1、提能专训(八)三角函数的图象与性质 一、选择题1(2014贵阳适应性考试)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|2 的图象如图所示，则 f(x)的解析式为()Af(x)sin2x3 Bf(x)sin2x3Cf(x)sin2x6Df(x)sin2x6答案：A解析：由题中图象可知，A1，且14T142 71234，解得2，f(x)sin(2x)把712，1 代入，得1sin2712.|0，22 的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2，3 B2，6C4，6D4，3答案：A解析：由题中图象知，34T5123 34，T，则 2T 2.注意到函数 f(x)在 x512时取到最大值，则有 251
2、22k2，kZ，而20，|2 图象的相邻的对称轴和对称中心，则 f(x)的表达式可以是()Af(x)2sin2x6Bf(x)2sin2x3Cf(x)2sin4x3Df(x)2sin4x6答案：B解析：由题意可知，T451264，T2，2.又sin26 0，k3，kZ，当 k0 时，3，故 f(x)2sin2x3，故选 B.5(2014郑州第一次质量预测)设函数 f(x)3sin(2x)cos(2x)|2，且其图象关于直线 x0 对称，则()Ayf(x)的最小正周期为，且在0，2 上为增函数Byf(x)的最小正周期为，且在0，2 上为减函数Cyf(x)的最小正周期为2，且在0，4 上为增函数Dy
3、f(x)的最小正周期为2，且在0，4 上为减函数答案：B解析：f(x)3sin(2x)cos(2x)2sin2x6，图象关于 x0 对称，62k(kZ)，3k(kZ)，又|0，0，|0，则 f(x)的单调递增区间是()A.k3，k6(kZ)B.k6，k23(kZ)C.k，k2(kZ)D.k2，k(kZ)答案：B解析：f(x)asin 2xbcos 2x a2b2sin(2x)，其中 tan ba.f(x)f6，x6是函数 f(x)的图象的一条对称轴，即32k(kZ)，又 f2 0，的取值可以是56，f(x)a2b2sin2x56，由 2k22x56 2k2(kZ)，得 k6xk23(kZ)，故
4、选 B.11如图所示，M，N 是函数 y2sin(x)(0)的图象与 x 轴的交点，点 P 在 M，N 之间的图象上运动，当MPN 面积最大时PM PN0，则 等于()A.4B.3C.2D8答案：A解析：点 P 在 M，N 之间的图象上运动，如图，作 PQx 轴，交x 轴于点 Q.当MPN 面积最大时PM PN0，此时 PMPN，如图，PMN 是等腰直角三角形，由题意可知，PQ2，MQQNPQ2，T2MN4PQ8，故 2T 4.12已知函数 f(x)sin xcos x(0)在2，上单调递减，则 的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D(0,2答案：A解析：f(x)sin x
5、cos x 2sinx4，令 2k2x42k32(kZ)，解得2k 4x2k 54(kZ)由题意，函数 f(x)在2，上单调递减，故2，为函数单调递减区间的一个子区间，故有2k 42，2k 54，解得 4k122k54(kZ)由 4k122k54，解得 k0，可知 k0，所以 k0，故 的取值范围为12，54.二、填空题13(2014上海十三校二联)若关于 x 的方程 sin 2xcos 2xk 在区间0，2 上有两个不同的实数解，则 k 的取值范围为_答案：1，2)解析：原方程可变形为 sin2x4 k2，x0，2，42x454，又 f(x)sin2x4 在0，8 上单调递增，在8，2 上单
6、调递减，可作出 f(x)图象如图所示，f(x)k2有两个不同的实数解时，22 k21，1k 2.14(2014广东六校联考)已知函数 f(x)12sin 2xsin cos2xcos 12sin2(0)，将函数 f(x)的图象向左平移 12个单位后得到函数g(x)的图象，且 g4 12，则 _.答案：23解析：f(x)12sin 2xsin cos2xcos 12sin212sin 2xsin cos 2x12cos 12cos 12sin 2xsin 12cos 2xcos 12cos(2x)，g(x)12cos2x 12 12cos2x6.g4 12，2462k(kZ)，即 23 2k(k
7、Z)0，23.15函数 f(x)sin xcos 2x2sin xcos2x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于_答案：6解析：本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，难度中等利用三角公式化简解析式，再结合图象求解因为 f(x)12sin xcos 2x12sin 2xcos x 12|sin 3x|，最小正周期 T1223 3，所以图象的相邻两条对称轴之间的距离等于12T6.16(2014辽宁三校联考)已知函数 f(x)|cos x|sin x，给出下列五个说法：f2 0143 34；若|f(x1)|f(x2)|，则 x1x2k(kZ)；f(x)在区间4，4 上单调递增；函数 f(x)的周期
8、为；f(x)的图象关于点2，0 成中心对称其中正确说法的序号是_答案：解析：f2 0143f6713 cos6713 sin6713 cos3sin3 34，正确令 x14，x254，则|f(x1)|f(x2)|，但 x1x264 32，不满足 x1x2k(kZ)，不正确f(x)12sin 2x，2k2x2k2，kZ，12sin 2x，2k2x2k32，kZ，f(x)在4，4 上单调递增，正确f(x)的周期为 2，不正确f(x)|cos x|sin x，f(x)|cos x|sin x，f(x)f(x)0，f(x)的图象不关于点2，0 成中心对称，不正确综上可知，正确说法的序号是.三、解答题1
9、7(2014绵阳诊断)已知向量 a(sin x,2cos x)，b(2sin x，sin x)，设函数 f(x)ab.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若将 f(x)的图象向左平移6个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间12，712 上的最大值和最小值解：(1)f(x)ab2sin2x2sin xcos x21cos 2x2sin 2x 2sin2x4 1，由22k2x422k，kZ，得8kx38 k，kZ，f(x)的单调递增区间是8k，38 k(kZ)(2)由题意 g(x)2sin2x6 4 1 2sin2x 12 1，由 12x712，得42x 1254，0g(x)
10、21，即 g(x)的最大值为 21，g(x)的最小值为 0.18(2014北京海淀期末)函数 f(x)cos 2xsin xcos x2sin x.(1)在ABC 中，cos A35，求 f(A)的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程解：(1)由 sin xcos x0，得 xk4，kZ.f(x)cos 2xsin xcos x2sin xcos2xsin2xsin xcos x2sin xcos xsin x 2sin(x4)，在ABC 中，cos A350，所以2A，所以 sin A 1cos2A45，所以 f(A)sin Acos A453515.(2)由(1
11、)，可得 f(x)2sinx4，所以 f(x)的最小正周期 T2.因为函数 ysin x 图象的对称轴为 xk2，kZ，又由 x4k2，kZ，得xk4，kZ，所以 f(x)图象的对称轴的方程为 xk4，kZ.19(2014广东七校联考)设函数 f(x)sin xsinx2，xR.(1)若 12，求 f(x)的最大值及相应的 x 的取值集合；(2)若 x8是 f(x)的一个零点，且 010，求 的值和 f(x)的最小正周期解：(1)f(x)sin xsinx2sin xcos x.当 12时，f(x)sinx2cosx2 2sinx24，而1sinx24 1，所以 f(x)的最大值为 2，此时x
12、2422k，kZ，即 x32 4k，kZ，相应的 x 的集合为xx32 4k，kZ.(2)依题意 f8 2sin8 4 0，即8 4k，kZ，整理，得 8k2，又 010，所以 08k210，14k0)的最小正周期为.(1)求函数 f(x)的单调增区间；(2)将函数 f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 yg(x)的图象，若 yg(x)在0，b(b0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值解：(1)由题意，得 f(x)2sin xcos x2 3sin2x 3sin 2x 3cos 2x2sin2x3，由最小正周期为，得 1，所以 f(x)2sin2x3，又 2k22x32k2，kZ，整理，得 k 12xk512，kZ，所以函数 f(x)的单调增区间是k 12，k512，kZ.(2)将函数 f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y2sin 2x1 的图象，所以 g(x)2sin 2x1.令 g(x)0，得 xk712或 xk1112(kZ)，所以在0，上恰好有两个零点，若 yg(x)在0，b上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，即 b 的最小值为 411125912.