1、2充分条件与必要条件Q 曹操赤壁兵败之后欲投南郡，除华容道外，还有一条大路，前者路险，但近50里；后者路平，但远50里曹操发现“小路山边有数处起烟，大路并无动静”曹操推断“诸葛亮多谋，使人于山僻烧烟，他却伏兵于大路，我偏不中计！”哪知这正与诸葛亮的推断吻合：曹操熟读兵书，会搬用“虚则实之，实则虚之”的原理，不如来一个实而实之，以傻卖傻，故燃炊烟，最终使曹操败走华容道曹操的错误在于把不可靠的臆测作为已知条件，经过推理，得到的结论当然是不可靠的X 1充分条件和必要条件(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作_pq_，读作_p推出q_.(2)如果pq
2、，则p叫作q的_充分_条件(3)如果qp，则p叫作q的_必要_条件2充要条件如果既有pq成立，又有qp成立，记作_pq_，则p叫作q的_充要_条件Y 1“x22 019”是“x22 018”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析x22 019的条件下可以推出x22 018，但x22 018不能推出x22 019，所以x22 019是x22 018的充分不必要条件2设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的(C)A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析等比数列中“a1a2a3”故an为递增数列；反之，an为
3、递增的等比数列，一定会有a1a2a3，所以是充分必要条件3函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是(A)Am2Bm2Cm1Dm1解析f(x)图像关于直线x1对称，则需对称轴x1，m2，反之，m2，则对称轴为x1.4已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是(D)AxBx1Cx5Dx0解析ab，则需2(x1)20，解得x0，反之，x0时，1220，ab.5在ABC中，内角A和B所对的边分别为a和b，则ab是sinAsinB的(C)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析在三角形中，若ab，由正弦定理，得sinAsinB若sinAsinB，
4、则正弦定理，得ab，所以，ab是sinAsinB的充要条件故选CH 命题方向1充分条件、必要条件、充要条件的判定典例1判断下列各命题中，p是q的什么条件？(1)p：x20，q：(x2)(x3)0；(2)p：t2，q：t24.(3)p：0x3；q：|x1|2；(4)p：ABC为直角三角形；q：ABC为等腰三角形；(5)p：ABS，q：SBSA思路分析先判定“若p则q”“若q则p”的真假，再得两者之间关系即可，也可从集合的角度入手解析(1)x20(x2)(x3)0，而(x2)(x3)0x20(当x3时“”不成立)，所以“x20”是“(x2)(x3)0”的充分但不必要条件；(2)法一：t24t2，t
5、2t24(当t2时，t24)，“t2”是“t24”的必要不充分条件法二：原命题的逆否命题为若t24，则t2；t2t24，t24t2(当t2时，“”不成立)故“t24”是“t2”的必要不充分条件由互为逆否命题同真同假得：“t2”是“t24”的必要不充分条件(3)0x3|x1|2，|x1|20x3，所以p是q的充分不必要条件(4)pq，qp，p、q互为既不充分又不必要条件(5)利用集合的图示法，知ABSSBSA，SBSAABS，p是q的充要条件规律方法1.判断p是q的什么条件其实质是判断“若p则q”及其逆命题“若q则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题
6、为真，则p是q的必要不充分条件；原命题、逆命题均为假，则p是q的既不充分也不必要条件2判断p是q的什么条件，应掌握几种常用的判断方法(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法；(4)传递法有时借助数轴、韦恩图、集合等知识形象、直观的特点或举反例，赋特殊值对判断各条件之间的推断关系常常起到事半功倍的效果跟踪练习1(1)“x0”的(A)A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(3)(2019北京理，7)设点
7、A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|”的(C)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)本题主要考查充要条件的判定由“x0”，但“x210”时，x1或x1，所以“x0”的充分而不必要条件，选A(2)该题考查充要条件的判断与菱形的几何性质菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形故选A(3)因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知，所以|等价于|，因模为正，故不等号两边平方得222|cos222|cos(为与的夹角)，整理得4|cos0，故cos0，即为锐角又以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角”是“|”的充分必要条
8、件故选C命题方向2充要条件的证明典例2求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.思路分析第一步，审题，分清条件与结论：“p是q的充要条件”中p是条件，q是结论；“p的充要条件是q”中，p是结论，q是条件本题中条件是“abc0”，结论是“关于x的方程ax2bxc0有一个根为1”第二步，确定解题步骤分别证明“充分性”与“必要性”，先证充分性：“条件结论”；再证必要性：“结论条件”第三步，规范解答解析必要性：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1，x1满足方程ax2bxc0.a12b1c0，即abc0.充分性：abc0，cab，代入方程ax2bxc0中可得ax2bxab0，即
9、(x1)(axab)0.因此，方程有一个根为x1. 故关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.规律方法一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即pq.跟踪练习2已知x，y都是非零实数，且xy，求证：0.解析证法1：(充分性)由xy0及xy，得，即，(必要性)由，得0，即y，所以yx0.所以0.证法2：0yyx0，故由0.所以0，即0.命题方向3用集合法判断充分条件与必要条件典例31.p：Ax|x是正方形，q：Bx|x是菱形，则p是q的_充分不
10、必要_条件(填充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要)2下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：Ax|x(x1)0，q：Bx|0x3(2)p：Ax|12x2，q：Bx|x2x0思路分析对p、q所对应的集合A、B若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若BA，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p、q互为充要条件解析1.x是正方形，一定是菱形，但x是菱形不一定是正方形，故填充分不必要2(1)由集合A得，0x1，所以AB，所以p是q的充分不必要条件(2)由集合A得，0x1，由集合B得x，所以BA，所以p是q的必要不充分条件跟踪练习3改变题中
11、的集合A如下，p是q的什么条件？(1)p：Ax|0，q：Bx|0x3(2)p：Ax|(x3)0，q：Bx|x2x0解析(1)0x(x1)0且x10x1，所以Ax|0x1所以AB且BA所以p是q的既不充分也不必要条件(2)(x3)0x31，所以Ax|x4，又x2x0x.所以Bx|x，所以AB且BA，所以p是q的既不充分也不必要条件命题方向4利用充要条件求解参数典例4已知p：x2x60和q：mx10，且p是q的必要不充分条件，求实数m的值解析p：xx|x2x60即p：x2，3q：xx|mx10p是q的必要不充分条件x|mx102，3当x|mx10时成立，即m0.当x|mx10时，x.当2时，m；当
12、3时，m；所以m或m或m0.规律方法p是q的必要不充分条件，即qp，集合的观点就是：x|qx|p跟踪练习4已知条件p：Ax|x2(a1)xa0，条件q：Bx|x23x20，当a为何值时，(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的充要条件分析用条件的充分性、必要性确定范围，一般转化为集合之间的包含关系解析由p：Ax|(x1)(xa)0，由q：B1,2(1)p是q的充分不必要条件，AB且AB，当A1时，a1；当A1，a时，1a2，故1a2a2.(3)p是q的充要条件，ABa2.典例5已知条件p：x23x40；条件q：x26x9m20，若p是q的充分不必要条件，则m的
13、取值范围是(D)A1,1B4,4C(，11，)D(，44，)思路分析由x23x40，解得1x4，由x26x9m20，可得x(3m)x(3m)0，当m0时，式的解集为x|x3；当m0时，式的解集为x|3mx3m；故可得或解之即可得m的取值范围解析由x23x40，解得1x4，由x26x9m20，可得x(3m)x(3m)0，当m0时，式的解集为x|x3；当m0时，式的解集为x|3mx3m；若p是q的充分不必要条件，则集合x|1x4是式解集的真子集可得或解得m4或m4.经验证，当m4或m4时，式的解集均为x|1x7，符合题意故m的取值范围是(，44，)故选D跟踪练习5已知Px|a4xa4，Qx|1x3
14、，“xP”是“xQ”的必要条件，则实数a的取值范围是_1,5_.解析因为“xP”是“xQ”的必要条件，所以QP，所以即所以1a5.X 充要条件的探求 (1)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件(2)求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解：一是充分性，二是必要性典例6已知方程x2(2k1)xk20，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件思路分析方程有两个实数根，则0，两根均大于1，则相应二次函数图像的对称轴在x1的右侧，且
15、x1时对应的函数值大于0，建立不等式组求解解析令f(x)x2(2k1)xk2，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的实数根等价于解得k2.因此k3a5，解得a6；若A，则AB解得6a9.综上可知，AAB的充要条件为a9；AAB的一个充分不必要条件可为6a9.Y 典例7a、b为非零向量“ab”是“函数f(x)(xab)(xba)为一次函数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件错解Cf(x)(xab)(xba)x2abxb2xa2abx2abx(b2a2)ab.充分性：ab，ab0，f(x)x(b2a2)是一次函数必要性：f(x)是一次函数，ab0，ab
16、.故选C辨析错误的原因是：在f(x)x(b2a2)中，忽视了|a|b|，从形式上认为f(x)是一次函数正解Bf(x)(xab)(xba)x2abxb2xa2abx2abx(b2a2)ab.充分性：ab，ab0，f(x)x(b2a2)，若|a|b|，则f(x)是一次函数；若|a|b|，则f(x)是常数函数，充分性不成立必要性：f(x)是一次函数，ab0且b2a20，ab且|b|a|，必要性成立综上可知应选BK 1若R，则“0”是“sincos”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析当0时，sin0，cos1，sincos；而当sincos时，2k2k，k
17、Z，故“0”是“sin1”是“|x|1”的(A)A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由|x|1，解得x1或x1”是“|x|1”的充分不必要条件，故选A3(2019浙江卷，5)若a0，b0，则“ab4”是“ab4”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 a0，b0，若ab4， 2 ab4. ab4，此时充分性成立当a0，b0，ab4时，令a4，b1，则ab54，这与ab4矛盾，因此必要性不成立综上所述，当a0，b0时，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件故选A4“x1”是“(x2)0”的(B)A充要条件B充分而不必要
18、条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解析由(x2)1，即x1，而x|x1x|x1，所以“x1”是“(x2)0”的充分而不必要条件故选B5设a，b是向量，则“|a|b|”是“|ab|ab|”的(D)A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析取ab0，则|a|b|0，|ab|0|0，|ab|2a|0，所以|ab|ab|，故由|a|b|推不出|ab|ab|.由|ab|ab|，得|ab|2|ab|2，整理得ab0，所以ab，不一定能得出|a|b|，故由|ab|ab|推不出|a|b|.故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件故选D6若“xa”是“x22x30”的充分不必要条件，则a的取值范围是_a1_.解析x22x30，x3或x1.“xa”是“x22x30”的充分不必要条件，a1.
