1、豫南重点高中2021-2022学年高二上学期精英对抗赛理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上；2.答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效；3.答主观题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效；4.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则2在ABC中，角A，B，C的对边分别为. 若，则
2、角（）A B C或 D或3已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，依次成等比数列，则的值是（ ）A B C D584已知ABC中，角所对的边分别为，若ABC的面积为，则的值为（ ）A B C D5在ABC中，边上的中线的长度为，则ABC的面积为（ ）A B C D6一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（ ）A300米 B299米 C199米 D166米7在ABC中，则ABC是（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D等边三角形8几何原本中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家
3、处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是A BC D9设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN*，都有，则的值为（ ）A B C D10已知，且，则的最小值为（ ）A B C4 D611已知数列的前n项和为，且，若，则数列的最大值为（ ）A第5项 B第6项 C第7项 D第8项12.数列满足，. 设，记表示不超过的最大整数设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（ ）A B C D二、填空题13现从8名学生干部中选出
4、3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是_（用数字作答）14已知，的取值如下表所示：23452.25.56.5若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为_.1550张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为_16裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列an满足：a1a21，an+2an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除
5、的概率是_三、解答题（本题共6小题，共计70分，其中第17小题10分，其余每小题12分。解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知直线的方程为.（1）求过点且与直线平行的直线的程；（2）求直线与的交点，并求这个点到直线的距离.18. 在中，内角的对边分别是，已知，.（1）若，求角的大小；（2）若，求边及面积.19. 已知等差数列中，且，成等比数列（1）求的通项公式；（2）已知，前n项和为，若，求n的最大值.20. 如图所示，在直三棱柱中，（1）证明：平面；（2）若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使平面？ 证明你的结论21. 已知坐标平面上两个定点，动点满足：（1）求点轨迹方
6、程，并说明轨迹是什么图形；（2）记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程22已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左、右顶点构成等腰直角三角形（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由理科参考答案1A【分析】利用基本不等式可推出A正确；利用不等式的性质可推出B不正确；作差后，可知当时，C不正确；当时，D不正确.【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；对于B，若，则，又，所以，故B不正确；对于C，因为，所以当时，此时，故C不正确；对于D，当时，不成立，故D不正确.故选：A2D【分析】由正弦定理即可求解【详
7、解】在中，由正弦定理可得，所以，因为，所以，因为，所以或，故选：D.3A【分析】由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.【详解】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，因为，依次成等比数列，所以有，即，整理得，因为，所以，因此，故选：A.4D【分析】利用三角形的面积公式整理得出，利用二倍角的正弦和余弦公式化简得出，结合角的取值范围可求得结果.【详解】在中，因为，则，则，则，所以，可得，故.故选：D.5B【分析】根据题设条件结合余弦定理可求得，从而可得，结合三角形面积公式，即可求解.【详解】，边上的中线的长度为根据余弦定理可得，即，解得的面积为故选：B6A【分析】根据题意，得到小球经过的
8、里程，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，可得小球10次着地共经过的路程为：米故选：A.7C【分析】根据，利用正弦定理转化为：，整理为再转化为角判断.【详解】因为，所以由正弦定理得：，所以 ，即 ，所以或 ，所以或，所以是等腰或直角三角形.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8A【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CDDE即可得到答案.【详解】连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故选A. 【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查
9、推理能力，属于中档题.9C【分析】根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案【详解】由题意可知b3b13b5b11b1b152b8，故选：C10C【分析】由基本不等式得出关于的不等式，解之可得【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，解得或（舍去），所以，即的最小值.4此时故选：C11D【分析】由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.【详解】当时，；由，当时，两式相减，可得，解得，当时，也符合该式，故所以由，解得；又，所以，所以，当时，故，因此最大项为，故选：D12C【详解】由题意得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，又，；，对恒成立，则实数的最大值为
10、.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得的形式.13336【分析】根据排列定义及公式即可求解【详解】从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为，故共有336种不同的选派方案故答案为：336143.8【分析】利用线性回归分析方程经过样本中心点，直接带入即可求解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：3.8.1515【分析】根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出n.【详解】用X表示中奖票数，P(X1)，所以，解得n15.故答案为：15.16【分析】列举出数列an的前40项及其中
11、能被3整除的数，代入公式，即可求得概率【详解】解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列an满足：a1a21，an+2an+an+1，数列an的前40项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，其中
12、能被3整除的有10个，分别为：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P故答案为：三、解答题：17. 解：(1)设与直线平行的直线方程为,把代入，得，解得,所求直线方程为.5分(2)解方程组得7分直线与的交点为,8分点到直线的距离.10分18.解：（1）由正弦定理，得解得. 2分又， 则， 4分. 6分（备注：若B没有去掉，扣2分）（2）由余弦定理，得 整理得又，.10分由=.12分（备注：正确写出余弦定理给2分；先用正弦定理求出，得出直角三形）19. 解：（1），成等比
13、数列，又，又，解得：，3分；5分（2）由（1）可得：，7分，10分，整理可得：，解得：，的最大值为.12分20. 证明：（1），三棱柱为直三棱柱， ，平面 平面，BCB1C1，则 在中，四边形为正方形 ， 平面 6分（2）当点为棱的中点时，平面 证明如下：如图，取中点，连、，、分别为、的中点， EFAB1平面，平面，EF平面，同理可证FD平面，平面平面平面，DE平面12分21解：(1)由得，化简得：，点M的轨迹以为圆心，以为半径的圆。 5分（没有说明轨迹扣1分）（2）当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为：，即，由圆心到直线的距离等于，解得，直线方程为所求的直线的方程为：或.12分（没有直线扣2分）22解：（1）椭圆离心率为，即，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，综上有：，故椭圆方程为. 4分（2）由直线与椭圆交于两点，联立方程：，整理得，5分设，则，7分， ， 9分，10分原点到的距离， 11分为定值. 12分