1、永善县第一中学2021年秋季学期9月月考高二数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1已知向量，则（ ）ABCD2已知直线过点，两点，则直线的斜率为（ ）ABCD3已知，则（ ）A18BCD4已知向量，若，分别是平面，的法向量，且，则（ ）AB1CD25若向量，且，共面，则（ ）A1B2C3D46已知点，三点共线，则（ ）A0B1CD7已知空间向量，且，则向量与的夹角为（ ）ABC或D或8设，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）A或BCD或9设，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，线性无关，否则称它们线
2、性相关若，线性相关，则（ ）A9B7C5D310如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，设，则（ ）ABCD11已知，则是（ ）A等边三角形B等腰非等边三角形C直角三角形D以上均不正确12已知在正方体中，是的中点，是底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量，若，则_14对于空间任意一点和不共线的三点，且有，若，四点共面，则_15已知空间的一个基底为，空间向量，若，则_16如图，在正四棱锥中，二面角为，为的中点已知为直线VF上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为，则_三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明
3、过程或演算步骤17（10分）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，求顶点的坐标18（12分）已知空间中三点，设，（1）若|，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）若点在平面上，求的值19（12分）如图，在四面体中，点在线段上，且，为的中点（1）若，用向量，表示向量；（2）若四面体的棱长均为1，求20（12分）如图所示，已知为圆的直径，点为半径的中点，点为圆上一点，线段垂直于圆所在平面（1）求证：；（2）当二面角的正切值为时，求的长21（12分）如图，在三棱柱中，顶点在底面内的射影恰好是线段的中点（1）证明：平面（2）求二面角的余弦值22（12分）如图，平面平面，四边形为平行四边形
4、，为线段的中点，点满足（1）证明：平面（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值永善县第一中学2021年秋季学期9月月考高二数学参考答案、解析及评分细则1A因为，所以2A设直线的斜率为，则3B因为所以4C由题可知，则，即5C向量，共面，存在实数，使得，解得6B因为，三点共线，所以可设，因为，所以，解得所以7A，又，又，与的夹角为8D）由题设可得，因为直线与线段相交则或故选D9A依题意，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数，使得成立，故，由得，代入，得，由于，不全为0故，则10D如图，连接，因为点，分别是，的中点，所以因为点是的中点，所以因为点是的中点所以，则11D因为，所以，可知不是等腰三
5、角形，也不是直角三角形12D）建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1可得，所以，所以13因为，所以解得143已知空间任意一点和不共线的三点，且，四点共面等价于，所以152由题意可知，解得，所以1611取的中点以为坐标原点，分别以，为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，设，则从而，整理得，解得（舍去），故17解：设，因为四边形为平行四边形可得，所以可得，解得，所以顶点的坐标为18解：（1），因为，所以又|，故即所以或c=（2），因为与互相垂直，故即，故即（3）因为点在平面上，故存在，使得，又，所以，解得故19解：（1），点在上，且，为的中点，（2）因为空间四面体的棱长均为1所以
6、，即20解（1）连接，因为是圆的直径，所以，由知，所以为等边三角形又点为半径的中点，所以，又垂直于圆所在平面，平面，所以，由得平面，又平面，所以（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，由（1）知，设，所以，由平面知，平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以因为二面角的正切值为所以二面角的余弦值为所以，解得（舍去）或，所以的长为321（1）证明：因为，所以，又有，所以由顶点在底面内的射影恰好是的中点，知平面，所以又，所以平面（2）解：连接，以为原点分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系如图所示 由，点是的中点，得又，得，所以，设平面的法向量为，由得，令，有由（1）知平面的法向量为所以二面角的余弦值为22（1）证明：连接，交于点，连接在平行四边形中，因为，所以又因为，即，所以又因为平面，平面所以平面（2）解：连接，因为，为线段的中点，所以又因为平面平面于，平面，所以平面在平行四边形中，因为，利用余弦定理可得，所以如图，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，因为平面设（），因为，设为平面的一个法向量，所以，不妨设因为，设为平面的一个法向量，所以，不妨设因为平面平面所以所以，因为，所以因此，所以故直线与平面所成角的正弦值为