1、-1-二 二阶矩阵与平面向量的乘法-2-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.理解列向量、行向量的概念,掌握二阶矩阵与平面向量的乘法法则.2.会利用二阶矩阵与平面向量的乘法法则,计算矩阵与向量的乘积、求已知点在矩阵A所对应的线性变换下的像的坐标.-3-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例
2、透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 1.行向量、列向量形如(x,y)的向量称为行向量,x,y 叫做它的两个分量,把这两个分量按照 x 在上,y 在下的次序写成一列 x y,这种形式的向量称为列向量.名师点拨在本专题中,规定所有的平面向量都写成列向量的形式.【做一做 1】行向量(1,2)写成列向量的形式为 .答案:1 2-4-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 2.二阶矩阵 A 与向量 的乘积
3、设 A=a b c d,=x y,规定二阶矩阵A 与向量 的乘积为向量 ax+by cx+dy ,记为A或 a b c d x y,即A=a b c d x y=ax+by cx+dy .-5-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 名师点拨二阶矩阵A与平面向量的乘积仍然是一个平面向量,它的第一个分量为A的第一行的元素与的对应位置元素乘积的和,第二个分量为A的第二行的元素与的对应位置元素乘积的和.-6-二 二阶矩
4、阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3【做一做 2】设 A=1 2 3 4,=-1 1 ,则A=.解析:A=1 2 3 4 -1 1 =1 (-1)+2 1 3 (-1)+4 1 =1 1.答案:1 1-7-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2
5、 3 3.二阶矩阵与线性变换之间的关系任何一个线性变换 =+,=+(,均为常数)都可以表示成 x y =a b c d x y.反之,在直角坐标系内,任何一个二阶矩阵A 都唯一确定了一个线性变换,这个变换把每一个向量=x y 变成了新向量A=x y.-8-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 名师点拨二阶矩阵与平面向量的乘法实现了用二阶矩阵和平面向量的乘积表示线性变换的目的,可以用二阶矩阵求出平面内的任意一点在
6、线性变换作用下的像的坐标.-9-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3【做一做 3】线性变换 =+2,=3+4写成矩阵与向量的乘积的形式为 .答案:x y =1 2 3 4 x y-10-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 如何求平面内点对
7、应的像?剖析:因为平面内点 P 的坐标(x,y)就是向量 的坐标 x y,所以在已知平面内的点P(x,y)在二阶矩阵 A 所对应的线性变换的作用下的像 P(x,y)中的两个条件,就可以求剩余的一个.求解时可通过向量相等,即 x y =x y,直接求出或得到方程组解答.-11-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一求矩阵与平面向量的积【例 1】给定向量=3 2,矩阵A=1 0 0 1,B=-1
8、4 3 5 ,求A,B.分析:直接根据定义求解.-12-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:A=1 0 0 1 3 2=3 2,B=-1 4 3 5 3 2=-1 3+4 2 3 3+5 2 =5 19.反思与单位矩阵 1 0 0 1 相乘,向量 保持不变.-13-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIA
9、N随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二根据矩阵与向量的积求点的坐标【例 2】已知 A=4 2 3-1 ,点在A 对应变换的作用下的像为P(6,7),求点 P 的坐标.分析:在平面坐标系内,平面内的点与平面向量是一一对应的,故可直接转化成向量求解.-14-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:设 P(x,y),则有 x y=
10、6 7,即 4 2 3-1 x y=4x+2y 3x-y =6 7.由 4+2=6,3-=7.得 x=2,y=-1.故点 P 的坐标为(2,-1).反思本题是已知 P求 P,反过来,若已知 P,也可求 P的坐标.-15-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三根据矩阵与向量的积求参数【例 3】在直角坐标系 xOy 内关于直线 y=kx 的投影变换对应的二阶矩阵为 A,点 P(1,3)在此变换作用
11、下的像为 75,145 ,则=.-16-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解析:关于直线 y=kx 的投影变换对应的二阶矩阵为A=12+1 2+12+1 22+1,即 12+1 2+12+1 22+1 1 3=1+32+1+322+1 =75145,解得 k=2.答案:2-17-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANG
12、YANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 123451.矩阵 A=-2 3 2-4 与向量=4 -1 的乘积为()A.-10 16 B.14 -18 C.-11 12 D.12 -11 -18-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 12345解析:矩阵与向量的乘积法则为 a b c d x y=ax+by cx+dy ,所以A=-2 3 2-4 4 -1 =-11 12
13、.答案:C-19-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 123452.曲线 y=(0)在矩阵 1 0 0-1 对应的变换作用下所得的曲线方程为()A.y=(0)B.y=(0)C.y=x2(x0)D.y=-x2(x0)-20-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG
14、目标导航 解析:设曲线 y=上任意一点为(x,y),对应的向量为 x y,在矩阵 1 0 0-1 对应变换的作用下对应的向量为 x -y ,即对应点为(x,-y),设为(x,y),=,=-,即 =,=-.又 y=,=,即y=(0).答案:B12345-21-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 12345 1 3 3 3 x y=4 2,则=,=.解析:按矩阵与向量的乘法法则,得 x,y 的方程组,解出x,y.1 3 3
15、3 x y=x+3y 3x+3y =4 2,+3=4,3+3=2.=-1,=53.答案:-1 53-22-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 123454.旋转角为 120的旋转变换对应的矩阵与向量 x y 的乘积为 .-23-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOH
16、ANG目标导航 12345解析:旋转角为 120的旋转变换所对应的矩阵为 120-120 120 120 =-12 -32 32 -12,由此可得它与向量 x y 的乘积为 -12-32 32-12 .答案:-12-32 32-12 -24-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 123455.设矩阵 A=2 0 -1 2 ,求点(2,3)在A 所对应的线性变换的作用下的像 P的坐标.-25-二 二阶矩阵与平面向量的乘法 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 12345解:因为向量 2 3 在矩阵A 对应的线性变换作用下变为向量 2 3=2 0 -1 2 2 3=4 4,所以,点 P的坐标为(4,4).