1、数学（理）试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.记全集，集合，集合，则（ ）A. B.
2、 C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得集合或，求得，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集，集合或，集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）的共轭复数为的虚部为A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.3.给出下列四个命题：如果，则；命题“，均有”的否定是“，使得”；在等差数列中，已知公差，那么数列是递增数列；是直线与直线平行的充分必要条件.
3、其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】对于，取，可判断；对于，由全称命题与特称命题的关系，可判断；对于， 由等差数列的通项，可得出，可判断； 中，由两直线平行的条件可得出，解得或，可判断得选项.【详解】对于，若，则，所以此时不成立，故不正确；对于，根据全称命题与特称命题的关系，得是正确的；对于， 由于数列是等差数列，所以设，则，因为公差，所以，所以数列是递增数列成立，故正确；中，若直线与直线平行，则，解得或，所以是两直线平行的充分不必要条件，所以错误的，故正确的命题是，故选：B.【点睛】本题考查命题的判断，考查了对数函数的单调性，全称命题和特称命题
4、的关系，等差数列的通项公式，两直线平行的条件，以及充分条件和必要条件的判断，属于基础题.4.已知实数，满足，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】易得，进而由指数函数的性质得到，根据时，可得，从而作出判定.【详解】，时， ,即,，故选：A.【点睛】本题考查比较大小，涉及不等式的基本性质，对数指数的运算及函数性质，正弦函数的性质，其中用到时，的结论，属中档题.5.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：05051100101150151200201300300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年
5、12月全月的指数变化统计图根据统计图判断，下列结论正确的是（ ）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月
6、数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确故选C【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.6.正三角形中，是线段上的点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先用，表示出，再计算即可.【详解】先用，表示出，再计算数量积因为，则，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属基础题.7.已知函数，则（ ）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可【详解
7、】函数的定义域为R，即， 是偶函数，当时，,为增函数，为减函数， 在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题8.已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是 ( )A. 函数的值域与的值域不同B. 存在，使得函数和都在处取得最值C. 把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式化简可得f（x）sin（x），求导化简可得g（x）sin（x），结合三角形的函数的图象和性质即可判断【详解】，值域为：，值域为：，两函数的值域相同，所以，A错误；B选项，不存在x0，使得函数f（
8、x）和g（x）都在x0处取得极值点，B错误；C选项，的图像向右平移个单位：与相同，C正确；求出单调递增区间可知，在区间上不是增函数，D错误故选C【点睛】本题考查了导数的应用和三角函数的图象和性质，属于中档题.9.椭圆的焦点、，为椭圆上的一点，已知，则的面积为（ ）A. 25B. 20C. 9D. 8【答案】C【解析】【分析】根据椭圆定义有，再由勾股定理得，进而可得，即可得到面积.【详解】根据椭圆的定义， ，由勾股定理得， ，将平方再减去得：，.故选：C.【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义，考查了考生对所学知识的综合运用，属于中档题.10.已知数列中，为数列的前项和，令
9、，则数列的前项和的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知得到数列为等差数列，求得前项和，得到的通项公式，利用裂项相消求和法求出，进而利用单调性判定范围.【详解】数列中，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，,，当时.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的概念和通项公式，求和公式及裂项求和法，考查数列的函数特性，11.平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理和性质得出，由直角三角形的性质确定中点为外接球的球心，最后由
10、球的体积公式计算即可.【详解】平面平面，由面面垂直的性质定理得出平面平面，又由已知，从而由线面垂直的判定定理可得平面，平面，设是中点，则到四点的距离相等，即为外接球的球心，所以故选：A【点睛】本题主要考查了求球的体积，涉及了球与多面体的外接问题，属于中档题.12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由变形可得,可知函数在为增函数, 由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立. .令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒
11、成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，是两条不同的直线，是三个不同的平面，则；，则；，则；若，则.上述四个命题中，正确命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据已知条件逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于，若，则或异面，故错；对于，因为，故，而，故.故正确.对于，若，则或，故错；对于，若，则或相交，故错.故答案为：.【点睛】本题考查空间中与点线面位置关系有关的命题真假判断，注意根据已知条件分析所有可能的结果，本题属于基础题.14.若的二项展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为 【答案】
12、15【解析】试题分析：在二项展开式中二项式系数和为，故，展开式通项为，要求常数项，则令，因此常数项为.考点：二项展开式的通项与二项式系数.15.数列满足：，则数列的前2020项的和为_.【答案】【解析】【分析】直接利用递推关系式和数列的周期求出结果即可【详解】数列中，则：，所以：数列的周期为6且，数列的前2020项和为：故答案为：.【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题16.在平面直角坐标系中，双曲线的上支与焦点为的抛物线交于两点若，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】先将双曲线的方程和抛物线的方程联立得
13、，消元化简得，设，则，再根据抛物线的定义得代入已知条件可得，从而可得双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线的方程和抛物线的方程联立得，消元化简得，设，则，由抛物线的定义得又因为，所以，所以，化简得，所以，所以双曲线渐近线方程为，故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解与抛物线的定义的运用，关键在于联立方程得出关于交点的横坐标的韦达定理，再根据抛物线的定义转化抛物线上的点到焦点的距离，属于中档题。三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角
14、，所对的边分别为，已知.（）求角的大小；（）求的取值范围.【答案】（）,（）【解析】【分析】（）由正弦定理，将变形整理，再根据余弦定理，求解即可.（）由（）可知，则，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.【详解】（）由正弦定理得：，又，所以，所以，又因为，所以.（），即所以的取值范围是.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，以及正弦型三角函数的图象和性质.属于中档题.18.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020（1）若将频率视为概率，从这个水果
15、中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案：不分类卖出，单价为元.方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg）16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）第一种方案；（3）详见解析【解析】【分析】（1）计算出从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案单价的数学期
16、望，与方案的单价比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的个水果中，精品果个，非精品果个；则服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果.【详解】（1）设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则恰好抽到个礼品果的概率为：（2）设方案的单价为，则单价的期望值为：从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案（3）用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为：则；的分布列如下：【点睛】本题考
17、查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率.19.如图，已知矩形与平行四边形所在的平面相互垂直，.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角等于，求二面角的平面角.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面垂直的性质可得平面，故.利用勾股定理的逆定理可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而根据线面垂直的定义得到；（2）根据线面所成角的定义可得，进而求得，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】（1）因为平面
18、平面，平面平面，且，所以平面，故.在中，所以，故.又，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）可知，平面，所以为与平面所成的角，由已知可得，故，所以.又，如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，.所以，.设平面的法向量为，则由，可得，即.令，则.所以是平面的一个法向量.设平面的法向量为，则由，可得，即.令，所以是平面的一个法向量.所以.设二面角的平面角为，由图可得，所以，所以二面角的平面角为.【点睛】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定，线面角的定义，利用空间向量求面面角，属基础题，典型题.利用空间向量求面面角时平面的法向量计算要仔细认真，易于出错.20.已知椭圆的一
19、个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，若三直线、的斜率与，点成等比数列，求直线的斜率及的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由题得关于a,b,c方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，根据和韦达定理求出k的值.再根据求出.【详解】解：（1）依题意得， 又 椭圆的方程为 （2）设直线的方程为，由得，. 由题设知 ，. 此时则故直线的斜率为.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的计算和简单几何性质，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数，曲线
20、在点处的切线方程为（1）求实数的值，并求的单调区间（2）求证：当时，【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；（2）详见解析【解析】【分析】（1）对求导，由，可求出的值，进而可得解析式，求出单调性即可；（2）当时，要证即证，进而构造函数，求导并判断单调性可知，从而可证明结论.【详解】（1），又曲线在点处的切线方程为，则，即，令，得，即；令，得，即，所以的单调增区间是，单调减区间是（2）当时，要证即证，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即当时，【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.（二）选
21、考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修44：坐标系与参数方程22.选修44：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（）求曲线的极坐标方程；（）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于两点，弦的中点为，求的值.【答案】（1）曲线的极坐标方程为（2）【解析】【详解】试题分析：（I）曲线C的参数方程为，利用平方关系即可化为普通方程利用变换公式代入即可得出曲线C的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程（II）点的直角坐标是，将的参数方程（为参数）
22、代入曲线C的直角坐标方程可得，利用根与系数的关系即可得出试题解析：（）， 将，代入的普通方程可得，即，所以曲线的极坐标方程为 （）点的直角坐标是，将的参数方程（为参数）代入，可得， t1+t2，t1t2，所以选修45：不等式选讲23.已知函数， ，其中， 均为正实数，且（）求不等式的解集；（）当时，求证【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（）把用分段函数来表示，分类讨论，求得的解集（）当xR时，先求得的最大值为2，再求得）的最小值，根据的最小值减去的最大值大于或等于零，可得成立【详解】（）由题意， ，（1）当时， ，不等式无解；（2）当时， ，解得，所以（3）当时， 恒成立，所以的解集为（）当时， ；而， 当且仅当时，等号成立，即，因此，当时， ，所以，当时， 【点睛】本题主要考查带有绝对值函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题