1、2016-2017学年江西省南昌一中、十中、南铁一中高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中）1已知复数z满足（z+1）i=1i，则z=（）A2+iB2+iC2iD2i2下列命题中，真命题是（）A存在xR，ex0Ba+b=0的充要条件是=1C任意xR，2xx2Da1，b1是ab1的充分条件3在各项都为正数的等差数列an中，若a1+a2+a10=30，则a5a6的最大值等于（）A3B6C9D364设m=，n=，p=，则m，n，p的大小顺序为（）AmpnBpnmCnmpDmnp5下列命题正确的是（）A
2、函数y=sin（2x+）在区间内单调递增B函数y=cos4xsin4x的最小正周期为2C函数y=cos（x+）的图象是关于点（，0）成中心对称的图形D函数y=tan（x+）的图象是关于直线x=成轴对称的图形6直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）AB2CD7一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A21+B18+C21D188在平行四边形ABCD中，A=，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，则的取值范围是（）A1，4B2，5C2，4D1，59已知矩形ABCD，AB=1，BC=将ABD沿矩形的对角线BD
3、所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直10已知双曲线x2=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则最小值为（）A2BC1D011已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD12已知f（x）=m2x+x2+nx，若x|f（x）=0=x|f（f（x）=0，则m+n的取值范围为（）A（0，4）B0，4）C（0，
4、5D0，5二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中）13若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为6，则k=14曲线在点（1，f（1）处的切线方程为15设P（x，y）为函数y=x21图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为16三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为三、解答题（本大题6个小题，共70分，要求在答题卷中写出解答过程）17已知：A、B、C是ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量=（，cosA+1），=（sinA，1），（）求角A的大小；（）若，a=2，
5、cosB=，求b的长18已知等比数列an满足，nN*（）求数列an的通项公式；（）设数列an的前n项和为Sn，若不等式Snkan2对一切nN*恒成立，求实数k的取值范围19设函数f（x）=|1|（x0）（1）写出函数的单调区间和极值（2）当0ab，且f（a）=f（b）时，求+的值20如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为正方形，AE平面CDE，已知AE=DE=3，F为线段DE上的动点（）若F为DE的中点，求证：BE平面ACF；（）若二面角EBCF与二面角FBCD的大小相等，求DF长21已知椭圆C： +=1（ab0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆
6、C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围22已知函数 f（x）=alnxx+1，g（x）=x2+（a+1）x+1（1）若对任意的 x1，e，不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数 h（x）在其定义城内存在实数 x0，使得 h（x0+k）=h（x0）+h（k）（k0且为常数）成立，则称函数h（x）为保k阶函数，已知 H（x）=f（x）（a1）x+a1为保a阶函数，求实数a的取值范围2016-2017学年江西省南昌一中、十中
7、、南铁一中高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中）1已知复数z满足（z+1）i=1i，则z=（）A2+iB2+iC2iD2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：（z+1）i=1i，（z+1）i（i）=i（1i），化为z+1=i1z=2i故选：C2下列命题中，真命题是（）A存在xR，ex0Ba+b=0的充要条件是=1C任意xR，2xx2Da1，b1是ab1的充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据指数函数的性质判断A、
8、C，由分母不是0判断B，根据不等式的性质判断D【解答】解：xR，ex0，故A错误；b=0时，无意义，故B错误；x=2时，2x=x2，故C错误；由a1，b1，得ab1，故a1，b1是ab1的充分条件，故D正确故选：D3在各项都为正数的等差数列an中，若a1+a2+a10=30，则a5a6的最大值等于（）A3B6C9D36【考点】等差数列的性质【分析】利用a1+a2+a10=30，求出a5+a6=6，再利用基本不等式，求出a5a6的最大值【解答】解：由题设，a1+a2+a3+a10=5（a1+a10）=5（a5+a6）=30所以a5+a6=6，又因为等差数列an各项都为正数，所以a5a6=9，当且
9、仅当a5=a6=3时等号成立，所以a5a6的最大值等于9，故选C4设m=，n=，p=，则m，n，p的大小顺序为（）AmpnBpnmCnmpDmnp【考点】不等关系与不等式【分析】不妨设mn，由此得出mn，同理得出np，即可得出m、n、p的大小顺序【解答】解：m=0，n=0，p=0，不妨设mn，则，112132，1+，4231+2，112，121120，mn，同理np；m、n、p的大小顺序是mnp故选：D5下列命题正确的是（）A函数y=sin（2x+）在区间内单调递增B函数y=cos4xsin4x的最小正周期为2C函数y=cos（x+）的图象是关于点（，0）成中心对称的图形D函数y=tan（x+
10、）的图象是关于直线x=成轴对称的图形【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性；正切函数的奇偶性与对称性【分析】先根据x的范围求出2x+的范围，再由正弦函数的单调性可判断A；根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式将y=cos4xsin4x为y=Asin（wx+）的形式，再由T=可判断B；根据对称中心的函数值等于0可判断C，从而确定答案【解答】解：x2x+（，），y=sin（2x+）在区间内是先增后减，排除A；y=cos4xsin4x=cos2xsin2x=cos2x，T=，排除B；令x=代入得到cos（+）=cos=0，点（，0）是函数y=cos（x
11、+）的图象的对称中心，满足条件故选C6直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）AB2CD【考点】定积分【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，直线l的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为2，2直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x）|=故选：C7一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A21+B18+C21D18【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断几何体的形状，结
12、合三视图的数据，求出几何体的表面积【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体2S棱锥侧+2S棱锥底=21+故选：A8在平行四边形ABCD中，A=，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，则的取值范围是（）A1，4B2，5C2，4D1，5【考点】平面向量数量积的运算【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，），设=，0，1，则M（2+，），N（2，），所以
13、=（2+，）（2，）=54+2+=22+5，因为0，1，二次函数的对称轴为：=1，所以0，1时，22+52，5故选：B9已知矩形ABCD，AB=1，BC=将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BDEC，这与已知矛盾；若B成立，则A在底面BC
14、D上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误【解答】解：如图，AEBD，CFBD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则BDAE，BD平面AEC，从而BDEC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD平面ABC，平面ABC平面BCD取BC中点M，连接ME，则MEBD，AEM就是二面角ABDC的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在
15、某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC平面ACD，从而平面ACD平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选 B10已知双曲线x2=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则最小值为（）A2BC1D0【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意，设P（x，y）（x1），根据双曲线的方程，易得A1、F2的坐标，将其代入，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得4x2x5配方，再由x的范围，可得答案【解答】解：根据题意，设P（x，y）（x1），易得A1（1，0），F2（2，0），=（1x，y）（2x，y）=x2x2+y2
16、，又x2=1，故y2=3（x21），于是=4x2x5=4（x）25，当x=1时，取到最小值2；故选A11已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD【考点】椭圆的标准方程【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，利用斜率计算公式可得=于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2进而得到椭圆的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，x1+x2=2，y1+y2=2， =，化为a
17、2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9椭圆E的方程为故选D12已知f（x）=m2x+x2+nx，若x|f（x）=0=x|f（f（x）=0，则m+n的取值范围为（）A（0，4）B0，4）C（0，5D0，5【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由x|f（x）=0=x|f（f（x）=0可得f（0）=0，从而求得m=0；从而化简f（f（x）=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，从而讨论求得【解答】解：设x1x|f（x）=0=x|f（f（x）=0，f（x1）=f（f（x1）=0，f（0）=0，即f（0）=m=0，故m=0；故f（x）=x2+nx，f（f（x）=（x2+nx）（x2+nx+n
18、）=0，当n=0时，成立；当n0时，0，n不是x2+nx+n=0的根，故=n24n0，故0n4；综上所述，0n+m4；故选B二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中）13若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为6，则k=2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小目标函数为2x+y=6，由，解
19、得，即A（2，2），点A也在直线y=k上，k=2，故答案为：214曲线在点（1，f（1）处的切线方程为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求导函数，确定切线的斜率，求出切点坐标，即可得到切线方程【解答】解：由题意，f（1）=e所求切线方程为ye+=e（x1），即故答案为：15设P（x，y）为函数y=x21图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为（2，3）【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】将等式化简，再利用基本不等式求最值，即可得到P的坐标【解答】解：由题意， =，y2=8当且仅当，即y=x+1时，m取得最小值为8y=x21x=2，y=3P（2，3）故答案为：（2，3）1
20、6三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，棱长均为1，则=， =， =，=（）（）=+=+=1+1=1|=|=cos，=异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为三、解答题（本大题6个小题，共70分，要求在答题卷中写出解答过程）17已知：A、B、C是ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量=（，cosA+
21、1），=（sinA，1），（）求角A的大小；（）若，a=2，cosB=，求b的长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理即可求出角A的大小；（）由cosB的值求出sinB的值，再由sinA，a的值，利用正弦定理即可求出b的值【解答】解：（）=（，cosA+1），=（sinA，1），sinAcosA1=0，即sinA+cosA=1，整理得：2（sinA+cosA）=1，即sin（A+）=，A+=，则A=；（）由cosB=，得到sinB=，a=2，sinA=，由正弦定理=得：b=18已知等比数列an满足，nN*（）求数列an的通项公式；（）
22、设数列an的前n项和为Sn，若不等式Snkan2对一切nN*恒成立，求实数k的取值范围【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【分析】（）利用等比数列an满足，确定数列的公比与首项，即可求数列an的通项公式；（）求出Sn，再利用不等式Snkan2，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围【解答】解：（）设等比数列an的公比为q，nN*，a2+a1=9，a3+a2=18， 又2a1+a1=9，a1=3 （），3（2n1）k32n12， 令，f（n）随n的增大而增大，实数k的取值范围为 19设函数f（x）=|1|（x0）（1）写出函数的单调区间和极值（2）当0ab，且f（a）=f（b）时，求+的值【
23、考点】函数与方程的综合运用【分析】（1）取得绝对值符号，利用基本函数的单调性判断单调区间，求出极值即可（2）利用函数的单调性以及方程，求解即可【解答】解：（1）函数f（x）=|1|（x0）当x（0，1）时，f（x）=1，f（x）在（0，1上是减函数，当x（1，+）时，f（x）=1，是增函数，在（1，+）上是增函数，当x=1时有极小值0（2）由f（x）在（0，1上是减函数，而在（1，+）上是增函数，由0ab且f（a）=f（b），取0a1b，且1=1，+=2.20如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为正方形，AE平面CDE，已知AE=DE=3，F为线段DE上的动点（）若F为DE的中点，求证：B
24、E平面ACF；（）若二面角EBCF与二面角FBCD的大小相等，求DF长【考点】用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系；二面角的平面角及求法【分析】（I）连接AC，BD交于O，连OF，利用三角形的中位线平行于底边得到OFBE，利用直线与平面平行的判定定理得证（II）法一：利用二面角的平面角的定义，通过作辅助线，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质找出二面角EBCD的平面角与二面角FBCD的平面角，利用已知条件得到线段的长度关系法二：通过建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，利用向量的数量积公式求出二面角EBCF的余弦值，同理求出二面角DBCF的余弦值，根据已知它们的绝对值
25、相等，列出方程求出DF的长度【解答】证明：（）连接AC，BD交于O，连OF，如图1F为DE中点，O为BD中点，OFBE，OF平面ACF，BE平面ACF，BE平面ACF（）如图2，过E作EHAD于H，过H作MHBC于M，连接ME，同理过F作FGAD于G，过G作NGBC于N，连接NF，AE平面CDE，CD平面CDE，AECD，CDAD，AEAD=A，AD，AE平面DAE，CD平面DAE，EH平面DAE，CDEH，CDAD=D，CD，AD平面ABCD，EH平面ABCD，HEBC，BC平面MHE，HME为二面角EBCD的平面角，同理，GNF为二面角FBCD的平面角，MHAB，又，而HME=2GNF，又
26、GFHE，解法二：（）AE平面CDE，CD平面CDE，AECD，CDAD，AEAD=A，AD，AE平面DAE，CD平面DAE，如图建立坐标系，则E（3，0，0），F（a，0，0），A（3，0，3），D（0，0，0）由得，设平面ABCD，且，由设平面BCF，且，由设平面BCE，且，由设二面角EBCF的大小为，二面角DBCF的大小为，=，0a3，21已知椭圆C： +=1（ab0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T
27、，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值；（2）设P（x0，y0），设出直线l：y=k（x2），联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x0，y0的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围【解答】解：（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（xc）2+y2=a2，圆心到直线x+y+1=0的距离d=*，椭圆C： +=1（ab0）的两焦点与短轴的一个端点的
28、连线构成等腰直角三角形，则b=c，代入*式得b=c=1即a=b=，故所求椭圆方程为+y2=1；（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x2），设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k2）x28k2x+8k22=0，=64k44（1+2k2）（8k22）=16k2+80，设S（x1，y1），T（x2，y2）则，当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，成立，故t=0符合题意当t0时得tx0=x1+x2=，ty0=y1+y2=k（x1+x2）4k=，将上式代入椭圆方程得：，整理得：由知0t24，所以t（2，2）22已知函数 f（x）=alnxx+1，g（x）=x2
29、+（a+1）x+1（1）若对任意的 x1，e，不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数 h（x）在其定义城内存在实数 x0，使得 h（x0+k）=h（x0）+h（k）（k0且为常数）成立，则称函数h（x）为保k阶函数，已知 H（x）=f（x）（a1）x+a1为保a阶函数，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）把对任意的 x1，e，不等式 f（x）g（x）恒成立，转化为a（xlnx）x22x恒成立，再由xlnx0得恒成立构造函数F（x）=，利用导数求其最小值得答案；（2）由H（x）=f（x）（a1）x+a1=alnx
30、x+1ax+x+a1=alnxax+a（x0），根据保a阶函数的概念列式，整理得到ln（x0+a）（x0+a）+1=lnx0x0+1+lnaa+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，转化为，由x00可得实数a的取值范围是【解答】解：（1）对任意的 x1，e，不等式 f（x）g（x）恒成立，即alnxx+1x2+（a+1）x+1恒成立，a（xlnx）x22x恒成立，x1，e，lnxlne=1x，上式等号不能同时成立，lnxx，即xlnx0，恒成立令F（x）=，aF（x）min（x1，e），由于，由于1xe，x10，x+22lnx=x+2（1lnx）0，F（x）0函数F（x）=在区间1，e上单调递增，F（x）F（1）=a1；（2）H（x）=f（x）（a1）x+a1=alnxx+1ax+x+a1=alnxax+a（x0），根据保a阶函数的概念，存在x00，使得H（x0+a）=H（x0）+H（a），即aln（x0+a）（x0+a）+1=a（lnx0x0+1）+a（lnaa+1）=a（lnx0x0+1+lnaa+1），ln（x0+a）（x0+a）+1=lnx0x0+1+lnaa+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，即，x00，a实数a的取值范围是2017年4月15日