1、-1-第二章 数列-2-2.1 数列-3-2.1.1 数列-4-2.1.1 数列 目标导航 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 1.理解数列的概念,了解数列的几种分类.2.理解数列通项公式的概念及意义.3.了解数列与函数的关系.-5-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1.数列的有关概念(1)数列的定义:按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做这
2、个数列的项.(2)数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,此数列可简记作an,其中数列的第n项记作an,这里an是数列的简记符号,并不表示一个集合.-6-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 归纳总结对于定义的理解,应注意以下几点:(1)数列的项与项的序号是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于f(n),而项的序号是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n.(2)次序对于数列来讲是十分重要的,几个不
3、同的数,由于它们的排列次序不同,构成的数列就不是同一个数列,显然数列与数集有本质的区别.例如,2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时,就会得到不同的数列,而2,3,4,5,6中的元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.(3)数列a1,a2,an,不可以写成a1,a2,an,但是可以简记为an.-7-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做1】将正整数的前5个数排列成四种形式:1,2,3,4,5;5,4,3,2,1;2,1,5,3,4;4,1,5,3,2.其中
4、可以称为数列的序号是 .答案:-8-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 2.数列的通项公式 如果数列an的第n项an与n 之间的关系可以用一个函数式an=f(n)来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.名师点拨1.数列可以用通项公式来描述,也可以用表格或图象来表示;2.数列不一定都有通项公式,如果有,也不一定唯一.-9-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOU
5、XI典例透析 目标导航【做一做2】下列解析式中不是数列1,-1,1,-1,的通项公式的是()A.an=(-1)n B.an=(-1)n+1 C.an=(-1)n-1 D.an=1,为奇数,-1,为偶数解析:令 n=1,在 an=(-1)n+1 中,a1=(-1)1+1=1,同样在 an=(-1)n-1,an=1,为奇数,-1,为偶数中均有 a1=1,符合题意.而在 an=(-1)n 中,a1=(-1)1=-1,不符合题意,故选 A.答案:A -10-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI
6、典例透析 目标导航 3.数列与函数的关系 在数列an中,对于每一个正整数n,都有一个数an与之对应,因此,数列可以看作是一个定义域为正整数集N+(或它的有限子集1,2,n)的函数an=f(n),即当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n),.其图象是一群孤立的点.名师点拨数列中,自变量的取值必须从小到大取正整数.【做一做3】数列an的通项公式an=f(n),作为函数,它的定义域是()A.正整数集N+B.自然数集N C.正整数集N+或N+的任一子集
7、D.正整数集N+或其有限子集1,2,3,n 答案:D-11-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 4.数列的分类(1)按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 (2)按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第二项起,每一项大于它的前一项的数列 递减数列 从第二项起,每一项小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 -12-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANG
8、LIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做4】已知下列数列:2 000,2 005,2 010,2 015;0,12,23,-1,;1,12,14,12-1,;1,-23,35,(-1)-12-1,;1,0,-1,sin 2,.其中,有穷数列是 ,无穷数列是 .答案:-13-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 一 二 三 一、对数列通项公式的理解 剖析:(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集1,2,n为定义域的函数表达式
9、.(2)如果知道了数列的通项公式,那么依次用1,2,3,去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时,用数列的通项公式也可以判断某个数是不是数列中的项,如果是的话,是第几项.(3)与所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.如的不足近似值,精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,就没有通项公式.2-14-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 一 二 三(4)数列的通项
10、公式在形式上不一定是唯一的,如数列:-1,1,-1,1,-1,1,它可以写成an=(-1)n,也可以写成还可以写成an=(-1)n+2(n=1,2,3,)等,这些通项公式,形式上虽然不同,但都表示同一个数列.(5)在给出数列的前几项,归纳其通项公式时,因为所给的项并不能完整体现数列的构成规律,所以其通项公式一般不唯一.an=-1,为奇数,1,为偶数,-15-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 一 二 三 二、函数思想在数列中的应用 剖析:数列是一种特殊的函数,判断数
11、列的单调性,求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决.(1)数列是一种特殊的函数,其定义域为正整数集(或它的有限子集),值域是数列中的项的集合.(2)数列的通项公式是项an与项数n的关系式.从函数的思想看,就是函数值an与自变量n的关系式.利用通项公式求数列中的项的问题,从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题.因此,用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单.(3)数列中求数列最大(小)项的问题就是用函数的思想求函数的最值问题,可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题,如图象法等,可使问题简单化.-16-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJ
12、UJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 一 二 三(4)数列中求数列的单调性问题就是用函数的思想求数列的单调性问题,可利用函数单调性的定义求数列的单调性,使问题函数化.总之,在函数中研究的函数性质在数列中都有可能用到,利用函数的思想解决数列有关问题可达到事半功倍的效果.-17-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 一 二 三 三、教材中的“思考与讨论”是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,请写出一个
13、这样的数列的通项公式.(提示:先定义一个在(0,+)内,且函数值都小于5的函数)剖析:存在这样的数列,如 an=-1,an=5-2等均满足条件.-18-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 数列的概念【例1】下列哪些表示数列?哪些不表示数列?(1)1,5,2,3,6,7;(2)方程x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0的解;(3)f(x)=x2-x+2的函数值f(-1),f(0),f(1),f(2);(4)当x=1时,x
14、,x+1,x-2,x2,2x的值;(5)-3,-1,1,x,5,7,y,11.分析:由数列的定义,抓住两点:(1)是不是一列数;(2)是否按照一定的顺序排列,即可判断出是否为数列.-19-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:(1)1,5,2,3,6,7表示的是一个数集,而不是数列;(2)表示的是方程的解,虽然是数,却没有一定的顺序,不能叫数列;(3)f(-1),f(0),f(1),f(2)是有顺序的一列数,是数列;(4)当
15、x=1时,x,x+1,x-2,x2,2x都是一些数,而且具有顺序,故是数列;(5)当x,y表示数时为数列;当x,y中有一个不代表数时,便不是数列.反思运用数列的定义判断一组元素是不是数列的一般步骤是:(1)判断这组元素是否都是数;(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列.-20-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【变式训练1】下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可以表示为1,3,5,7 B.数列-1,0,1,2与数列2,
16、1,0,-1是同一数列 C.数列中的各项必定是不同的 D.数列-1,3,6,-5的第三项是6 解析:由数列的定义可知A,B是不正确的.而C项中,数列中的各项是可以相同的.答案:D-21-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型四 题型五 题型三 由数列的前几项写通项公式【例2】分别写出下列数列的一个通项公式:(1)-114,329,-5316,7425,-9536,;(2)4,-52,2,-74,;(3)5,55,555,5 555,;(4)1,1,
17、57,715,931,;(5)3,3,15,21,3 3,.分析:从前几项中观察出项与序号之间的规律,用一个式子表达出来即可.-22-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型四 题型五 题型三 解:(1)因为数列的各项是负、正项交替出现的,所以用(-1)n来调节.数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们
18、可以归纳出数列的通项公式为 an=(-1)n(2-1)+(+1)2.(2)将数列前 4 项改写成分数的形式:41,-52,63,-74,可得该数列的通项公式 an=(-1)n+1+3.(3)由于 9,99,999,9 999,的通项公式是 10n-1,所以将题中数列各项改写可得:5=599,55=5999,555=59999,5 555=599 999,可得该数列的通项公式 an=59(10n-1).(4)原数列可写成:11,33,57,715,931,得该数列的通项公式为 an=2-12-1.-23-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SU
19、ITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型四 题型五 题型三(5)原数列可写成 3 1,3 3,3 5,3 7,3 9,得该数列的通项公式为 an=3 (2-1).-24-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型四 题型五 题型三 反思1.根据数列的前几项,要写出它的一个通项公式,其关键在于观察、分析数列的前几项的特征,找到数列的一个构成规律.根据此规律便可写出一个相应的通项公式.2.常见数列的通项
20、公式如下:(1)数列-1,1,-1,1,的通项公式是an=(-1)n;(2)数列1,2,3,4,的通项公式是an=n;(3)数列1,3,5,7,的通项公式是an=2n-1;(4)数列2,4,6,8,的通项公式是an=2n;(5)数列1,2,4,8,的通项公式是an=2n-1;(6)数列1,4,9,16,的通项公式是an=n2;(7)数列11,12,13,14,的通项公式是 an=1;(8)数列 1,3,6,10,的通项公式是 an=(+1)2.-25-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUX
21、I典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型四 题型五 题型三【变式训练2】先填空,再写出数列的一个通项公式:(1)1,2,(),2,5,(),7,;(2)2,1,(),12,;(3)32,94,(),6516,.解:(1)由于 1=1,2=4,故数列缺少部分为 3,6,数列的通项公式为 an=.(2)由于 2=21,1=22,12=24,故数列缺少部分为23,数列的通项公式为 an=2.(3)先将原数列变形为 112,214,(),4116,应填 318,数列的通项公式为 an=n+12.-26-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITA
22、NGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 判断数列的增减性【例3】已知函数f(x)=x-.数列an满足f(an)=-2n,且an0.(1)求数列an的通项公式;(2)判断数列an的增减性.分析:先根据已知条件解方程求an,然后利用作差或作商法判断数列an的增减性.1解:(1)f(x)=x-1,f(an)=-2n,an-1=-2n,即2+2nan-1=0,解得 an=-n 2+1,an0,an=2+1-n.-27-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂
23、演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五(2)方法一(作差法):an+1-an=(+1)2+1-(n+1)-(2+1-n)=(+1)2+1 2+1-1=(+1)2+1-2+1(+1)2+1+2+1(+1)2+1+2+1-1=(+1)+(+1)2+1+2+1-1,又(+1)2+1n+1,2+1n,(+1)+(+1)2+1+2+11.an+1-an0,即 an+10,+1=(+1)2+1-(+1)2+1-=2+1+(+1)2+1+(+1)1.an+10恒成立,则数列an是递增数列;若an+1-an1 0an+1an 0 递增数列 递减数列 常数列 an
24、0,即an+1an(nN+).数列an是递增数列.-31-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 数列与函数的联系【例4】设函数f(x)=log2x-logx4(0 x1),数列an的通项an满足f(2)=2n(nN+).(1)求数列an的通项公式.(2)数列an中有没有最小的项?若有最小项,试求出此项和相应的项数;若没有最小项,请说明理由.分析:第(1)问可用代入法求得an的关系式,再通过解方程求得an.第(2)问可利用函数的单
25、调性来判断.-32-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:(1)由已知,得 log22-log24=2n,即 an-2=2n,即2-2nan-2=0,解得 an=n 2+2.又 0 x1,021.故 an0(nN+),an=n-2+2(nN+).(2)有.+1=(+1)-(+1)2+2-2+2=+2+2+1+(+1)2+21,又 anan(nN+),即 a1a2a3anan+1,故数列an的最小项为第 1 项,a1=1-3.
26、-33-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思本题(1)可运用方程思想求解,(2)可运用函数思想求解,数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子集1,2,3,n)上的函数,判断数列随n增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同.-34-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题
27、型四 题型五【变式训练4】数列an的通项公式为an=n2-5n+4(nN+),问:(1)数列中有多少项为负数?(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.解:(1)由an为负数,得n2-5n+40,解得1nan,则数列为递增数列;若an+10,即2n+1-k0恒成立,所以k2n+1,故只需k3即可.故选B.答案:B-37-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 51在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,中,x的值是()A.19B.20 C.21
28、D.22 解析:观察数列可得规律:1+1=2,1+2=3,2+3=5,8+13=x=21,13+21=34,x=21,故选C.答案:C-38-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 52已知数列an的通项公式是an=-n2+7n+9,则其第3项、第4项分别是()A.21,23 B.21,25 C.21,21 D.以上选项都不对 答案:C-39-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANX
29、I随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 53以下四个数中,哪个数是数列n(n+1)中的一项()A.380B.39 C.32D.23 解析:an=n(n+1)是这个数列的通项公式.因为380=1920=19(19+1),所以380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A.答案:A-40-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 54 数列an的通项公式为 an=1+1+,则 10-3
30、 是这个数列的第 项.解析:an=1+1+=+1 ,+1 =10-3=10 9,即 n=9.答案:9 -41-2.1.1 数列 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 55写出下列数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,252,;(2)9,99,999,9 999,;(3)22-11,32-23,42-35,52-47,;(4)2,-45,12,-411,27,-417,.解:(1)an=22(nN+);(2)an=10n-1(nN+);(3)an=(+1)2-2-1(nN+);(4)an=4(-1)+13-1(nN+).