1、第一讲三角形一、知识精讲三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，而且 在解决实际问题中也有着广泛的应用.本节知识包含：三角形三边关系定理、三 角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算、图形的计数，基本模型的变 式等.二、典型例题【例 1】已知ABC 中，CAB CBA，CD平分ACB，E为直线 AB 上一点， 过 E作 E D垂直于 C D，垂足为 D（1） 当 E与 A重合时，如图 1，求证：BED = (CABCBA)（2）当 E在 AB延长线上时，如图 2，（1）中的结论是否仍成立，写出证明过程【练 1】如图，D =40，C=30，A E、B E平分D A C、
2、C B D ，求A E B的度数.例 2：如图已知点 P 为ABC 内任意一点，证明：PA+PB+PC （AB+BC+AC)【练 2】P是ABC内一点，连接 BP，PC 延长 BP交 AC与点 D .求证：AB+AC PB+PC.图形归纳：【例 3】如图，P A 、P B 分别平分A O B 的两个外角，A E P B，求P A E.【练 3】如图 x轴、y轴分别平分DBC、EAD，求AED +BCD 的值.【例 4】如图 1，ABC中 AD、AE 分别为高、角平分线，F在 BC的延长线上， 过 F作 FGAE于 G且交 AB于 H.（1）求证：DAE =F；（2）求证：2DAE =ACBB；
3、（3）ABC中，若ACB为钝角，其它条件不变，如图 2，请画出图形并直 接写出DAE、ACB、B 之间的数量关系.【练 4】已知在平面直角坐标系中，M、N分别为 x轴、y轴上的两个动点，M在原点的左侧，N在原点的上方(1)如图 1，射线 MO、NO平分BMC、DNC，BMC 与DNC 的各边分别 交于 A、B、C、D，试判断BAD、C 之间有何确定的数量关系？证明你的结论.（2）如图 2，ND 平分MNO，ND 交 x轴于 E， FEO = NEF，且 FMO = NMF，MFE = 11.25，求 n的值【例 5】已知 P为第四象限一动点，Q为 x轴负半轴上一动点，R在 P Q下方且为 y轴
4、负半轴上一动点（1）如图 1，若 P（2，1），Q（3，0），R（0，5），求 SPQR 。（2）如图 2，若 RM、QM 分别平分PRO，PQO，P、Q、R 在运动过程中，P、M 是否存在确定的数量关系，若存在，请证明你的结论；若不存在，请 说明理由.（3）若将 R 点改为 y 轴正半轴上一动点，且在 P、Q 及（2）中的条件不 变的前提下，如图 3，P、M 又有何数量关系？（写出结论，不证明）【练 5】已知平面直角坐标系中，直线 M N 交 x轴于点 A（a，0），交 y 轴于点B（0，b）（1）若(2a+3b+1)2+|a+b+1|0 ，求 A、B 两点的坐标.（2）如图 1，过点 G作
5、 GEAE，GH平分OGE，求证：1=2.(2)如图 2 ，BCx 轴，且BAC =BCA ，D为 CA 延长线上一点，且 DOY ABY,当 A点在 x 轴正半轴上运动时，D 的度数是否发生变化？若不变求其值；若变化，说明理由.【例 6】已知 A（0，m），B（0，n），点 C在 x轴负半轴上，且有(2m5n + 3)2 +n3= 0（1）若S ABC = 2 ，求点 C的坐标.（2）如图 1，将 C点向上平移，使 CO平分ACB，点 P是 y轴 B点上方的 一动点，PQOC于点 Q，当ABC =BAC + 54时，求APQ 的度数.（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 AC平移，使其经
6、过 P点得线段 EF，作APE的角平分线交 OC的延长线与点 M，当 P在 y轴上运动时， M BAC 的值是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围.【练 6】如图，已知：在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(b,0)，a 0，b0.（1）如图 1，若点 C 在 y 轴上，且有a +4+(b3)2 = 0 ，ABC的面 积为 18，求点 C的坐标；（2）如图 2，若 C点在第一象限运动，CA交 y轴 G点，CB的延长线交 y轴于 D点，E点为 B点关于 y轴的对称点，DE的延长线交 AC于 F点当DFC=C+70时，求BAG的度数.如图 3，将线段 DC平移，使其经过 A点得线 N
7、K，过 A的直线 AM 交 y轴于 M，交 CD延长线于 H点，当满足CHD =CHA时，求的值.三、课后练习1.如图 1，ABC中，ACBC，CD是高，ABC的角平分线 AE交 CD于 F.（1）请比较CEF 与CFE 的大小,并证明你的结论.（2）若“ABC的角平分线 AE改为ABC的外角平分线 AE”，其它条件不 变，CEF与CFE 的大小关系如何？请画出图形并予以判断（不要求证明过 程）.2.已知 D、E 分别为ABC 的边 AB、AC 上的点，DEBC，DN、CN 分别为ADE和ACF 的平分线，BM、EM 分别为GBC 和DEC 的平分线（1）判断 BM 与 DN 的位置关系并证明
8、.（2）求证：M +N = 903.平面内，四条线段 AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，ABC=24，ADC= 42（1）BAD 和BCD 的角平分线交于点 M（如图 1），求AMC 的大小.（2）点 E在 BA的延长线上，DAE的平分线和BCD的平分线交于点 N（如 图 2），求ANC 的度数.4.在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C 为 x轴正半轴上一点且 A C平分O A B（1）求证：OAC=OCA.（2）若分别作AOC 的三等分线及OCA 的外角的三等分线交于 P，即满 足POC=AOC，PCE=ACE，求P的大小.（3）在（2）中，若射线 OP、CP 满足POC=A
9、OC，PCE=ACE，猜想OPC 的大小，并证明你的结论（用含 n的式子表示）5.如图，在平面直角坐标系中，AOB 是直角三角形，AOB=90，斜边 AB 与y 轴交于点 C.（1）若A=AOC，求证：B=BOC.（2）延长 AB交 x轴于点 E，过 O作 ODAB，且DOB=EOB，OAE=OEA， 求A的度数.（3）如图，OF 平分AOM，BCO 的平分线交 FO的延长线于点 P当ABO 绕 O点旋转时（斜边 A B与 y轴正半轴始终相交于点 C），在（2）的条件下，试 问P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由6.如图，在直角坐标系中，已知 B（b,0）,C（0,c）, b+3+(2c8)2 = 0 .（1）求 B、C 坐标.（2）点 A、D 是第二象限的点，点 M、N 分别是 x轴和 y轴负半轴上的点，ABM=CBO，CDAB，MC、NB 所在直线分别交 AB、CD 于 E、F，若MEA=70，CFB=30求CMBCNB 的值.（2） 如图，ABCD，Q是 CD上一动点，CP平分DCB，BQ与 CP交于点 P， 求的值.
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