1、2015-2016学年江西省九江市同文中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1 =（）A1+2iB1+2iC12iD12i2已知命题p：xR，2x=5，则p为（）AxR，2x=5BxR，2x5Cx0R，2=5Dx0R，253“4k6”是“方程表示椭圆”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4抛物线y=2x2的准线方程是（）ABCD5已知向量=（1，1，0），=（1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A1BCD6已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（）A3BCD7若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点
2、，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A2BC2+D18已知命题p：x1，2，x2a；命题q：xR，x2+2ax+2a=0，若命题pq是真命题，则实数a的取值范围是（）Aa2或a=1Ba2或1a2Ca1D2a19已知点（4，2）是直线l被椭圆+=1所截的线段的中点，则直线l的方程是（）Ax2y=0Bx+2y4=0C2x+3y+4=0Dx+2y8=010已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f（x），当x0时，0，若a=f（1），b=2f（2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）AacbBbcaCabcDcab11过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F（c，0
3、）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）ABCD12已知函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1（0，1），x2（1，+）；点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）A（1，3B（1，3）C（3，+）D3，+）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则PQF2的周长为_14已知=（2，1，2），=（1，3，3），=（13，6，），若向量，共面，则=_15函数
4、f（x）=，则f（x）dx的值为_16函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则（A，B）；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则（A，B）2；（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=1，若t（A，B）1恒成立，则实数t的取值范围是（，1）；以上正确命题的序号为_（写出所有正确的）三、解
5、答题（本题共6小题，17题10分，其余每题12分）17设命题p：|2x1|3；命题q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围18已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程19如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点（1）求证：B1C平面A1BD；（2）求二面角A1BDA的大小；（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值20已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的
6、离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程21已知函数f（x）=ax+lnx（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围22已知函数f（x）=ln（ax+1）+x2ax（aR）（1）若y=f（x）在4，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a时，设g（x）=lnx2（ax+1）+3axf（x）（x0）的两个极值点x1，x2（x1x2
7、）恰为（x）=lnxcx2bx的零点，求y=（x1x2）（）的最小值2015-2016学年江西省九江市同文中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1 =（）A1+2iB1+2iC12iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可【解答】解：化简可得=1+2i故选：B2已知命题p：xR，2x=5，则p为（）AxR，2x=5BxR，2x5Cx0R，2=5Dx0R，25【考点】全称命题；命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论【解答】解：命题是全称命题，根据全称命题的否定是特
8、称命题得：p为x0R，25，故选：D3“4k6”是“方程表示椭圆”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件；椭圆的标准方程【分析】根据椭圆的标准方程，我们易构造不等式组，求出方程表示椭圆时，参数k的取值范围，再由充要条件的定义，即可得到结论【解答】解：若方程表示椭圆则6k0，且k40，且6kk4解得4k5或5k6故“4k6”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件故选C4抛物线y=2x2的准线方程是（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准
9、线方程为y=，故选：D5已知向量=（1，1，0），=（1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A1BCD【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】根据题意，易得k+，2的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k1）+2k22=0，解可得k的值，即可得答案【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（1，0，2）=（k1，k，2），2=2（1，1，0）（1，0，2）=（3，2，2）两向量垂直，3（k1）+2k22=0k=，故选D6已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（）A3BCD【考点】导数的运算；极限及其运算【分析】先对进行化简变形，转化成导数的定义式f（x）=即可解得【解答】
10、解：=故选B7若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A2BC2+D1【考点】椭圆的简单性质【分析】设P（x，y），根据点的坐标求出=，所以求关于x的二次函数的最小值即可【解答】解：设P（x，y），F（1，0），=（x，y），=（x1，y）；=；的最小值为故选：B8已知命题p：x1，2，x2a；命题q：xR，x2+2ax+2a=0，若命题pq是真命题，则实数a的取值范围是（）Aa2或a=1Ba2或1a2Ca1D2a1【考点】复合命题的真假【分析】根据二次函数的最值，一元二次方程解的情况和判别式的关系即可求出命题p，q下a的取值范围，再根据pq为真
11、命题得到p，q都为真命题，所以对前面所求a的取值范围求交集即可【解答】解：命题p：x2在1，2上的最小值为1，a1；命题q：方程x2+2ax+2a=0有解，=4a24（2a）0，解得a1，或a2；若命题pq是真命题，则p，q都是真命题；，a=1，或a2；实数a的取值范围是a|a2，或a=1；故选A9已知点（4，2）是直线l被椭圆+=1所截的线段的中点，则直线l的方程是（）Ax2y=0Bx+2y4=0C2x+3y+4=0Dx+2y8=0【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】利用“点差法”即可得出直线l的斜率，利用点斜式即可得出方程【解答】解：设直线l与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2
12、）代入椭圆方程可得，两式相减得，x1+x2=24=8，y1+y2=22=4，解得kl=直线l的方程是，即x+2y8=0故选D10已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f（x），当x0时，0，若a=f（1），b=2f（2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）AacbBbcaCabcDcab【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义【分析】根据a，b，c的表示形式构造函数g（x）=xf（x），根据条件可说明x0时，g（x）0，这便得到g（x）在（0，+）上单调递增而由f（x）为奇函数便可得到b=2f（2），c=（ln2）f（ln2），而容易判断ln212，从
13、而得到g（ln2）g（1）g（2），这样便可得出a，b，c的大小关系【解答】解：设g（x）=xf（x），；x0时，；x0时，g（x）0；g（x）在（0，+）上单调递增；f（x）为奇函数；b=2f（2）=2f（2），；又a=f（1）=1f（1）；ln212，g（x）在（0，+）上单调递增；g（ln2）g（1）g（2）；即（ln2）f（ln2）1f（1）2f（2）；cab故选：D11过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由题设知|
14、EF|=b，|PF|=2b，|PF|=2a，再由抛物线的定义和方程，解得P的坐标，进而得到c2aca2=0，再由离心率公式，计算即可得到【解答】解：|OF|=c，|OE|=a，OEEF，|EF|=b，=（+），E为PF的中点，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b，设F（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形PFF的中位线，则|PF|=2|OE|=2a，可令P的坐标为（m，n），则有n2=4cm，由抛物线的定义可得|PF|=m+c=2a，m=2ac，n2=4c（2ac），又|OP|=c，即有c2=（2ac）2+4c（2ac），化简可得，c2aca2=0，由于e=，则有e2e
15、1=0，由于e1，解得，e=故选：A12已知函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1（0，1），x2（1，+）；点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）A（1，3B（1，3）C（3，+）D3，+）【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】由函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，可知：y=0的两根x1，x2满足0x11x2，利用根与系数的关系可得：（x11）（x21）=+m+10，得到平面区域D，且m1，n1由于y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域D内的点，可得1，进而得出结论【解答】解：
16、函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1（0，1），x2（1，+），y=0的两根x1，x2满足0x11x2，则x1+x2=m，x1x2=0，（x11）（x21）=x1x2（x1+x2）+1=+m+10，即n+3m+20，mn3m2，为平面区域D，m1，n1y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域D内的点，loga（1+4）1，1，a1，lga0，1g3lga解得1a3故选：B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则PQF2的周长为20【考点】椭圆的应用【分析】由椭圆第一定义可知PQF2的周长=4a，由此能够求
17、出PQF2的周长【解答】解：a=5，由椭圆第一定义可知PQF2的周长=4aPQF2的周长=20，故答案为2014已知=（2，1，2），=（1，3，3），=（13，6，），若向量，共面，则=3【考点】共线向量与共面向量【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数m，n使得，解出即可【解答】解：向量，共面，存在唯一一对实数m，n使得，解得故答案为：315函数f（x）=，则f（x）dx的值为6+【考点】定积分【分析】利用定积分的运算法则，将所求转为2到0和0到2上的积分，然后计算【解答】解：因为函数f（x）=，所以f（x）dx=（2xx2）|+=6+；故答案为：6+16函数y=f（
18、x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则（A，B）；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则（A，B）2；（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=1，若t（A，B）1恒成立，则实数t的取值范围是（，1）；以上正确命题的序号为（2）（3）（写出所有正确的）【考点】命题的真假判断与应用【分析】由新定义，
19、利用导数逐一求出函数y=x3x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t（A，B）1得不等式，举反例说明（4）错误【解答】解：对于（1），由y=x3x2+1，得y=3x22x，则，y1=1，y2=5，则，（A，B）=，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y=2x，则kAkB=2x12x2， =（A，B）=，（3）正确；对于（4），由y=ex，得y=ex，（A
20、，B）=t（A，B）1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，（4）错误故答案为：（2）（3）三、解答题（本题共6小题，17题10分，其余每题12分）17设命题p：|2x1|3；命题q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先分别求出p，q为真时的x的范围，再根据q是p的必要不充分条件，得到关于a的方程，解得即可【解答】解：由：|2x1|3得1x2，所以p是x1或x2，由x2（2a+1）x+a（a+1）0得：（xa）x（a+1）0，所以axa+1，所以q：xa或xa+1；因为q是p的必要不充分条件，所以，解
21、得：1a1，所以实数a的取值范围为1，118已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b=1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程【解答】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是
22、椭圆经过点D（2，0），左焦点为，a=2，可得b=1因此，椭圆的标准方程为（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，点P（x0，y0）在椭圆上，可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是19如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点（1）求证：B1C平面A1BD；（2）求二面角A1BDA的大小；（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角【分析】（1）由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点
23、，中点这样信息，得到线线PDB1C平行，在利用PD平面A1BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B1C平面A1BD平行；（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；（3）利用条件及上两问的证题过成找到APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可【解答】解：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，D为AC中点，PDB1C又PD平面A1BD，B1C平面A1BDB1C平面A1BD（2）正三棱住ABCA1B1C1，AA1底面ABC又BDACA1DBDA1DA就是二面角A1BDA的平面角AA1=，AD=A
24、C=1tanA1DA=A1DA=，即二面角A1BDA的大小是（3）由（2）作AMA1D，M为垂足BDAC，平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=ACBD平面A1ACC1，AM平面A1ACC1，BDAMA1DBD=DAM平面A1DB，连接MP，则APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角AA1=，AD=1，在RtAA1D中，A1DA=，AM=1sin60=，AP=AB1=sinAPM=直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为20已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于
25、P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【分析】（）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（） 设F（c，0），由条件知，得=又，所以a=2=，b2=a2c2=1，故E的方程（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=
26、0，当=16（4k23）0，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积=，设，则t0，当且仅当t=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x2或y=x221已知函数f（x）=ax+lnx（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（）求f（x）的单调区间；（）设g（x）=x22x+2，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率；
27、（）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（）对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），等价于f（x）maxg（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（）由已知，则f（1）=2+1=3故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；（）当a0时，由于x0，故ax+10，f（x）0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+）当a0时，由f（x）=0，得在区间上，f（x）0，在区间上f（x）0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（）由已知，转化为f（x）maxg（x）max，
28、因为g（x）=x22x+2=（x1）2+1，x0，1，所以g（x）max=2由（）知，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，值域为R，故不符合题意当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（）=1+ln（）=1ln（a），所以21ln（a），解得a22已知函数f（x）=ln（ax+1）+x2ax（aR）（1）若y=f（x）在4，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a时，设g（x）=lnx2（ax+1）+3axf（x）（x0）的两个极值点x1，x2（x1x2）恰为（x）=lnxcx2bx的零点，求y=（x1x2）（）的最小值【考点】
29、利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由题意f（x）=+x22xa0在4，+）上恒成立，整理得ax2+（12a）xa220在4，+）上恒成立，设h（x）=ax2+（12a）xa22，只要h（4）=16a+4（12a）a220，即可求实数a的取值范围；（2）先确定0，再利用y=（x1x2）（）=lnt（0t），即可求y=（x1x2）（）的最小值【解答】解：（1）由题意f（x）=+x22xa0在4，+）上恒成立，整理得ax2+（12a）xa220在4，+）上恒成立设h（x）=ax2+（12a）xa22，显然a0其对称轴为x=11h（x）在4，+）单调递增，只要h（4）=16a+4（12a）a220，0a4+3（2）g（x）=2lnx2ax+x2，g（x）=由题意，解得0，（x）=2cxb，（x1）=lnx1cx12bx1，（x2）=lnx2cx22bx2，两式相减得lnc（x1x2）（x1+x2）b（x1x2）=0，y=（x1x2）（）=lnt（0t），y=0y=（x1x2）（）在（0，递减，ymin=ln2y=（x1x2）（）的最小值为ln22016年10月5日
