1、浙江省之江联盟2020届高三数学下学期4月开学考试试题（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由A与B，找出两集合的交集即可【详解】，AB，故选：C【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题2. 若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知，解不等式即可求得a 的取值范围.【详解】函数在区间上为增函数，可得故选：C【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存
2、在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.3. “”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出方程的解，可以判断得出选项.【详解】因为，所以或，解得或，所以由“”可以推出“”成立；但由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断、解对数
3、方程，属于基础题.4. 已知实数，满足则的最小值为（ ）A. B. C. 3D. 9【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出不等式组表示的可行域，再根据的几何意义即可得到的最小值。【详解】可行域如图所示：，解得，因为，表示直线的轴截距，当直线过时，取得最小值，所以。故选：A【点睛】本题主要考查线性规划，同时考查学生数形结合的能力，属于简单题。5. 函数f（x）的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出f(x)的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.【详解】解:由f(x),得f(x),令g(x)1,则g(x)0,所以g(x)在(0,+)上单调递减
4、,又g(e)0,g(e2)0,所以存在x0(e,e2),使得g(x0)0,所以当x(0,x0)时,g(x)0,f(x)0;当x(x0,+)时,g(x)0,f(x)0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减.故选:C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题.6. 已知的内角，的对边分别是，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得，再由余弦定理得，最后由求面积.【详解】由结合正弦定理可得，则.由余弦定理，可得，解得，则.又，所以.故选：B.【点睛】本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积.已
5、知关于三角形的边和角的正弦值的等式，一般由正弦定理化角为边或化边为角.已知角的余弦值，一般可由余弦定理列式，属于中档题.7. 国际象棋比赛中规定，胜方得分，负方得分，和棋得分.年浙江省青少年国际象棋公开赛中，某选手每场比赛得分的分布列如下：且，则该选手进行一场比赛得分的期望一定不可能的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出随机变量的数学期望为，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求得的最小值，进而可得出结果.【详解】由随机变量的分布列可知，随机变量的数学期望为，易知，即，当且仅当时，等号成立，因此，该选手进行一场比赛得分的期望一定不可能的是.故选：A.【点睛】本题考查
6、离散型随机变量数学期望的求解，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.8. 四面体中，其余棱长均为4，分别为，上点（不含端点），则（ ）A. 不存在，使得B. 存在，使得C. 存在，使得平面D. 存在，使得平面平面【答案】D【解析】【分析】对于A选项，取E，F分别在AB，CD的中点时，由全等三角形和等腰三角形的性质可判断；对于D选项，由A选项的解析得，根据线面垂直和面面垂直的判定理可判断；对于B选项，作面于，根据线面角的定义和最小角定理可得出的最小值和最大值可判断；对于C选项，作面于，由点G的位置和过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，可判断.【详解】作出示意
7、图如下图所示：分别是AB，CD的中点，面 于，面于，对于A选项，取E，F分别在AB，CD的中点时，因为，其余棱长均为4，所以 ，所以，所以，即 ，故A错误；对于D选项，取E，F分别在AB，CD的中点时，由A选项的解析得， ，所以面，又面 ，所以平面平面，即平面 平面，故D正确；对于B选项，作面于，因为中， ，所以定在AB的中线上，所以就是与面所成的角，当E在AB上移动时，的最小值为直线与平面所成的角，即 ，而是锐角，的最大值为，故当E在AB上移动时，不存在E，使得DECD.故B错误.对于C选项，作面于，因为中， ，所以定在AB的中线上，且不重合于点，即点 不落在AB上，又因为过空间中一点有且只
8、有一条直线与已知平面垂直，故不存在E，使得DE平面ABC，故C选项不正确，故选：D.【点睛】本题考查空间的线线垂直、线面垂直、面面垂直、线面角的应用等综合动点问题，属于较难题.9. 已知动点，关于坐标原点对称，过点，且与直线相切.若存在定点，使得为定值，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆的几何性质，结合圆的切线性质、勾股定理，通过计算可以判断出点的轨迹是抛物线，再根据抛物线的定义进行求解即可.【详解】设，因为点关于坐标原点对称，所以是线段的中点，又因为以为圆心的圆过两点，所以有，因此有，因为点关于坐标原点对称，所以.又因为以为圆心的圆与直线相切，所以有，
9、把、代入中，得：，化简得：，因此点的轨迹是抛物线，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，由抛物线的定义可知：，所以有，由题意可知存在定点，使得当运动时，为定值，因此一定有，此时定点是该抛物线的焦点.故选：B.【点睛】本题考查了圆的切线性质，考查了圆的几何性质，考查了抛物线的判断，考查了抛物线定义的应用，考查了数学运算能力，属于较难题.10. 数列满足，且，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数分析出该函数的单调性，由可得出，进而可推导出，由此可得出结论.【详解】令，当时，所以，函数在区间上单调递减，同理可知，函数在区间上单调递增，且，则，且，即；，且
10、，即；同理，因此，.故选：D.【点睛】本题考查递推公式的应用，考查利用导数求数列中相关项的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题11. 若复数（为虚数单位），则复数的虚部为_；_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】首先化简复数得到，再求复数的虚部和模长即可.【详解】，所以复数的虚部为.故答案为：；【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的虚部和模长，属于简单题.12. 双曲线的焦距是_，离心率是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，求得焦距和离心率.【详解】依题意，所以焦距，离心率.故答案为：（1）；（2）.【点睛】本小题主要
11、考查双曲线的几何性质，属于基础题.13. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，它系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“阳马”若某“阳马”的三视图如图所示（单位：），则该阳马的体积为_，最长的棱长为_【答案】 (1). 10 (2). 【解析】【分析】由三视图还原几何体如下图所示，根据三棱锥的体积公式和勾股定理可求得答案.【详解】由三视图还原几何体如下图所示，则该阳马的体积为，由勾股定理得，所以最长的棱长为，故答案为：（1）10；（2）.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，求得几何体的体积和棱长，属于基础题.14. 若，则_，_【答案】 (1).
12、 64 (2). 6【解析】【分析】利用赋值法求第一个问题，观察可得，再利用展开式的通项公式求得第二个问题的结果.【详解】令，得，所以；又=，将视为一个整体，则为二项式展开式中的系数，展开式的通项公式为，令，则的系数的值为，故答案为：64，6.【点睛】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，考查了展开式中的通项公式的应用及赋值法，属于基础题15. “2019曹娥江国际马拉松”在上虞举行，现要选派5名志愿者服务于四个不同的运动员救助点，每个救助点至少分配1人，若志愿者甲要求不到A救助点，则不同的分派方案有_种.【答案】180【解析】【分析】先对甲单独服务和甲与其他人一起服务分类计数，再考虑甲要求不
13、到A救助点计算两类的方法种数，求得不同的分派方案种数.【详解】根据志愿者甲特殊要求，应按甲单独服务、甲与其他人一起服务分类计数.若甲单独服务，则甲有3种选法，其余各人先从另4人中选2人组团，再分配给余下的3个救助点，共种方法；若甲与其他人组团服务，则从4人中选1人与甲组团，有种选法，再定求助点有种方法，其余3人救助点的选法有种，故共有（种）方法.故答案为：180【点睛】本题考查排列组合与计数原理,合理分类，特殊元素和位置的考虑是解决问题的关键，思路过程不清极易出现遗漏与重复计数的错误.16. 已知平面向量满足对任意的，都有成立，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先设与的夹角为， ，根据向
14、量数量积的计算公式，以及向量模的计算公式，结合题中条件，即可求出的范围，得出结果【详解】设与的夹角为， ， 所以 ，即 ，所以 因为对任意的，都有成立，所以对任意的，不等式恒成立，所以，解得，所以，即的取值范围是 故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量模的计算，属于中档题17. 已知函数（，且）在上的最大值为，若的最小值为，则常数_【答案】【解析】分析】令，利用导数分析函数在区间上的单调性，可求得该函数在区间上的值域为，进而可得，结合三角不等式可得出，进而可求得自然数的值.【详解】令，则，令，可得，则，所以.当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增.所以，又，则.所
15、以，函数的最大值为，设，则，令，则，所以，函数在上单调递减，则.所以，整理得，即，由于，解得，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用含绝对值函数在区间上的最值求参数，考查绝对值三角不等式以及导数的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.三、简答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）若在区间上有两个不同的解，求的范围及的值【答案】（1）；（2）的范围为，.【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调增区间（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的范围
16、和的值【详解】解：（1）函数由，解得，所以函数的单调递增区间为：（2）由于，所以，所以在时，在区间上有两个不同的解，故的范围为又令，解得，所以函数的图象在区间上关于对称，故，所以【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题19. 如图，四棱锥中， （1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，以及，进而可得出，结合可得出平面，由此可得出；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线
17、与平面所成角正弦值.【详解】（1）如下图所示，取的中点，连接. ，为的中点，则，又，可得，四边形为平行四边形，且，则，平面，平面，因此，；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、，所以，.设平面的法向量为，由，得，可得，令，可得，则，.因此，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法求解线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20. 已知公差为2等差数列的前n项和为满足，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）证明；当时，【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由等比数列的
18、性质得，代入可求得首项，从而得数列的通项公式；（2）运用放缩法，当时，可得证.【详解】（1）因为，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以数列的通项公式为；（2）当时，所以，所以【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，以及运用放缩法和裂项求和法证明不等式，属于中档题.21. 已知椭圆:（）的离心率为，为其右焦点，直线上动点到椭圆上点的距离的最小值为2（1）求椭圆的方程；（2）线段交椭圆于点，直线与椭圆有且仅有一个公共点试证明，并求面积的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件求得，可得出椭圆的标准方程；（2）设点，设过点C椭圆E的切线方程为： ，与椭圆的方程联立，由根的判别式
19、为0得出的关系，进而表示出点C的坐标，由向量垂直的条件可得证，再设直线BC的方程，由前面所证的结论，建立关于k，m的关系，表示的面积，运用函数知识，可求得面积的最小值.【详解】（1）由已知得，所以，所以椭圆的方程为；（2）设点，则过点C椭圆E的切线方程为： ，与椭圆E的方程联立，整理得，则，所以，即，解得，因为点在切线上，所以，又，所以，所以，即；直线AF的方程为：，与椭圆的方程联立得，设点B的坐标为，且 ，则 ，所以，同理， ，综上可得：面积的最小值为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置之求三角形的面积的最值问题，关键在于将三角形的面积表示成某个变量的函数，属于较难题.22.
20、 已知，函数，（1）当为何值时，直线是曲线的切线；（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的取值集合；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】(1) 设切点为，设出切线方程为，由恒过，代入可求得的值.(2) 恒成立，等价于恒成立，构造函数，需，从而可求得的取值.【详解】（1）因为，所以，若直线是曲线的切线，设切点为，此时切线方程为，又恒过，所以，即，令，则，且在上单调递增，所以方程有唯一的解，所以，所以当时，直线是曲线的切线；（2）假设存在实数，使得恒成立，即恒成立.令，则，令，又，则，所以有两个不等根，不妨设.所以在上递减，在上递增.所以成立.因为，所以，所以令，所以在有，在上有，所以在上递增，在上递减.所以.又，所以，.代入，得，所以存在实数，使得恒成立，此时【点睛】本题考查函数与导数的综合问题.由导数的几何意义求切线方程，恒成立问题一般可转化为最值问题，属于较难题.