1、-1-2.3 随机变量的数字特征-2-2.3.1 离散型随机变量的数学期望-3-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 目标导航 1.理解取有限值的离散型随机变量的均值或数学期望的概念.2.会求离散型随机变量的数学期望.3.会利用数学期望分析和解决一些实际问题.-4-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 知识梳理 1.期望 一般地,设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1,x2,xn,这些值对应的概率是p1,p2,pn,则E(X)=x1p1+x2p2+xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.-5-知识梳理
2、 重难聚焦 典例透析 目标导航 知识梳理 名师点拨离散型随机变量的分布列从概率的角度指出了离散型随机变量的分布规律,但不能明显反映离散型随机变量取值的平均水平.而数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,不过这个平均数不是通过一次或几次试验就可以得到的,而是在大量的重复试验中表现出来的一个相对比较稳定的值,即数学期望表示离散型随机变量在随机试验中取值 的平均值,它是概率意义下的平均值,不同于相应数值的算术平均数.-6-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 知识梳理 归纳总结求离散型随机变量X的期望E(X)的步骤:(1)理解随机变量X的意义,写出X可能取的全部
3、值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列;(4)由公式求期望E(X).-7-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 知识梳理【做一做 1-1】随机变量 X 的分布列为 X 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 则其数学期望 E(X)等于()A.1B.13 C.4.5D.2.4解析:由数学期望的定义,有 E(X)=10.5+30.3+50.2=2.4.答案:D-8-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 知识梳理【做一做 1-2】一个篮球运动员投篮 1 次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c,且 a,b,c(0,1),若他投篮一次得分的数学期望为 1(不
4、分其他得分情况),则 ab 的最大值为()A.148 B.124 C.112 D.16解析:由已知得,3a+2b+0c=1,即 3a+2b=1,所以 ab=16 3a2b 16 3+22 2=16 12 2=124,当且仅当3a=2b=12 时取等号,即 ab 的最大值为 124.答案:B-9-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 知识梳理 2.常见的数学期望(1)若离散型随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布,则 E(X)=p.(2)若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布,则E(X)=np.(3)若离散型随机变量 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布,则E(X)=.
5、-10-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 知识梳理【做一做 2】同时掷两枚均匀的硬币 100 次,设两枚硬币都出现正面的次数为,则 E()=.解析:掷两枚均匀的硬币,两枚硬币正面都向上的概率为 14,根据二项分布的期望公式得E()=100 14=25.答案:25-11-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 重难聚焦 1.离散型随机变量的期望有哪些性质?剖析:若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望E(X)的同一线性函数.特别地:(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的数学期望就是这个常数本身.(2)当a=
6、1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的数学期望等于X的期望与这个常数的和.(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的数学期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.-12-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 重难聚焦 2.如何证明二项分布的期望公式 E(X)=np?剖析:若随机变量 XB(n,p),则 E(X)=np.证明如下:由于 XB(n,p),p+q=1,则 P(X=k)=Ckqn ,k=0,1,2,n.根据数学期望的定义,得E(X)=0nk =k=1np C-1-1k 1qn-1-(k-1)=n=0-1C-1 1-k=np(p+q)n-1=np.
7、-13-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 重难聚焦 其中在上述证明过程中,用到了一个重要的组合数公式:C=C-1-1.该公式证明如下:根据组合数公式,左式=k!(-)!=!(-1)!(-)!,右式=n(-1)!(-1)!(-)!=!(-1)!(-)!,左式=右式,公式得证.-14-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 求数学期望【例 1】某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 45,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(pq),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列
8、为 0 1 2 3 P 6125 a b 24125(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率;(2)求 p,q 的值;(3)求数学期望 E().-15-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 分析:充分应用互斥事件、相互独立事件、对立事件的概率公式求解.解:事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3,由题意知 P(A1)=45,P(A2)=p,P(A3)=q,(1)因为事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“=0”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(=0)=1 6125=119125.-
9、16-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四(2)由题意知 P(=0)=P(1 2 3)=15(1-p)(1-q)=6125,P(=3)=P(A1A2A3)=45 =24125,整理得 pq=625,p+q=1,由 pq,可得 p=35,q=25.-17-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四(3)由题意知 a=P(=1)=P(A123)+P(123)+P(1 23)=45(1-p)(1-q)+15(1-q)+15(1-p)q=37125.b=P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=58125,故
10、E()=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=95.-18-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 反思求期望的关键是准确地找出随机变量的所有取值及求得相应事件的概率.-19-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 二项分布、二点分布的期望【例 2】某运动员投篮命中率为 p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数 X 的期望;(2)求重复 5 次投篮时,命中次数 Y 的期望.分析:(1)投篮一次有两个结果,命中与不中,因此命中次数 X 服从二点分布;(2)重复 5 次投篮可认为是 5 次独立重复试
11、验,命中次数Y 服从二项分布.解:(1)投篮一次,命中次数 X 的分布列为X 0 1 P 0.4 0.6 -20-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 则E(X)=0.6.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即YB(5,0.6),则E(Y)=np=50.6=3.-21-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 反思对于二点分布、二项分布的期望,可直接利用公式求解.-22-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 超几何分布的期望【例3】从4名男生和2名女
12、生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望;(3)求“所选3人中女生人数X1”的概率.分析:利用条件确定随机变量X的取值,从而确定分布列,达到解题目的.-23-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)X 的可能取值为 0,1,2.P(X=k)=C2C43-C63,其中k=0,1,2.所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 15 35 15 -24-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四(2)方法一:X 服从超几何分布,则 E(X)=326
13、=1.方法二:由(1),知 X 的数学期望为E(X)=0 15+1 35+2 15=1.(3)由(1),知“所选 3 人中女生人数 X1”的概率为P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=15+35=45.-25-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 反思超几何分布的期望可应用公式,也可以由期望的定义式求解.-26-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析【例 4】某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验,若试验失败,再重新试验一次,若试验 3 次均失败,则放弃试验,已知此人每次试验成功的概率为 23,
14、求此人试验次数 的期望.错解:试验次数 的可能取值为 1,2,3,则 P(=1)=23,P(=2)=13 23=29,P(=3)=13 13 23=227,所以 的分布列为-27-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 P 23 29 227 所以 E()=1 23+2 29+3 227=43.-28-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析:上述解答错误的主要原因是没有明确随机变量 取值的意义,=1 表示第一次试验就成功了,=2 表示第一次失败,第二次成功.因为试验最多进行 3 次,所以=3 表示前两次失败,第三次可能成功也可能失败,所以 P(=3)=13 13 23+13=19.-29-知识梳理 重难聚焦 典例透析 目标导航 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 正解:试验次数 的可能取值为 1,2,3,P(=1)=23,P(=2)=13 23=29,P(=3)=13 13 23+13=19.所以 的分布列为 1 2 3 P 23 29 19 所以 E()=1 23+2 29+3 19=139.