 与 B2，A3 与 B3 相互独立，所 以 P(A1B1 A2B2 A3B3)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)31913.第58页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)设 可能的取值为 0，1，2，3，4，5.B(5，13)，P(k)C5k(13)k(23)5kC5k25k35，k0，1，2，3，4，5.的分布列为 012345P32243802438024340243102431243E()np51353.请做：题组层级快练（六十六）-（六十七）